上海市闵行区上海师范大学附属中学闵行分校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份上海市闵行区上海师范大学附属中学闵行分校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了本试卷分设试卷和答题纸， 已知，则______， 已知．则______．， 已知，则________， 已知，且，，则_______， 化简等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 若角的终边经过点，则______．
2. 已知扇形半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为______.
3 已知，则____.
4. 已知，且，则___________．
5. 方程 在 上的解为_____.
6. 已知，则______.
7. 已知．则______．
8. 已知，则________.
9. 已知，且，，则_______.
10. 化简：______.
11. 已知，那么________
12. 已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则_________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知函数，如果点是角终边上一点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
14. 若，则（ ）
A. B. C. D.
15. （正弦）一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦，他是十五世纪西欧数学界的领导人物，今天我们所使用的符号：（正割），（余切），（余割），是经过了漫长的历史发展，直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，若，则（ ）
A. B. C. D. 或
16. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（ ）
A B.
C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．
（1）；
（2），
18. （1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求的值.
19. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l．
（1）若，求扇形的弧长l；
（2）若，求扇形弧所在的弓形的面积；
（3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
20. 在以原点为圆心的单位圆中，钝角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.
（1）求的值和钝角的大小；
（2）求的值；
（3）记点的横坐标为，若，求的值.
21. 已知集合，，设函数.
（1）当时，证明：函数常数函数；
（2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合；
（3）当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.
上海师范大学附属中学闵行分校
高一数学 月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 若角的终边经过点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求出函数值.
【详解】依题意，．
故答案为：
2. 已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式计算直接得出结果.
【详解】由题意知，扇形的弧长为，
所以扇形的周长为.
故答案为：6
3. 已知，则____.
【答案】##
【解析】
【分析】由正、余弦的齐次式，利用同角间的关系弦化切，即可代入求值.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
4. 已知，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件与特殊角的正切值，可得答案.
【详解】因为，所以，
，所以．
故答案为：.
5. 方程 在 上的解为_____.
【答案】
【解析】
分析】先利用辅助角公式化简，结合范围求解可得答案.
【详解】因为，所以，
所以,即，
因为，所以.
故答案为：
6. 已知，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】直接运用二倍角余弦公式即可.
【详解】若，由二倍角的余弦公式可得，.
故答案为：.
7 已知．则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据两角和与差的正弦公式计算可得、，结合同角的商数关系计算即可求解.
【详解】，
，
两式相加得，两式相减得，
所以.
故答案为：
8. 已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦函数的和角公式以及辅助角公式，整理化简等式，再利用诱导公式以及余弦的二倍角公式，可得答案.
【详解】因为，即，
所以.
故答案为：
9. 已知，且，，则_______.
【答案】##
【解析】
【分析】同时平方，根据同角三角函数的平方关系得到，再利用两角和的正弦公式的逆用求得，再根据的范围求得的值.
【详解】因为，，所以，
即，
所以，
由，得，则.
故答案为：.
10. 化简：______.
【答案】
【解析】
【分析】应用诱导公式计算化简.
【详解】
.
故答案为：
11. 已知，那么________
【答案】
【解析】
【分析】将利用诱导公式转变为的形式，然后根据函数解析式直接计算的值即为的值.
【详解】因为且，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的应用，着重考查了分析与转化的能力，难度较难.
12. 已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】先证得，结合条件得必为整数，分为钝角三角形与锐角三角形讨论求得的值
【详解】由，
得.
记，由条件得，
因为，所以必为整数.
如果为钝角三角形，则，则、均为锐角，
从而、为正整数()，
于是，
这时有，矛盾.
于是只能是锐角三角形，则.
又.
若，则，从而不能成立;
若，则，由，得;
若，则，由，得，与矛盾.
所以，即，
所以.
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：解题关键是由推得必为整数，再结合求解.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知函数，如果点是角终边上一点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数定义，先求出角的正弦和余弦，再根据两角和的正弦公式求解即可.
【详解】因为点是角终边上一点，
所以，，
则.
故选：C
14. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系求出的值，再根据二倍角公式求出即可.
【详解】因为，所以.
又因为.
故选：B.
15. （正弦）一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦，他是十五世纪西欧数学界的领导人物，今天我们所使用的符号：（正割），（余切），（余割），是经过了漫长的历史发展，直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，若，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的关系可得，两边同时除以后，解方程可求的值，再检验即可得答案 .
【详解】由题意得，
即
即，
两边同时除以可得，
解得或，
当时，，不符合题意，所以.
故选:C.
16. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角速度列方程，求得两点重合的时刻的表达式，进而求得点的坐标，再根据三角函数的周期性求得正确答案.
【详解】点的初始位置，锐角，设时刻两点重合，
则，即，
此时点，
即，，
当时，，故A正确；
当时，，即，故C正确；
当时，，即，故D正确；
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误.
故选：B
【点睛】关键点睛：追及问题的关键点在于时间，运动的时间相同，由此可建立等量关系式，从而可对问题进行求解.三角函数具有周期性，诱导公式可以将较大角的三角函数值转化为较小的角的三角函数值.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．
（1）；
（2），
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据正余弦的函数值，在单位圆中画出对应角的范围即可知α的集合.
【小问1详解】
如图①，过点作x轴的平行线交单位圆于两点，则，，
故α的范围是．
【小问2详解】
如图②，过点作x轴的垂线与单位圆交于两点，则，
故α的范围是．
18. （1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求的值.
【答案】（1）（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到；
（2）将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果.
（3）结合同角三角函数关系解出方程即可.
【详解】（1）在第二象限，
，
.
（2）由，
所以.
（3）因为，且，解得或（舍去），
则.
19. 已知扇形圆心角是，半径为R，弧长为l．
（1）若，求扇形的弧长l；
（2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积；
（3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可；
（2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积
（3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得；
【小问1详解】
．
【小问2详解】
设弓形面积为．由题知．
．
【小问3详解】
由已知得，，
所以．
所以当时，S取得最大值，
此时．
20. 在以原点为圆心的单位圆中，钝角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.
（1）求的值和钝角的大小；
（2）求的值；
（3）记点的横坐标为，若，求的值.
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用单位圆定义可得，再由三角函数定义计算可得；
（2）利用诱导公式化简后代入计算可得结果；
（3）由余弦函数定义可知，可知，结合整体代换以及诱导公式并计算可得结果.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
又因为为钝角，所以点在第二象限，即，
所以；
易知，又，
因此可得
【小问2详解】
由（1）可知，
易知原式
【小问3详解】
由（1）中，利用三角函数定义可得；
又可得；
因为，所以，
因此；
所以
.
21. 已知集合，，设函数.
（1）当时，证明：函数是常数函数；
（2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合；
（3）当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2），
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用题设定义和平方关系，即可证明结果；
（2）根据题设，利用倍角公式及余弦的差角公式得到，再利用平方关系可得间的关系，再结合题设条件，即可求解；
（3）根据条件，利用倍角公式及平方关系，得到，，再分奇和偶讨论，结合题设条件，即可求解.
【小问1详解】
当时，，
所以是常数函数.
【小问2详解】
设，不妨令，
则
.
若函数是常数函数，则，
则，
得，所以，
得或，，所以或，，
同理或，，或，，
则①，又，
所以集合有，，共2个.
【小问3详解】
不妨令，
因为
，
若函数是常数函数，则，
两式平方相加得，所以，
得，，所以，，
①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，
每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和
与组两项（，）的和，
每一组为定值时，也为定值，
所以当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是.
【点睛】方法点晴：“新定义问题”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.