宁夏石嘴山市平罗县平罗中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份宁夏石嘴山市平罗县平罗中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
2．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02B．14C．15D．16
3．已知一组数据的平均数是3，方差是，那么另一组数据，的平均数，方差分别是（ ）
A．5，B．5，2C．3，2D．3，
4．掷一枚骰子，设事件出现的点数不大于3，出现的点数为偶数，则（ ）
A．B．事件A与是互斥事件
C．出现的点数为2D．事件A与是对立事件
5．某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．得分的众数为34
B．得分的中位数为28
C．得分的75%分位数为33
D．得分的极差为6
6．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据：）
A．572m2B．1448m2C．1828m2D．2028m2
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，下列选项中正确的是（ ）
A．B．与同向的单位向量是
C．D．
10．某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ）
A．该校高一学生总数为800
B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为96
C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取6人
11．在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A．B．A与相互独立
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知圆柱形容器底面直径与母线均为2，该容器可内置的最大球的体积为 .
13．继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为 ．
14．已知的面积为9，，过D分别作于E，于F，且，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在正方体中，E为棱的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.求证：

(1)平面；
(2).
16．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，得到如下频率分布直方图.

(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
17．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，AC边上的中线，求的面积S.
18．甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对每道题目的概率依次为，，，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.
(1)求乙3道题都回答且通过面试的概率；
(2)求甲没有通过面试的概率；
(3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率.
19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点.

(1)求证：平面；
(2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；
(3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
【详解】
，
则.
故选C.
2．【答案】B
【分析】结合随机数表法确定正确答案.
【详解】选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，
则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），
02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14.
故选出的第6个个体编号为14.
故选B.
3．【答案】B
【解析】利用平均数、方差的计算公式，结合已知数据的平均数和方差，可以求出所要求的数据的平均数和方差.
【详解】因为数据的平均数是3，方差是，所以，因此数据，，，，的平均数为，方差为.
故选B.
4．【答案】C
【分析】根据事件的关系和运算一一判定即可.
【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，
即，事件，
故，即事件A、B既不互斥也不对立.
显然C正确.
故选C.
5．【答案】C
【分析】将数据从小到大重新排列，由众数、中位数、百分位数的定义计算即可得C正确；再根据极差的概念可得D错误.
【详解】根据表格中数据可知，出现次数最多的是28，所以得分的众数为28，即A错误；
将8个数据从小到大排列为26，28，28，28，30，32，34，34，
所以中位数为，即B错误；
易知为整数，所以第75%分位数为第6个和第7个数的平均值，即C正确；
得分的极差为，即D错误.
故选C.
6．【答案】A
【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，再应用向量的加法运算法则，得到，将其合并，得到，最后应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以.
故选A.
【思路导引】根据三角形中线向量可得，由为边上的中线，可得，再根据从而得到，最后利用相反向量即可求得结果.
7．【答案】D
【分析】取的中点，连接、，可得，从而异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，然后在三角形中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接、，易知，

所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即，
因为直三棱柱的所有棱长都相等，
可设三棱柱的棱长都为，则，，，
则在中，由余弦定理可得：，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选.
【思路导引】取的中点，连接、，可得，从而得到与所成角就是直线与直线所成的角，假设棱长都为，结合题目条件计算的三边长度，利用余弦定理即可求解.
8．【答案】D
【分析】由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可.
【详解】设的外接圆的半径为，则，得，
因为月牙内弧所对的圆心角为，
所以内弧的弧长，
所以弓形的面积为，
以为直径的半圆的面积为，
所以该月牙泉的面积为.
故选D.
9．【答案】ABC
【分析】利用向量的坐标可求各项运算的结果，从而可得正确的选项.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，与同向的单位向量是，故B正确；
对于C，因为，故，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】AC
【分析】根据政史地的人数和占比即能得到A；先求物化生的人数为人，结合物化地和物化政组合的人数相等，即可得到物化政组合人数，即能得到B；选考物理440人，选考历史360人，即能得到C；利用分层抽样的特点即能得到D.
【详解】对于A，选科为政史地的人数为200人，占比为，该校高一学生共有人，A正确；
对于B：选科为物化生的人数为人，所以选科为物化政的人数为，B错误；
对于C，选考历史的人数有人，选考物理的人数有人，
所以选考物理的人数比选考历史的人数多，C正确；
对于D，选科为生史地的学生人数占比为，
所以采用分层抽样抽取20人，生史地组合应抽取人，D错误.
故选AC.
【思路导引】利用对应占比除以对应人数，即可判断A；首先计算出选科为物化生的人数，再根据题目条件计算选科为物化政的人数，即可判断B；分别计算选考历史和选考物理的人数，对比即可判断C；计算出选科为生史地的人数，再利用分层抽样的特点计算生史地组合应抽取的人数，即可判断D.
11．【答案】ABD
【分析】A选项，根据互斥得到，，故A正确；B选项，根据，求出，故，故B正确；C选项，A与互斥，故与互斥，故C正确；D选项，根据，故D正确.
【详解】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确；
B选项，，
即，故，
故，A与相互独立，B正确；
C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误；
D选项，
，
因为，故，D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【分析】由题意可知，该容器可内置的最大球与圆柱的侧面和上下底面都相切，从而可求出球的半径，进而可求出球的体积.
【详解】因为圆柱形容器底面直径与母线均为2，
所以该容器可内置的最大球与圆柱的侧面和上下底面都相切，且球的直径为2，
所以球的半径，
所以该球的体积为.
故答案为：.
13．【答案】/0.3
【分析】根据古典概型求解即可.
【详解】由题意，设五种食材分别为，则基本事件空间为
，
共10个基本事件，其中含有西兰花和海带的有，，，3个基本事件，所以.
故答案为：/0.3.
14．【答案】/
【分析】利用 求出、的面积，结合向量数量积与三角形面积消去得，由此求得角的值.
【详解】因为，所以，
又的面积为9，所以，，
所以，，所以，，
所以，所以，
而，所以，
所以，又，所以.
故答案为：/.
【思路导引】两个高相等的三角形，面积之比等于底之比，结合题目条件分别计算、的面积，利用三角形面积公式可计算出，，再利用向量的数量积可得，代入三角形面积公式可得，最后利用三角形内角性质即可求得.
15．【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）连接，然后根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用线面垂直的判定定理证明面，即可得出结论.
【详解】（1）

如图，连结，在正方体中，
因为，为棱的中点，
所以为的中位线，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）在正方体中，
由面，面，所以，又，
面，面，，所以面，
又由面，所以.
16．【答案】(1)；
(2)平均数为71，中位数为73.33；
(3).
【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出方程求解，即可得出答案；
（2）根据平均数公式计算即可得出平均数；根据已知得出质量指标值位于、之间的频率，然后列出方程，求解即可得出答案；
（3）先根据已知得出一等、二等品口罩的个数，求出抽样比，得出各品级口罩应抽取的数目.进而列举得出所有可能的样本点以及事件“这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品”包含的样本点个数，根据古典概型公式，即可得出答案.
【详解】（1）由，
得.
（2）平均数为.
设中位数为，
质量指标值位于之间的频率为0.4，位于之间的频率为0.7，
所以，，
且，
解得.
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.
（3）由频率分布直方图可知，质量指标小于70的频率为0.4，大于70的频率为0.6，
所以100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，
又抽样比为，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个、二等品有个，
记这3个一等品为，2个二等品为，
则从5个口罩中抽取2个，所以可能的样本点的有：，，，，，，，，，，共10个等可能的样本点，
其中恰有1个口罩为一等品包含的样本点有：，，，，，，共6种，
根据古典概型可知，这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理统一为角的三角函数，化简即可得解；
（2）利用中线的向量性质，结合余弦定理求出，用面积公式求的面积.
【详解】（1），
因为，所以.
（2）.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用互斥事件概率公式及独立事件公式公式计算即可；
（2）利用对立事件概率公式及独立事件公式公式计算即得；
（3）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式求解即可.
【详解】（1）由题意得，乙3道题都回答且通过面试的概率为
.
（2）设事件表示“甲最终通过面试”，
则，
∴甲没有通过面试的概率为.
（3）设事件表示“乙最终通过面试”，
则，
设事件表示“甲、乙两人恰有一人通过面试”，则，
∵与为互斥事件，与，与相互独立，
∴
，
∴甲、乙两人恰有一人通过面试的概率为.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，最后根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案；
（3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出.
【详解】（1）因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点，
所以，
因为，面面，面面，面，
所以面，
又面，所以，
又平面，
所以平面；
（2）取的中点，的中点，连接，
则且，，
故，
因为面面，面面，面，
所以面，
因为面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，
设，则，故，
所以，
即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为；
（3）当面时，平面平面，证明如下：
如图，连接交于点，连接，
因为底面是正方形，所以，
由（2）得面，
因为面，所以，
因为面时，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以，
所以在棱QC上存在点N，当时，平面平面AMC.
班级
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
28
34
34
30
26
28
28
32