陕西省西安市远东第二中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市远东第二中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量的大小为0，没有方向
B．
C．起点相同的单位向量，终点必相同
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
2．已知平面向量，且，则的值为（ ）
A．B．C．2D．6
3．一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（ ）
A．B．26C．8D．18
4．已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．B．C．D．6
5．已知，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，共线，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形
C．有一个内角是的直角三角形D．等腰直角三角形
二、多选题
9．已知，，下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
11．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，可以作为基底，则B．若，则
C．若，则D．若与的夹角为，则或9
12．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A．当时，满足条件的三角形共有个
B．若则这个三角形的最大角是
C．若，则为锐角三角形
D．若，，则为等腰直角三角形
三、填空题
13．已知，且，则 .
14．记的内角的对边分别为，若，则的面积为 .
15．如图，在中，为线段上靠近点的四等分点，若，则 ．
16．直角梯形中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为 .
四、解答题
17．已知向量，，.
（1）若，求在方向上投影向量的坐标；
（2）若，求k的值.
18．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.
（1）用、表示；
（2）求的值.
19．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）已知，的面积为，求a的值
（3）在第（2）问条件下，求边长的值.
20．已知向量，，且与的夹角为．
（1）求及；
（2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
21．已知 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 外接圆的半径；
（3）若点 在线段 上， ， ，求 的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；
对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确；
对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误；
对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误．
故选B．
2．【答案】A
【详解】因为，所以，所以，
又因为，所以，解得.
故选A.
3．【答案】A
【详解】由题意可知，，，
所以，所以对该物体所做的功为.
故选A
4．【答案】C
【详解】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，，
则，又，是平面内两个不共线向量，因此，，
所以.
故选C
5．【答案】B
【详解】，
即，
所以，
所以，
∴，
故选B.
6．【答案】B
【详解】由题意，为正八边形，则交于点，且被其平分.
对于A，因，故A错误；
对于B，因，故B正确；

对于C，连接，交于点，由正八边形的对称性，可得垂直平分，
设正八边形的边长为1，因，则，
由正弦定理，，解得，
，因，故C错误；
对于D，由正八边形的对称性，可知，在中，，
由余弦定理，，
即，显然，故D错误.
故选B.
7．【答案】B
【详解】因为，
由正弦定理，得．
因为，
所以，
所以，
所以.
因为，所以，则．
由余弦定理，得，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故选B.
8．【答案】A
【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果.
【详解】因为向量，共线，
则，由正弦定理可得，
则，
因为，则，可知均不为0，
可得，则，即；
同理由向量，共线可得；
综上所述：.
所以的形状为等边三角形.
故选A.
9．【答案】AB
【详解】解：因为，，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选AB.
10．【答案】BC
【详解】A选项：，与共线，A错误；
B选项：，与不共线，B正确；
C选项：，与不共线，C正确；
D选项：，与共线，D错误；
故选BC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，若，可以作为基底，则与不共线，
当与共线时，，，故，可以作为基底时，，故A正确；
对于B，，，
，解得或，故B错误；
对于C，若，则，，故C正确；
对于D，，，或，故D正确.
故选ACD
12．【答案】BD
【详解】对于A，，无解，故A错误；
对于B,根据已知条件，由正弦定理得：,
不妨令,则,最大角的余弦值为：,
∴，故B正确；
对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误；
对于D,,得到,
又
,
,
为等腰直角三角形，故D正确.
故选BD.
13．【答案】
【详解】由题意知，，
由，得.
14．【答案】/
【详解】由余弦定理得，得，
所以.
15．【答案】
【详解】三点共线，所以.
16．【答案】
【详解】
由题意，如图建立平面直角坐标系，
则.
因为在边上运动（包含端点），设，
则，
所以，则.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由，可得，解得，则，
因在方向上投影向量为，故其坐标为：；
（2）由可得：，解得.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，则，所以，
因为为的中点，故.
（2）因为、、三点共线，则，，，
所以存在，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，
所以，则，
所以，故.
19．【答案】（1）
（2）4
（3）
【详解】（1）在中，由正弦定理得：
因为，所以，
从而，又 ，
所以，又，
所以；
（2）在中，，得，
（3）由余弦定理得：．
所以．
20．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为，
则，解得，
所以，，则，
故.
（2）由（1）可得，且，
因为与所成的角是锐角，则，解得，
且向量与不共线，则，即，
因此，实数的取值范围是.
21．【答案】（1）
（2）2
（3）
【详解】（1）由可得
，
由正弦定理得，
由于,故，
因为,故，
（2）由余弦定理可得，
由得，
解得所以，
所以的外接圆半径为，
（3）因为，
所以，
又，故，
故即，
则，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.