数学：浙江省温州十校联合体2024-2025学年高二下学期期中联考试题（解析版）

这是一份数学：浙江省温州十校联合体2024-2025学年高二下学期期中联考试题（解析版），共15页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 在的展开式中项的系数为， 已知，则的最小值为，已知满足,且当时,，则的值为， 已知，则下列说法正确的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由复数的虚部的定义可知：的虚部为.
故选：.
2. 设全集，集合，集合，集合，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
，故
故选：A
3. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为为非零向量，所以.
故选：C.
4. 已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（ ）
A. 和都是真命题
B. 和都是真命题
C. 和都是真命题
D. 和都是真命题
【答案】D
【解析】对于命题，若是无理数，但是是有理数，
所以命题是假命题，则是真命题；
对于命题由，因为和是两个连续的整数，
则必是偶数，故命题是假命题，则为真命题.
故选：D.
5. 在的展开式中项的系数为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
【答案】B
【解析】由于的展开式中的系数是，
而.
故选：B.
6. 已知，则的最小值为（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
，
令，
可得：，易知对称轴为，
所以当时，取到最小值0，
故选：A
7. 某公司有12名员工，其中4名是经理，8名是普通员工.现在需要从12名员工中选出6人组成一个至少有2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（ ）
A.560种B. 616种C. 672种D. 728种
【答案】C
【解析】“至少有2名经理”包含三种情况：有2名经理，有3名经理，有4名经理，
情况一，选2名经理和4名员工，选法有：种；
情况二，选3名经理和3名员工，选法有：种；
情况三，选4名经理和2名员工，选法有：种；
所以不同的选择方案共有：.
故选：C.
8.已知满足,且当时,，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，可知函数图像关于对称，
又，由累加法可得：
，
又，
所以，
故选：B
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 若，则
C. ，则
D. 若，则的最大值为2
【答案】ABC
【解析】对于A，，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，由可得，
当时，显然；
当时，，
因为，所以，，所以，
即，故C正确；
对于D，由题意可得，则，
当时，，不符合题意取不到最大值，故D错误.
故选：ABC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量满足：，则相互独立
B. 已知随机变量，若，则.
C. 若的展开式中二项式系数的和为64，则系数最大的项为第4项
D. 一组数据的经验回归方程为，则当时，残差为1
【答案】ABD
【解析】A选项，，，故，
即，
则相互独立，A正确；
B选项，已知随机变量，若，
故和关于对称，故，B正确；
C选项，由题意得，解得，
展开式的通项公式为，,,
令，解得，
又，故，所以系数最大的项为第5项，C错误；
D选项，，，
数据的样本中心点为，
将代入中得，解得，
所以经验回归方程为，当时，，故残差为，D正确.
故选：ABD
11.在四棱锥中,面，，点为中点，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 点到平面的距离为
C. 三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为
D. 与面交于点则
【答案】ABD
【解析】因为面所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
又面，，点为的中点，点为的中点，
则，
由中点坐标公式可得，
对于A，，，
所以，即，故A正确；
对于B，设平面的法向量为，
由可得，
令，可得，
又，
所以点到平面的距离为，故B正确；
对于C，因为面，
所以三棱锥的外接球的球心为中点，
又，
所以其外接球半径为；
因为，，，
所以，
又面所以三棱锥的外接球的球心为的中点，
，所以其外接球半径为，
所以外接球半径之比为，故C错误；
对于D，设，，则，，
设平面的法向量为，
，
由可得，
令，则，
因为，解得，
所以，故D正确.
故选：ABD
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷纸对应的横线上.
12. 在中，，则的值是______.
【答案】
【解析】由正弦定理，所以，
又，所以，所以，
即，即，
即，所以.
故答案为：
13. 某班级男女生比例，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据平均值为3，方差为4，女生样本数据的平均值为5，方差为2，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差的值是______.
【答案】
【解析】由题，该班全体学生周末在家学习时长的平均数为，
所以方差.
故答案为：.
14. 在中，是BC的中点，是AD的中点，过点作直线交线段AB、线段AC分别于点，记的面积为，四边形GDCF的面积为，则的最小值______.
【答案】
【解析】如图，不妨记的面积为，的面积为，
设，
因是BC的中点，是AD的中点，
则，
则，
因三点共线，故，即.
由图知，，，
则，
于是，，
因，故得，
因，则，当且仅当时等号成立，
此时取得最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）求；
（2）求的最小正周期和单调增区间.
解：（1）;
（2）
则的最小正周期，
由，，
解得
的单调增区间为.
16. 在中，分别是角所对的边，点在边上，且满足.
（1）求的值；
（2）若，求.
解：（1）法
代入，得，
，
，故，
，
.
法2.，
由正弦定理得，
代入，得，故，
为直角三角形，则，代入，得，
所以.
（2）法1.中，由正弦定理得，
中，由正弦定理得，
，
，可得，
由（1），，
所以.
法2.Rt中，，
，
，
由余弦定理，，
.
17. 如图，在矩形中，为AD的中点，，将沿BE翻折至的位置，点在上，且
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
解：（1）连接BD交CE于点，连接FG，
因为，所以，
平面，平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面，取中点O，
则平面，所以平面，
因为，所以，，
过C作的平行线为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系如图所示
则，，
，，所以，
设平面的法向量，
则，则
平面的一个法向量，
由上可取平面的一个法向量为，
设二面角的平面角大小为，
则由图可得二面角的余弦值为.
18. 已知
（1）当时，解关于的不等式；
（2）已知有四个零点，且，求；
（3）当时，求的最大值，最小值.
解：（1）当时，，
当时，，
，
当时，，
综上可得，不等式的解集为.
（2）由题可得，即有4个根，
即方程或，
由对称性得，
.
（3），
当时，，
故，
同理，当时，，
（i），
（ii），
当时，，
（i），
（ii），
综上所述：
（1）当时，，
（2）当时，，
（3）当时，，
（4）当时，，
（5）当时，.
19. 《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题：
（1）当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望；
（2）当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率；
（3）假设村民数为2，牧童呼救时撒谎概率为.在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为.记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式.
解：（1）当村民数为4时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为，
设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即，
所以救援人数的期望值.
（2）当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救.
所以本题即求.而，
则.
故
（*）
故.
附注：（*）式的证明如下：
因，
则，
即，
故.
（3）村民数为2时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救.
故正常情况下，村民前往营救的概率为，
当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的概率为.
记事件为第i次村民前往营救白跑，
则,
故牧童第次呼救，有，
即，
整理可得，
即数列是首项为，公比为等比数列，
故.其中，
故
经检验也符合，故