湖南省常德市第一中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份湖南省常德市第一中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在上的函数，其周期为2，且时，，函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．若函数的反函数是，，，则等于（ ）
A．aB．C．D．
4．如图，在四形中，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．2B．C．D．1
6．已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为（）
C．存在实数a，使得对任意的，都存在、且，满足（，2）
D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的图象是由函数的图象经过变换得到，则这个变换可以是（ ）
A．先将图象向左平移个单位，再将图象上所有的点横坐标变为原来的倍
B．先将图象向右平移个单位，再将图象上所有的点横坐标变为原来的倍
C．先将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再将图象向左平移个单位
D．先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移个单位
10．已知向量，则（ ）
A．若，则
B．在方向上的投影向量为
C．存在，使得在方向上投影向量的模为1
D．的取值范围为
11．—般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若1,b为的“跟随区间”，则
B．函数存在“跟随区间”
C．若函数存在“跟随区间”，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，将的图像向右平移个单位得到的图像，若，则 .
13．如图，AB是半圆柱底面的直径，PA是半圆柱的高，C是上一点，且，D为PB的中点，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为 ．

14．已知定义在上的偶函数，满足，当时，，若方程在区间上恰有9个解，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积为，过点作的平行线，使得，连接，求的最小值.
16．已知.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)已知锐角在的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求在的面积的最大值.
17．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
18．如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；
(3)若平面与平面夹角的余弦值，求．
19．在直三棱柱中，，，，点是平面上的动点．
(1)若点在线段上（不包括端点），设为异面直线与所成角，求的取值范围；
(2)若点在线段上，求的最小值；
(3)若点在线段上，作平行交于点，是上一点，满足．设，记三棱锥的体积为．我们知道，函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=fx的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，判断函数在定义域内是否存在，使得函数在上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【分析】元素属于集合用“”连接,由此即可得到选项
【详解】因为,则0是集合中的一个元素,则有.
故选A.
2．【答案】A
【分析】根据零点的个数可以转化为两个函数图象交点的个数，结合函数图象进行判断即可.
【详解】令，则有，
当时，因为函数的周期为2，所以有，
当时，因为函数的周期为2，所以有，
当时，因为函数的周期为2，所以有，
在同一直角坐标系内，函数和函数在区间上的图象如下图，
通过图象可知两个函数图象有8个交点，所以函数在区间上的零点个数为8.
故选A.
3．【答案】A
【分析】根据互为反函数的两个函数图象关于对称，可得点在函数的图象上即可求解.
【详解】因为，所以点在的图象上，
因为互为反函数的两个函数图象关于对称，
所以点在函数的图象上，
所以.
故选A.
4．【答案】A
【分析】由，，根据平面向量数量积运算律、线性运算法则，结合垂直关系可将化为，从而得到结果.
【详解】，,
,
,,
,
, , .
故选A.
【思路导引】本题考查平面向量数量积的求解，关键是能够灵活应用平面向量的线性运算、向量垂直时数量积等于零的关系，将所求的数量积转化为已知模长的两个向量的形式.
5．【答案】B
【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】由题意知，，在上取点，使得，
则且，所以四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
所以平面.
在上取点，使得，
有，所以，则，
又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面的轨迹为线段，
在中，，
由余弦定理，得，
即点M的轨迹长度为.
故选B.
6．【答案】B
【分析】先作图确定四个根的范围，再举反例说明A项不成立，根据不等式性质否定C、D项,最后根据放缩法证B项成立.
【详解】方程的根可化为函数与图象的交点的横坐标，作图如下：
由图象可得，，故；
因为，所以D错误，
若，则可取，但，所以A错误，
因为，所以，
即，，所以C错误；
，
即，
所以，所以，所以B正确.
故选B.
7．【答案】B
【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，
易得，，，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，
又因为平面，，所以平面平面.
因为平面，所以H为线段FG上的点.
由平面，平面，得，
又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面，，.
因为，
所以，，.
所以
，
因为，所以.
故选B.
【思路导引】本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.
8．【答案】B
【分析】对于A选项，平方后利用辅助角公式化简得到，得到为函数的周期，所以A错误；
对于B选项，利用整体法求解函数的对称轴方程，所以B正确；
对于C选项，首先求出，，画出上的的函数图象，问题等价于有两个解，
数形结合得到，无解，所以C错误；
对于D选项，的根转化为与交点横坐标，画出图象，结合对称性求解.
【详解】，.
因为，所以.
对于A项，因为，
所以为的周期，所以A错误；
对于B项，的对称轴方程为.
所以（）.即（）.所以 B正确.
对于C项，，有，
因为在上单调递增，
所以，
（，2），等价于有两个解，
当时，，显然无解，
不妨设，画出在的的图象，如图所示：
.
或，无解，所以C错误；
对于D项，的根为与交点横坐标.
因为有奇数个交点，
，
且，，，，，
，，，，
所以D错误.
故选B.
【思路导引】本题为较复杂的函数零点问题，通常转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解.
9．【答案】ABC
【分析】按照平移伸缩变换依次判断4个选项即可.
【详解】对于A选项，向左平移个单位，得到，再将图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到，所以A正确；
对于B选项，向右平移个单位，得到，再将图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到，所以B正确；
对于C选项，上所有的点横坐标变为原来的倍，得到，再将图象向左平移个单位，得到，所以C正确；
对于D选项，上所有的点横坐标变为原来的倍，得到，再将图象向左平移个单位，得到，所以D错误.
故选ABC.
10．【答案】BCD
【分析】由平行向量的坐标表示可判断A项；由投影向量的计算公式可判断B、C项；由向量的模长公式结合三角函数的性质可判断D项.
【详解】对于A项，若，则，则，所以A错误；
对于B项，在方向上的投影向量为，所以B正确；
对于C项，，所以在方向上投影向量的模为：
，
当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，所以C正确；
对于D项，向量
，
所以，则，所以D正确.
故选BCD.
11．【答案】CD
【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.
【详解】对于A选项，因为在其“跟随区间”1,b单调递增，
由“跟随区间”的定义可知，解得或（舍去），所以A项错误；
对于B选项，因为函数在区间与上均为增函数，
若存在跟随区间，则有，即为的两根．
即的根，而，所以方程无解，所以B项错误；
对于C选项，函数在其定义域上单调递减.
若函数存在“跟随区间”，则有，
即 ，两式作差得：，
所以，
又因为，所以，即，所以，
而，不妨设，，
所以只需，，所以，所以C项正确；
对于D选项，假设存在“3倍跟随区间”，
又在“3倍跟随区间”上单调递增，由“3倍跟随区间”的定义可知，解方程得或，
所以存在“3倍跟随区间”使得其值域为，所以D项正确.
故选CD.
12．【答案】.
【分析】先由题意，得到，再由函数奇偶性，根据题中条件，即可得出结果.
【详解】将的图象向右平移个单位得到的图象，
所以，
又，所以为奇函数，
因此只需，，则，，
又，所以.
故答案为：.
13．【答案】：.
【分析】根据题意结合异面直线夹角的定义分析运算.
【详解】设，
如图，取PC的中点E，连接DE，AE，可得，
所以异面直线AD与BC所成的角为（或其补角）．
又因为平面，平面，则，
且，，PA,AC⊂平面PAC，
所以平面PAC．
且平面PAC，则，所以．
因为，
所以在中，．
故答案为：.

14．【答案】.
【解析】先根据是偶函数且满足，计算出的周期；再根据时，，求出时，的解析式，并画出图象；再根据在区间上恰有9个解，即函数在区间上与恰有9个交点，数形结合进行讨论即可.
【详解】因为为上的偶函数且，
则，
所以的周期为4，
当时，，此时，
可画出的图象如图所示，
方程在区间上恰有9个解，
即函数在区间上与恰有9个交点，
①当时，由，
得，满足题意；
②当时，由，得，满足题意，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
15．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为.
【分析】（Ⅰ）由三角恒等式，结合正弦定理的边角关系得，根据三角形内角的性质，即可求角的大小；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列方程求，根据向量的线性关系及向量数量积的运算律可得，应用基本不等式求的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】（Ⅰ）在在中，，
由正弦定理可知：，即，化简得 ，又因为，
所以，又，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，又，
所以，又因为，
所以，即（当且仅当时等号成立）
所以的最小值为.
【思路导引】（Ⅰ）应用正弦定理的边角关系，三角恒等变换化简三角函数式，利用三角形内角的性质求角；
（Ⅱ）运用三角形面积公式求参数值，结合向量的线性关系及数量积的运算律得到关于各边的函数式，利用基本不等式求最值.
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用整体法得到函数的单调递增区间；
（2）由得，由余弦定理得到，得到面积的最大值.
【详解】（1）由题意得，
又（），得（），
令，得，令，得，
所以在上的单调递增区间是.
（2）因为，
所以（），得，
又因为C是锐角，所以.
由余弦定理，得，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，
所以在的面积的最大值为.
17．【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．
【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】(1)第六组的频率为，
所以第七组的频率为．
(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由，得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
．
(3)第六组的人数为4，设为a，b，c，d，
第八组的人数为，设为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）先证明和平面，再根据面面垂直判定定理即可得证.
（2）先求证点P到平面的距离即为C到平面的距离，再利用即等体积法即可求解.
（3）建立空间直角坐标系利用空间向量法结合已知条件计算求解出点H坐标即可求解.
【详解】（1）设平面交上底面于，在圆弧上，
因为上下底面平行，所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以，
由题意可知，又，平面，
所以平面，所以平面，
又平面，平面平面.
（2）由（1）知平面，连接，所以是直线与平面所成角，
所以由题意，
又由题意，，
所以，所以，即在圆弧的中点上，
所以由知点P在圆弧中点上，所以,
所以，
因为平面，所以点P到平面的距离即为F到平面的距离，
又圆柱结构性质可知,平面，平面，
所以平面，所以F到平面的距离即为C到平面的距离，设该距离为，
因为，
，
又，所以，即点P到平面的距离为.
（3）过作垂直于底面，则由上知，
所以可建立如图所示的分别以为x、y、z轴的空间直角坐标系，
则，设，且，
所以，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，则，
所以即，取可求得，
设平面的法向量为n=x2,y2,z2，则，
所以即，取可求得，
设平面与平面的夹角为，则，
且，
整理得，
所以即，
即，所以，
所以，所以.
【思路导引】过作垂直于底面，建立分别以为x、y、z轴的空间直角坐标系，设未知点，求出平面和平面的法向量，从而根据二面角的空间向量法结合已知条件建立关于的等量关系，从而求出即可求出.
19．【答案】(1)；
(2)5；
(3)存在，对称中心为，．
【分析】（1）作交于，确定异面直线所成角，再利用余弦定理求解即得.
（2）把矩形与置于同一平面，再求出点到直线的距离即可.
（3）求出，结合给定信息，利用奇函数建立方程求解即可.
【详解】（1）在直三棱柱中，，作交于，连接，
则为异面直线与所成角或其补角，设，，
由，得，则，，，，
在中，，
由，得，则，，
所以与所成角余弦值的取值范围为．
（2）由，，，得，，
将平面翻折使得与平面在同一平面上，且使矩形与在两侧，
过作于，交于，则，
对任意点，过作于，连接，，
则，
当且仅当与重合时取等号，
显然，设，，，
从而，，
在中，，即，
化简得，解得，即，
所以的最小值为5．
（3），对称中心为．
由，得，，平面，，
，整理得（），
令，设其图象对称中心为，则为奇函数，
则
为奇函数，
，解得，
所以对称中心为，由对称性可得．
【思路导引】本题涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.