天津市第一百中学、咸水沽第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中联考 数学试题（含解析）

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本试卷满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题(共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. -3D. 3
2. 已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中 ，那么的周长为（ ）

A. B.
C. D.
3. 中，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量满足，，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
5. 已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
6. 设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题:
①若，则或 ②若，则或
③若且，则 ④且，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ②③④D. ①③④
7. 已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A B. C. D.
8. 已知边长为2的正方形，将沿对角线AC折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，若E为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A B. C. D. 2
9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（ ）
A. 312B. 304C. 192D. 184
二、填空题(共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上)
10. 已知i是虚数单位，化简 的结果为_________.
11. 已知圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为__________.
12. 已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围____________.
13. 在中，分别为的中点，与相交于点 .若，则__________________.
14. 已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________.
15. 在中，点D为的中点，点 E 为上一点，且满足，则 的最大值为__________.
三.解答题：本大题6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在中，内角所对的边分别为，
（1）求角的值;
（2）若面积，且，求；
（3）求 的值.
17. 如图，四棱柱 中，平面底面是平行四边形，侧棱，分别是 和的中点.
（1）求证:平面;
（2）求证: 平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值.
18. 在 中，角所对的边分别为向量且满足
（1）求角A值;
（2）角A的平分线交边与点D，求 的最小值.
19. 已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且
（1）求证: 平面
（2）求点A到平面的距离.
（3）求平面与平面所成锐二面角的正弦值.
20. 在锐角 中，点O为 的外心.
（1）若求的值；
（2）若求的值；
（3）若 求的最大值.