宁夏回族自治区西吉中学2023−2024年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区西吉中学2023−2024年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对本校课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（ ）
A．24B．26C．30D．36
4．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为（ ）
A．1∶2B．2∶3
C．3∶4D．1∶3
5．设在ΔABC中,角所对的边分别为, 若, 则ΔABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
6．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
7．在中，已知为上一点，若AD=2DC，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．或D．或
二、多选题（本大题共3小题）
9．设，是非零向量，且，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）
A．若事件，则
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D．
11．已知点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法错误的是（ ）
A．若在棱上运动，当点与点重合时，最大
B．使得二面角的大小为的点的轨迹长度为2
C．当在平面内运动时，四棱锥的体积为定值
D．若是的中点，当在底面内运动，且满足平面时，的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则 ．
13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 .
14．体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 .
四、解答题（本大题共6小题）
15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，.
(1)若，，求c；
(2)若的面积为，，求a.
16．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”.
(1)求事件A，B的概率.
(2)求事件、的概率.
17．如图，长方体中，，是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面 .
18．如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
19．近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.

(1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由.
20．统计学作为数学的一个重要分支，其犹如一座坚实的大厦，构建于严谨的数学基石之上，为理解和诠释数据提供了强大的支撑，请用你所学到的统计知识解答以下问题：
(1)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，…，，第j层的样本量为，样本平均数为，样本方差为，.记，总的样本平均数为，样本方差为，证明：，即.
(2)为研究男女学生在生活费支出（单位：元）上的差异，某校在高一年级400名学生中随机抽取40人，统计他们某一周的生活费支出，得到下面的结果：
根据以上数据及（1）结论，估计该校高一学生这周生活费支出的总体平均数、总体方差.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算，结合复数的意义求解即得.
【详解】由，得，
所以复数的虚部为.
故选C.
2．【答案】A
【分析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由对立事件的性质求解即可.
【详解】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，
所以甲获胜的概率为.
故选.
3．【答案】A
【分析】按照分层抽样计数规则计算可得.
【详解】依题意高一年级应抽取的人数为人.
故选A.
4．【答案】B
【分析】根据圆柱的底面直径与高都等于球的直径，代入球的体积和圆柱的体积公式，直接求比即可得解.
【详解】设球的半径为，则.
【方法总结】本题考查了球和圆柱的体积公式，考查了计算能力.
5．【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【方法总结】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
6．【答案】C
【分析】根据线面平行考虑所有可能情况判断A，由两平面平行的判定判断B，根据线面平行的性质判断C，根据线线平行、线面平行的判定定理判断D.
【详解】对A，，，则可能，相交、异面，故A错误；
对B，若，，则可能平行，可能相交，不一定垂直，故B错误；
对C，若，，根据线面垂直的性质可得，故C正确；
对D，若，，则或，故D错误.
故选C.
7．【答案】D
【分析】作出图形，利用平面向量的加法和减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】如下图所示，.
故选D.
8．【答案】C
【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接，
易知，，且，，
故，且是异面直线与所成角或其补角，
所以或，
所以异面直线与所成角为或其补角，
当时，；当时，，
所以直线与所成角的大小为或
故选C.

9．【答案】BCD
【分析】根据向量数量积的运算即可判断，；根据向量的运算性质和向量垂直的条件即可判断，.
【详解】对于，若，则，故错误；
对于，设，的夹角为，所以，
若，则，所以，即，同向，
所以，故正确；
对于，若，则，
所以，
因为，，所以，故正确；
对于，设，的夹角为，
若，则，
所以，
所以，所以，故正确.
故选.
10．【答案】AC
【分析】根据事件的包含关系判断A，根据互斥事件与相互独立事件的概率与性质判断BC，再由和事件概率公式判断D．
【详解】若事件B包含事件A，则，故A正确；
若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，
若事件A、B相互独立，则，故B错误，C正确；
因为，
所以当互斥时，，故D错误．
故选AC．
11．【答案】ABD
【分析】由为与平面所成的角，当点与点重合时，最小，可判断；当点在，，上时，二面角的大小为，可判断；由底面和高均不变可判断；分别取，，，，的中点，，，，，由正方体的性质可知，，，，，六点共面，且为正六边形，点在上，可求长的最小值.
【详解】因为为与平面所成的角，
在中，，
若在棱上运动，当点与点重合时，最大，
此时，最小，所以最小，故错误；
因为平面与平面所成的角为，
所以使得二面角的大小为的点在，，上，
所以点的轨迹长度为，故错误；
底面正方形的面积不变，到平面的距离为正方体棱长，
故四棱锥的体积不变，故正确；
分别取，，，，的中点，，，，，
由正方体的性质可知，，，，，六点共面，且为正六边形，
因为，平面，所以平面，
同理平面，且，，平面，
所以平面平面，
所以平面，
所以当为的中点时，的长最小，
，，所以，
所以长的最小值为，故错误.
故选.
【方法总结】立体几何中动点轨迹问题通常利用不动点的位置和动点的位置关系，找出动点的轨迹即可求解.
12．【答案】21
【分析】根据百分位的计算求解即可.
【详解】因为，
所以分位数是第4、5个数据的平均数，
所以，解得.
故答案为：21.
13．【答案】
【分析】先求出投影向量，再根据向量模长的坐标公式即可求解.
【详解】因为，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为，
故投影向量的模长为
故答案为：.
14．【答案】/
【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.
【详解】记“甲投中”，“乙投中”，
则,
所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为
.
故答案为：0.38/.
15．【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先明确三角形的形状，再利用直角三角形的边角关系求边.
（2）先利用三角形的面积求边，再利用余弦定理求边.
【详解】（1）如图：

在中，因为，，所以，所以为等腰三角形.
过作于，则为中点.
在中，，，，所以，即.
（2）因为：.
由余弦定理：，
所以.
16．【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）所有组成的三位数的个数是，由个位数是5的数的个数可求；由被3整除三位数的个数可求；
（2）根据和事件的概率公式和积事件的性质即可得解.
【详解】（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是，
要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，
而这些数中个位数是5的数的个数为，
所以事件发生的概率.
由题意要使得组成的三位数能被3整除，
则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数，
即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个，
所以事件发生的概率.
故，.
（2）因为表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除，
555既能被3整除，又能被5整除，
所以.
因为表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除，
所以.
故，.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接，根据线面垂直的判定证明平面即可；
（2）方法一：连接交于点，根据中位线的性质证明即可；
方法二：取中点，连接，连接，证明平面即可
【详解】（1）证明：连接，，则
长方体中，
平面平面
所以，，
所以，平面平面
所以，.
（2）方法一：连接交于点， 则为的中点，
连接 ，则为的中位线，故
平面，平面
所以，∥平面
方法二：取中点，连接，
则 ，四边形为平行四边形，
所以，，
所以，
连接，则 ，四边形为平行四边形，
所以，，
所以，
因为，
所以，平面
因为平面，
所以，∥平面.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明平面，即可得证平面平面；
（2）取中点，连接，先证明四边形矩形，再由（1）可得平面，从而得为直线与平面所成角，在中，利用求解即可.
【详解】（1）证明：因为平面ABC，∥，
所以平面ABC，又因为平面ABC，所以，
又因为，E为BC的中点，所以，
又因为平面，且，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
（2）取中点，连接，如图所示：
则有∥，且，
由题意可知∥，且，
所以∥，且=，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
由（1）可知平面，
所以平面，面，则，
所以即为直线与平面所成角，
又因为，，
易知为等腰直角三角形，
所以，
所以，
又因为，
在中，,
所以,
在中，，
又因为，所以.
即直线与平面所成角为.
19．【答案】(1)，中位数为74，平均数为72.5
(2)方案一受到奖励的商家更多，理由见解析
【详解】（1）由题意可知，解得.
设中位数为，则，解得，所以中位数为74，
平均数为
（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，
方案二受到奖励的商家的个数为，
因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多.
20．【答案】(1)证明见解析
(2)363.5
【分析】（1）推导出， ，再利用方差公式可证得结论成立.
（2）由（1）公式代入即可计算.
【详解】（1）
，，
同理可得，
即，即得证．
（2），.抽取的学生
生活费支出的平均数
生活费支出的标准差
男生22人
380
女生18人
360