湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（含答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 若复数，则（ ）
2. 如果函数在处的导数为1，那么（ ）
3. 已知，则的值为（ ）
4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ）
5. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yá）组成，其中爻分为阳爻“”和阴爻“”.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有4个阳爻”，则（ ）
6. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ）
7. 已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
8. 设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 对于二项式，下列说法正确的是（ ）
10. 已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ）
11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为______．
13. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为__________.
14. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 设数列的前项和为，已知，数列是以为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
16. 如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面；
(2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值．
17. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
(1)求该运动员第二次投篮命中的概率；
(2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
(3)设第次投篮命中的概率为，求证：．
18. 已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时，
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若交轴于点，，.
①求证：为定值；
②若，当时，求实数的取值范围.
19. 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的最小值为，求a的值；
(3)证明：当时，．
湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、函数与导数、三角函数与解三角形、等式与不等式、计数原理与概率统计、数列、空间向量与立体几何、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．2
C．
D．10
A．
B．
C．1
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．
A．98
B．99
C．100
D．101
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．展开式中各项的二项式系数之和为512
B．展开式中第3项与第8项的二项式系数相等
C．二项式系数最大的项是第5和第6项
D．若，则
A．若，则
B．，直线的倾斜角为或
C．若为抛物线上一点，则的最小值为
D．的最小值为9
A．棱上存在一点，使得平面
B．点到平面的距离为
C．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D．过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
2
适中
7
较难
6
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
求复数的模；复数的除法运算
2
0.94
导数定义中极限的简单计算
3
0.85
用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式
4
0.65
基本不等式“1”的妙用求最值；根据正态曲线的对称性求参数
5
0.65
计算古典概型问题的概率；计算条件概率
6
0.65
求等比数列前n项和；数列不等式能成立（有解）问题；由递推关系式求通项公式；分组（并项）法求和
7
0.15
球的截面的性质及计算；多面体与球体内切外接问题
8
0.4
求两圆的交点坐标；由圆的位置关系确定参数或范围
二、多选题
9
0.85
二项式的系数和；二项展开式各项的系数和；二项式系数的增减性和最值
10
0.4
抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值；与抛物线焦点弦有关的几何性质；基本不等式求和的最小值；直线与抛物线交点相关问题
11
0.15
判断正方体的截面形状；点到平面距离的向量求法；判断线面平行
三、填空题
12
0.65
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；元素（位置）有限制的排列问题
13
0.65
利用等差数列的性质计算；求等差数列前n项和
14
0.4
由函数在区间上的单调性求参数；利用导数研究不等式恒成立问题
四、解答题
15
0.65
裂项相消法求和；利用an与sn关系求通项或项；利用定义求等差数列通项公式
16
0.65
证明线面平行；面面角的向量求法
17
0.4
求离散型随机变量的均值；构造法求数列通项；写出简单离散型随机变量分布列；利用全概率公式求概率
18
0.4
双曲线中的参数及范围；双曲线中的定值问题；根据a、b、c求双曲线的标准方程
19
0.4
已知函数最值求参数；利用导数证明不等式；函数单调性、极值与最值的综合应用；含参分类讨论求函数的单调区间
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
函数与导数
2,14,19
3
三角函数与解三角形
3
4
等式与不等式
4,10
5
计数原理与概率统计
4,5,9,12,17
6
数列
6,13,15,17
7
空间向量与立体几何
7,11,16
8
平面解析几何
8,10,18