2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设集合A＝{0，1，2}，B＝{x|1＜x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．{2}B．{1，2}C．{0}D．{0，1，2}
2．（5分）已知复数z在复平面内对应的点是（0，1），则（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
3．（5分）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0﹣07”，478密位写成“4﹣78”．1周角等于6000密位，记作1周角＝60﹣00，1直角＝15﹣00．如果一个半径为3的扇形，它的面积为3π，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A．10﹣00B．20﹣00C．30﹣00D．40﹣00
4．（5分）已知l，m是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则α⊥β
B．若l⊥m，m∥α，则l⊥α
C．若α∩β＝l，m⊂α，l∥m，则m∥β
D．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m
5．（5分）已知，，…，是单位平面向量，若对任意的1≤i＜j≤n（n∈N*），都有，则n的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C满足sin2B＝3sin2A﹣2sin2C，当sinA的值最大时，的值为（ ）
A．2B．1C．D．
7．（5分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SC＝AC＝2，AB＝BC＝2，二面角S﹣AC﹣B的正切值是，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是（ ）
A．12πB．4πC．4πD．
8．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）﹣x有两个零点
B．若函数y＝f（x）﹣t有四个零点，则t∈[1，2]
C．若关于x的方程f（x）＝t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝1
D．若关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+α＝0有8个不等实根，则
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若α的终边经过P（5k，12k），k≠0，则
B．
C．若csα＞0，则α为第一或第四象限角
D．若角α和角β的终边关于y轴对称，则
（多选）10．（6分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若A＞B，则csA＜csB
B．若A＝30°，b＝5，a＝2，则△ABC有两解
C．若csAcsBcsC＞0，则△ABC为锐角三角形
D．若a﹣c•csB＝a•csC，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
（多选）11．（6分）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，F是线段A1B1的中点，则（ ）
A．若点P满足AP⊥B1C，则动点P的轨迹长度为
B．当点P在棱DD1上时，AP+PC1的最小值为
C．当直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D．当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，线段PF长度最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为x，y轴方向相同的单位向量），则P的坐标为（x，y），若P关于斜坐标系xOy的坐标为（2，﹣1），则
13．（5分）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数ω的取值范围是 ．
14．（5分）在锐角△ABC中，，它的面积为10，，E，F分别在AB、AC上，且满足，对任意x，y∈R恒成立，则 ．
四、解答题（本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知向量（2csx，1），（﹣cs（x），），x∈[0，]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x），若对于任意x1，x2∈[0，]，|f（x1）﹣f（x2）|≤λ恒成立，求实数λ的最小值．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角B；
（2）若△ABC外接圆的周长为，求△ABC周长的取值范围．
17．（15分）已知函数．
（1）证明：f（x）的定义域与值域相同．
（2）若∀x∈[3，+∞），∀t∈（0，+∞），，求m的取值范围．
18．（17分）已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，点M在线段EF上．
（Ⅰ）若M为EF的中点，求证：AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A﹣DF﹣B的正切值；
（Ⅲ）证明：存在点M，使得AM⊥平面BDF，并求的值．
19．（17分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在常数k（k＞0），使得对D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|，则称f（x）是“k﹣利普希兹条件函数”．
（1）判断函数y＝2x+1，y＝x是否为“2﹣利普希兹条件函数”，并说明理由；
（2）若函数y＝f（x）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的x1，x2∈R（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．
2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（5分）设集合A＝{0，1，2}，B＝{x|1＜x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．{2}B．{1，2}C．{0}D．{0，1，2}
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{x|1＜x≤2}，
∴A∩B＝{2}．
故选：A．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知复数z在复平面内对应的点是（0，1），则（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
【分析】由题得到z，再由复数的四则运算求解．
【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点是（0，1），∴z＝i，
∴1﹣i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的运算及几何意义，属于基础题．
3．（5分）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0﹣07”，478密位写成“4﹣78”．1周角等于6000密位，记作1周角＝60﹣00，1直角＝15﹣00．如果一个半径为3的扇形，它的面积为3π，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A．10﹣00B．20﹣00C．30﹣00D．40﹣00
【分析】根据扇形面积公式即可求得圆心角，再根据密位制定义即可求解．
【解答】解：设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n，
则，解得，
由题意可得，解得，
因此该扇形圆心角用密位制表示为20﹣00．
故选：B．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
4．（5分）已知l，m是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则α⊥β
B．若l⊥m，m∥α，则l⊥α
C．若α∩β＝l，m⊂α，l∥m，则m∥β
D．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m
【分析】根据线面平行、垂直的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则α与β不一定垂直，故A不正确；
若l⊥m，m∥α，则l与α的关系不确定，故B不正确；
若α∩β＝l，m⊂α，l∥m，根据线面平行的判定定理可知m∥β，故C正确；
若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m或l，m异面，故D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查线面位置关系的判断，属于中档题．
5．（5分）已知，，…，是单位平面向量，若对任意的1≤i＜j≤n（n∈N*），都有，则n的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由题意可知，单位向量 的夹角θ最小时，正整数n有最大值，利用向量数量积的定义求出此时n的值即可．
【解答】解：依题意，设单位向量 的夹角为θ，
因为，
所以，所以，
根据题意，正整数n的最大值为．
故选：C．
【点评】本题考查了数列与向量的综合应用，属于中档题．
6．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C满足sin2B＝3sin2A﹣2sin2C，当sinA的值最大时，的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】利用正弦定理化角为边，利用余弦定理结合基本不等式求出csA的最小值，再根据平方关系即可求出sinA的值最大，结合取等号的条件即可得解．
【解答】解：因为sin2B＝3sin2A﹣2sin2C，
由正弦定理得b2＝3a2﹣2c2，所以，
则，
所以，
当且仅当，即2b2＝c2时取等号，
所以当sinA的值最大时，．
故选：C．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
7．（5分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SC＝AC＝2，AB＝BC＝2，二面角S﹣AC﹣B的正切值是，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是（ ）
A．12πB．4πC．4πD．
【分析】首先利用二面角的正弦值求出二面角的余弦值，进一步判定BS＝BA＝BC＝2，且BS、BA、BC两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，进一步求出正方体的外接球半径，进一步求得外接球的表面积．
【解答】解：设点E为AC的中点，连接EB，ES，由于SA＝SC，AB＝BC，所以AC⊥SE，AC⊥BE，所以∠SEB为二面角S﹣AC﹣B的平面角；
由于二面角S﹣AC﹣B的正切值是，
所以tan∠SEB，故cs∠SEB；
在△SAC中，SE，
在△ABE中，BE，
在△SBE中，由余弦定理SB2；
所以BS＝AB＝BC＝2，
由于SA＝SC＝AC＝2，
所以BS、BA、BC两两垂直，将三棱锥体补成正方体，
如图所示：
正方体的棱长为2，则正方体的对角线长为2，
故外接球的半径R，
则外接球的表面积为4π•（）2＝12π．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：二面角的应用，余弦定理和补形法的应用，球的半径和球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属中档题．
8．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）﹣x有两个零点
B．若函数y＝f（x）﹣t有四个零点，则t∈[1，2]
C．若关于x的方程f（x）＝t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝1
D．若关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+α＝0有8个不等实根，则
【分析】作出函数f（x）与y＝x的图象，对于A：函数y＝f（x）﹣x的零点个数为函数f（x）与y＝x的交点个数，结合图象，即可判断A是否正确；
对于B：函数y＝f（x）﹣t的零点个数为函数f（x）与y＝t的交点个数，若函数y＝f（x）﹣t的零点有四个，可得t的取值范围，即可判断B是否正确；
对于C：由图知f（x）＝t有4个不等实数根，不妨设从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x1，x2关于x＝﹣1对称，x3，x4关于x＝2对称，即可判断C是否正确；
对于D：令f（x）＝t，则t2﹣3t+a＝0有8个不等实数根，即t＝f（x）有4个交点，t∈（1，2），令h（t）＝t2﹣3t+α，对称轴t∈（1，2），则，解得α的取值范围，即可判断D是否正确．
【解答】解：当x＞0时，f（x）＝e|x﹣2|，
函数y＝ex保留y轴右侧图象，将y轴右侧图象关于y轴对称可得y＝e|x|，再向右平移两个单位长度可得f（x）的图象，
当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x+1开口向下，对称轴为x＝﹣1，作出函数f（x）与y＝x的图象，如右图：
对于A：函数y＝f（x）﹣x的零点个数为函数f（x）与y＝x的交点个数，
由图可知函数f（x）与y＝x有3个交点，故A错误；
对于B：函数y＝f（x）﹣t的零点个数为函数f（x）与y＝t的交点个数，
f（﹣1）＝2，f（2）＝1，f（0）＝1，
若函数y＝f（x）﹣t的零点有四个，则t∈（1，2），故B错误；
对于C：由图知f（x）＝t有4个不等实数根，不妨设从左到右分别为x1，x2，x3，x4，
x1，x2关于x＝﹣1对称，x3，x4关于x＝2对称，
所以x1+x2＝﹣2，x3+x4＝4，
所以x1+x2+x3+x4＝2，故C错误；
对于D：令f（x）＝t，则t2﹣3t+α＝0有2个不等实数根，
即t＝f（x）有4个交点，t∈（1，2），
所以t2﹣3t+α＝0在（1，2）上有两个不同实数根，
令h（t）＝t2﹣3t+α，对称轴t∈（1，2），
所以，即，
解得2＜α，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若α的终边经过P（5k，12k），k≠0，则
B．
C．若csα＞0，则α为第一或第四象限角
D．若角α和角β的终边关于y轴对称，则
【分析】根据k的正负判断A，根据诱导公式判断B，根据三角函数在坐标轴上的符号判断C，由对称及三角函数的定义判断D．
【解答】解：当k＜0时，，故A选项错误；
，B正确；
csα＞0时，α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴，C错误；
因为，角α和角β的终边关于y轴对称，
结合三角函数定义可知csα＝﹣csβ，即，故D选项正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若A＞B，则csA＜csB
B．若A＝30°，b＝5，a＝2，则△ABC有两解
C．若csAcsBcsC＞0，则△ABC为锐角三角形
D．若a﹣c•csB＝a•csC，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
【分析】利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解．
【解答】解：对于A，∵A＞B，
∴sinA＞sinB，根据同角三角函数基本关系式可知csA＜csB，故A正确；
对于B，由正弦定理可得：，
∴sinB1，
此时△ABC无解，故B错误；
对于C，∵csAcsBcsC＞0，
∴，可知A，B，C均为锐角，故△ABC为锐角三角形，故C正确；
对于D：∵a﹣c•csB＝a•csC，a＝ccsB+acsC，
∴ccsB+bcsC﹣c•csB＝a•csC，∴bcsC＝acsC，∴（b﹣a）csC＝0，b＝a或csC＝0⇒C＝90°，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
（多选）11．（6分）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，F是线段A1B1的中点，则（ ）
A．若点P满足AP⊥B1C，则动点P的轨迹长度为
B．当点P在棱DD1上时，AP+PC1的最小值为
C．当直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D．当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，线段PF长度最大值为
【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点P的轨迹为矩形ABC1D1，其周长为4，判断A；以DD1为轴，将平面AA1D1D顺时针旋转90°，由勾股定理判断B；当点P在线段AC，AB1和上时，直线AP与AB所成角为45°，可知其轨迹长度为，判断C；根据线面平行的判定定理可求出点P在底面ABCD上的轨迹△FNM，推导出FP长度的最大值为FN＝2，判断D．
【解答】解：对于A，由题意得B1C⊥平面ABC1D1，A∈平面ABC1D1，
∴动点P的轨迹为矩形ABC1D1，
动点P的轨迹长度为矩形ABC1D1的周长，即为4，故A正确；
对于B，以DD1为轴，将平面AA1D1D旋转90°，如图，
则AC12，故B错误；
对于C，连接AC，AB1，以B为圆心，BB1为半径，画圆弧，如图，
当点P在线段AC，AB1和圆弧上时，直线AP与AB所成角为45°，
∵AC，AB1，
圆弧长度为π，
∴点P的轨迹长度为，故C正确；
对于D，取A1D1，D1D，DC，CB，BB1，AB的中点O，R，N，M，T，H，
连接OR，QF，FT，TM，MN，NR，FH，HN，HA，如图，
∵FT∥D1C，FT⊄平面D1B1C，D1C⊂平面D1B1C，∴FT∥平面D1B1C，
TM∥B1C，TM⊄平面D1B1C，B1C⊂平面D1B1C，∴TM∥平面D1B1C，
∵QF∥NM，QR∥TM，RN∥FT，
∴平在FTMNRQ与平面FTM是同一个平面，
∴点P的线段MN，
在△FNM中，
FN，FM，MN，
∴FM2+MN2＝8＝FN2，
∴△FNM是以∠FMN为直角的直角三角形，
∴，∴FP长度的最大值为2，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查线线垂直、点的轨迹、线面平行、正方体结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为x，y轴方向相同的单位向量），则P的坐标为（x，y），若P关于斜坐标系xOy的坐标为（2，﹣1），则
【分析】由斜坐标定义用，表示，然后平方转化为数量积求得模．
【解答】解：由题意，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
13．（5分）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数ω的取值范围是 [，]∪[，+∞） ．
【分析】先求得图象平移后的函数解析式，根据所得函数在区间上最值点的情况以及对ω进行分类讨论来求得ω的取值范围．
【解答】解：将f（x）＝Asinωx的图象向右平移个单位长度后，
所得函数图象对应的解析式为，
则当，
即ω≥2时，g（x）在上至少存在两个最值点，满足题意；
当0＜ω≤2时，，所以（k∈Z），
解得（k∈Z）．当k≤1时，解集为∅，不符合题意；
当k＝2时，解得；当k＝3时，解得．
综上，实数ω的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的图像变换，属于中档题．
14．（5分）在锐角△ABC中，，它的面积为10，，E，F分别在AB、AC上，且满足，对任意x，y∈R恒成立，则 ．
【分析】根据三角形面积求得，根据，对任意x，y∈R恒成立，可得DE⊥AB，DF⊥AC，再由，结合△ABD和△ACD的面积公式，推出c×DE＝5和b×DF＝15，最后根据向量数量积的定义式即可求得．
【解答】解：因△ABC的面积为10，且，
则有，解得，
由图知表示直线AB上一点到点D的向量，
而则表示直线AB上一点到点D 的距离，
由对任意x∈R恒成立可知，的长是点D到直线AB上的点的最短距离，
故易得此时DE⊥AB，同理可得DF⊥AC，
如图所示，因，
由可得：c×DE＝5，
由可得：b×DF＝15，
由锐角三角形ABC可知A是锐角，故∠EDF＝π﹣A是钝角，
于是，
于是．
故答案为：．
【点评】本题考查向量数量积的性质及运算，考查不等式恒成立问题，属中档题．
四、解答题（本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知向量（2csx，1），（﹣cs（x），），x∈[0，]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x），若对于任意x1，x2∈[0，]，|f（x1）﹣f（x2）|≤λ恒成立，求实数λ的最小值．
【分析】（1）由，则，再求解即可；
（2）由f（x），又x∈[0，]，则f（x）∈[，1]，又对于任意x1，x2∈[0，]，|f（x1）﹣f（x2）|≤λ恒成立，等价于，得解．
【解答】解：（1）由，
则，
即sinx，
即tanx，
又x∈[0，]，
则x；
（2）f（x）2csx[﹣cs（x）]，
又x∈[0，]，
则2x∈[，]，
则f（x）∈[，1]，
又对于任意x1，x2∈[0，]，而|f（x1）﹣f（x2）|≤λ恒成立，
则，
故实数λ的最小值为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数恒等变换及三角函数最值的求法，属中档题．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角B；
（2）若△ABC外接圆的周长为，求△ABC周长的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，可得a2+c2﹣b2＝ac，然后根据余弦定理求出csB，结合B∈（0，π）求得B的值；
（2）先求出△ABC外接圆的半径R，根据正弦定理算出b＝6，然后利用余弦定理与基本不等式算出a+c的最大值，结合a+c＞b求得△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）根据，可得，化简得a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理得，结合B∈（0，π），可得．
（2）设△ABC外接圆的半径为R，则2πR，解得R，外接圆直径为，
因为，所以b＝2RsinBsin6，
结合余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，得，
整理得（a+c）2≤144，a+c≤12，当且仅当a＝c＝6时，等号成立．
又因为a+c＞b＝6，可得6＜a+c，
所以a+b+c∈（12，18]，即△ABC的周长的取值范围为（12，18]．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
17．（15分）已知函数．
（1）证明：f（x）的定义域与值域相同．
（2）若∀x∈[3，+∞），∀t∈（0，+∞），，求m的取值范围．
【分析】（1）由具体函数的定义域可得，解不等式即可求出f（x）的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出f（x）的值域．
（2）设，则m＜f（x）min+g（t）min，分别求出f（x）min，g（t）min，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：由，得x＞1，
所以f（x）的定义域为（1，+∞）．
，
因为f（x）＝lg2（x+1）在（1，+∞）上单调递增．
所以f（x）＞f（1）＝lg22＝1，
所以f（x）的值域为（1，+∞），
所以f（x）的定义域与值域相同．
（2）由（1）知f（x）＝lg2（x+1）在（3，+∞）上单调递增，
所以当x∈[3，+∞）时，f（x）min＝f（3）＝2．
设，
当，即时，g（t）取得最小值，且最小值为﹣4．
因为∀x∈[3，+∞），∀t∈（0，+∞），，
所以m＜f（x）min+g（t）min＝﹣2．
即m的取值范围为（﹣∞，﹣2）．
【点评】本题考查了对数函数的性质、二次函数的性质，属于中档题．
18．（17分）已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，点M在线段EF上．
（Ⅰ）若M为EF的中点，求证：AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A﹣DF﹣B的正切值；
（Ⅲ）证明：存在点M，使得AM⊥平面BDF，并求的值．
【分析】（Ⅰ）设AC∩BD＝O，连结OE，证明OAME为平行四边形，推出AM∥OE，即可证明 AM∥平面BDE．
（Ⅱ）以C为原点，分别以CD，CB，CE为x，y，z轴建立坐标系C﹣xyz，求出平面BDF的法向量平面ADF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣DF﹣B的正切值．
（Ⅲ）设M（x0，x0，1），则，通过，求出M，然后求解比值即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：设AC∩BD＝O，连结OE，
因为 正方形ABCD，所以O为AC中点，
又 矩形ACEF，M为EF的中点，
所以 EM∥OA，且EM＝OA，
所以OAME为平行四边形，
所以 AM∥OE，
又 AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
所以 AM∥平面BDE；
（Ⅱ）以C为原点，分别以CD，CB，CE为x，y，z轴建立坐标系C﹣xyz，
则A（2，2，0），B（0，2，0），D（2，0，0），F（2，2，1），
则，
设平面BDF的法向量为，
由，得，
则，
易知平面ADF的法向量，
所以，
由图可知 二面角A﹣BF﹣D为锐角，记为θ，
所以csθ，
即，
所以求二面角A﹣DF﹣B的正切值为．
（Ⅲ）设M（x0，x0，1），则，
若AM⊥平面BDF，则，
即（x0﹣2，x0﹣2，1）∥（1，1，﹣2），
所以，解得，
所以，
所以 ．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，空间距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
19．（17分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在常数k（k＞0），使得对D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|，则称f（x）是“k﹣利普希兹条件函数”．
（1）判断函数y＝2x+1，y＝x是否为“2﹣利普希兹条件函数”，并说明理由；
（2）若函数y＝f（x）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的x1，x2∈R（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．
【分析】（1）根据所给定义推导|f（x1）﹣f（x2）|﹣2|x1﹣x2|的正负，即可判断；
（2）首先证明对任意的x1，x2∈[0，2]（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，再由周期性，即可证明对定义域内任意的x1，x2∈R（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．
【解答】解：（1）由题知，函数y＝f（x）＝2x+1的定义域为R，
所以|f（x1）﹣f（x2）|﹣2|x1﹣x2|＝|2x1﹣2x2|﹣2|x1﹣x2|＝0，
即|f（x1）﹣f（x2）|＝2|x1﹣x2|，
所以函数y＝2x+1是“2﹣利普希兹条件函数“；
函数y＝g（x）＝x的定义域为R，
所以|g（x1）﹣g（x2）|﹣2|x1﹣x2|＝|x1﹣x2|﹣2|x1﹣x2|＝﹣|x1﹣x2|＜0，（x1≠x2），
所以|g（x1）﹣g（x2）|＜2|x1﹣x2|，
所以函数y＝x是“2﹣利普希兹条件函数“；
（2）证明：若x1，x2∈[0，2]（x1≠x2），
当|x1﹣x2|≤1，则|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|≤1；
若|x1﹣x2|＞1，设0≤x1＜1＜x2≤2，
则|f（x1）﹣f（x2）|＝|f（x1）﹣f（0）+f（2）﹣f（x2）|≤|f（x1）﹣f（0）|+|f（2）﹣f（x2）|
≤|x1|+|2﹣x2|＝x1+2﹣x2＜1，
所以对任意的x1，x2∈[0，2]（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，
因为函数y＝f（x）（x∈R）是周期为2的周期函数，
所以对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），都存在p1，p2∈[0，2]，使得f（x1）＝f（p1），f（x2）＝f（p2），
所以f（x1）﹣f（x2）|＝|f（p1）﹣f（p2）|≤1，
综上可得对定义域内任意的x1，x2∈R（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．
【点评】本题主要考查函数的周期性和函数恒成立问题，属于中档题．
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答案
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答案
BD
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