辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面向量，且，则（ ）
A．B．C．D．3
3．已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
4．若向量，，，则可用向量，表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
8．函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．，则
C．若与是单位向量，则
D．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称
11．已知函数，则（ ）
A．是函数的周期
B．的图象关于直线对称
C．的最大值与最小值之积为
D．在区间上单调递减
三、填空题
12．已知，是关于的方程的两根，则实数等于 .
13．已知函数是奇函数，则的值为 ．
14．如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ．
四、解答题
15．已知．
（1）化简函数；
（2）若，求．
16．如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，.
（1）用分别表示向量，;
（2）求证:B，E，F三点共线.
17．据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元.
（1）求f(x)的解析式；
（2）求此商品的价格超过8万元的月份.
18．函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若恒成立，求的取值范围.
19．已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．
（1）当时，求函数的值域；
（2）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，所以，
所以与向量同向的单位向量的坐标为：，
故选B
2．【答案】A
【详解】向量，则，
由，得，所以.
故选A
3．【答案】A
【详解】由题意可知，
所以，
所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到，
再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，
即的图象，
故选A
4．【答案】A
【详解】设，即，
则有，解得，则.
故选A.
5．【答案】B
【详解】
设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得
故选.
6．【答案】A
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得.
所以，
由得，得，
解得.
故选A
7．【答案】A
【详解】解法一：依题意①，②，③，
由②③式解得，，
代入①式得．
解法二：以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，
设，则，
由，有，
有，解得，得．
故选A．
8．【答案】D
【详解】，
令，，则，，
函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选D.
9．【答案】AD
【详解】对于A,单位向量是长度为1的向量，方向不一定相同，故A错误，
对于B,由可得，所以，故，故B正确，
对于C , 与是单位向量，则，C正确，
对于D,若为零向量，则无法得到与共线，故D错误，
故选AD
10．【答案】CD
【详解】由图可知，，
所以，因为且点在递减区间上，所以，
则，
又，，且点在递减区间上，
所以，则，
又，所以，故，
则，则的最小正周期，
因为，故A错误；
因为的最小正周期，即，所以，故B错误；
当时，，
因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确；
将的图象向左平移个单位长度得到，
又为奇函数，函数图象关于原点对称，故D正确；
故选CD.
11．【答案】ACD
【详解】令，则，
即
所以，
，故A正确；
，得，
所以的图象不关于直线对称，故B错误；
当时，取最大值3；
当时，取最小值，故的最大值与最小值之积为，
故C正确；
因为是函数的周期，所以只需考虑在区间上是否单调递减，
当时，单调递减；
当时，单调递减，又的图象不间断，
故在区间上单调递减，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】/
【详解】由方程有两根，得，解得，
依题意，，则，解得，符合题意，
所以实数等于.
13．【答案】
【详解】由函数是奇函数，得，
则，所以当时，.
14．【答案】3
【详解】因为是的重心，所以可得，
易知，所以可得；
又因为三点共线，可知存在实数满足,且；
又，，所以，
可得，即；
所以.
15．【答案】（1）
（2）1
【详解】（1）；
（2）因为，所以，
所以.
16．【答案】（1），；
（2）证明见解析.
【详解】（1）在中，由D是BC的中点，得，
而，于是
又F是AC的中点，所以.
（2）由（1）知，，因此，
即，而有公共点，所以B，E，F三点共线.
17．【答案】（1）f(x)＝2sin＋7；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.
【详解】解（1）由题意可知＝7－3＝4，∴T＝8，
∴ω＝.
又，∴，
即f(x)＝2sin＋7.(*)
又f(x)过点(3，9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，
∴sin＝1，∴，k∈Z.
又|φ|8，
∴sin>，
∴，k∈Z，
可得＋8k