2021-2022学年浙江省温州十校联合体高二下学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省温州十校联合体高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．设集合，则（　　）

A．{2，3} B．{1，2，3，5} C．{1，2，5} D．{1，5}

【答案】B

【分析】依据并集的定义去求即可解决.

【详解】

故选：B

2．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.

【详解】由推不出，反之，由可以推出

所以“”是“”的必要不充分条件

故选：B

【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.

3．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（， ），则的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式化简所求的表达式，通过三角函数的定义求解即可．

【详解】解：因为角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，

所以，，

所以，

故选：D.

4．设a，b，c是空间不同的三条直线，α，β是不同的平面，则下列推导正确的个数是（　　）

①          ②           ③

④              ⑤

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】依据平行公理可知①判断正确；依据线面平行判定定理否定②；依据线面垂直性质定理可知③判断正确；依据面面平行判定定理否定④；依据面面平行判定定理可知⑤判断正确.

【详解】①.判断正确；② 或.判断错误；

③ .判断正确；④ 或 或与相交. 判断错误；

⑤.判断正确；

综上，推导正确的3个

故选：C

5．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.

【详解】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为

由，可得，由，可得

由t=0时h=0，可得，则，又，则

则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为

故选：A

6．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：°C）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】A

【分析】先求得的值，再据此模型计算出时卖出奶茶的杯数.

【详解】，

由，可得，则

则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为9

故选：A

7．如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为7的等边三角形，，则△ABC的面积为（　　）

A．5 B．7 C．10 D．20

【答案】C

【分析】先利用余弦定理求得AB的长度，再去求的值，进而可求得△ABC的面积.

【详解】由，

可得，解之得或（舍）

则，

又，则

则

则△ABC的面积为

故选：C

8．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是梯形ABCD内一点（含边界），若，且，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立直角坐标系，写出对应的点的坐标与向量的坐标，代入数量积公式计算.

【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，

则，

所以，

因为，所以，

将代入上式，可得，所以，

又，

所以，

当时，的最小值为.

故选：C

【点睛】计算向量的数量积时，如果不能直接利用定义求解，可通过建立直角坐标系，利用数量积的坐标表示计算.

二、多选题

9．下列计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据指对数的运算可得答案.

【详解】，，

，，

故选：ABD

10．如图是一个正方体的表面展开图，还原成正方体后，下列判断正确的是（　　）

A．AC∥FH

B．BG与FH所成的角为

C．二面角G—AB—C的大小为

D．B，D，E，G恰好是一个正四面体的四个顶点

【答案】BCD

【分析】将表面展开图还原为正方体，然后逐项分析即可得出答案.

【详解】还原为正方体如图：

易得与为异面直线，故A错误；

连接，因为，，所以四边形为平行四边形，故，故或其补角为异面直线的夹角，

设正方体的棱长为，则，所以，所以异面直线与的角为，故B正确；

因为平面平面，由于平面，所以，故为二面角的平面角，

由于，且，所以，因此二面角的大小为，故C正确；

因为，所以恰好是一个正四面体的四个顶点，故D正确.

故选：BCD.

11．下列结论正确的是（　　）

A．若随机变量，则

B．已知随机变量X，Y满足，若，则

C．某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3

D．三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第一批占50%，次品率依次为6%、5%、4%， 将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953

【答案】AD

【分析】A选项，B选项分别利用正态分布，二项分布的性质处理，C选项利用古典概型的概率公式计算，D选项利用条件概率解决.

【详解】，则正态曲线关于对称，而是关于对称的两个区间，于是，A选项正确；

由二项分布的期望方差公式，

，，而，于是

，，B选项错误；

由选项可得，所求的概率为：，C选项错误；

根据选项可得，合格品的概率为：

，D选项正确.

故选：AD

12．已知，且，则（　　）

A．ab的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最大值为3

【答案】ABC

【分析】.利用基本不等式求解判断

【详解】因为，且，

A. ，当且仅当时，等号成立，故正确；

B. ，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

C. ，当且仅当时，等号成立，故正确；

D. ，

当且仅当，即时，等号成立，故错误；

故选：ABC

三、填空题

13．若复数z满足（i是虚数单位），则___________.

【答案】

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】由已知可得，因此，.

故答案为：.

14．在的展开式中的系数为___________.

【答案】280

【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项即可计算指定项的系数.

【详解】二项式的展开式通项为，

由解得，，

所以展开式中的系数为280.

故答案为：280

15．从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的五位偶数（用数字作答）.

【答案】2880

【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合，按位置分析法列式计算作答.

【详解】先按给定条件取出偶数和奇数，有种方法，再从3个偶数中取1个放在个位，余下4个数字作全排列，有种方法，

由分步乘法计数原理得：，

所以一共可以组成2880个没有重复数字的五位偶数.

故答案为：2880

16．已知函数对任意和任意都有恒成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】将化为关于的二次式子，利用判别式可将不等式化为对任意恒成立，令，可化为或，即可求出.

【详解】

，

因为对任意和任意都有恒成立，

所以对任意恒成立，

整理可得对任意恒成立，

即或，对任意恒成立，

即或对任意恒成立，

令，则，

则或对任意恒成立，

所以或，

因为，当且仅当，即时等号成立，所以，

又在单调递减，所以，

所以或.

故答案为：.

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知向量

(1)若，求x的值；

(2)若与夹角为，求x的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，由求解；

（2）根据与夹角为，得到求解.

【详解】(1)解：因为，

所以，

∴.

又，

∴；

(2)因为，

∴，

 ，

则 ，

又，

∴，

∴.

18．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到如下频率分布直方图：

(1)求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的众数、中位数及平均数；

(2)从第1，2组中用分层抽样的方法抽取10人，并再从这10人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率；

【答案】(1)；众数40、中位数42.1，平均数41.5

(2)

【分析】（1）依据频率分布直方图的性质去求a值和众数、中位数及平均数；

（2）依据古典概型去求这两人恰好属于同一组别的概率.

【详解】(1)由题意得：，所以；

众数为最高小矩形底边中点的横坐标，即40；

设中位数为x，则

平均数为：

则可以估计这200人的年龄的众数为40、中位数为及平均数为

(2)利用分层抽样的方法从第一组抽取4人，从第二组抽取6人，

依题意，所求的概率为

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.

(1)求△ABC各内角的大小；

(2)若D，E是边BC上的两点，，，设，△ADE的面积为f（a），求函数f（a）的最小值.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理求出，由三角形内角和求出；（2）先用正弦定理求得，，利用面积公式表达出，结合的范围，求出最小值.

【详解】(1)∵

∴，

∴，

∴

∵

∴由正弦定理得：

其中

∴

∵，

∴

∴

∴

∴.

(2)由（1）得，△ABC为等腰三角形，

∴

在△ABD中，

∴

同理

∴，

因为，

所以当时，

20．如图，在四面体ABCD中， ，，M是棱AD的中点.

(1)求四面体ABCD的表面积和体积；

(2)求直线CM与底面BCD所成的角的正弦值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意得 都是边长为 的正三角形，都是等腰三角形，进而求其面积；

法一：利用线面角定义即得；

法二：利用向量法线面角公式即得.

【详解】(1)（1）连结BM，由已知得，

∵

∴AD⊥面BCM.

在△BCM中:

∴

∴

(2)（2）令M到面BCD的距离为h，直线CM与底面BCD所成的角为.

∵

向量法：表面积求法同上.

以BC中点O原点，BC，OD方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（-1，0，0），D（0，，0）

设A（x，y，z）

则.即

∴到平面BCD的距离为，

∴

设平面BCD的一个法向量为

令直线CM与底面BCD所成的角为θ

.

21．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学抽取20名学生，对他们的课外阅读A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）.调查结果如下表：

(1)根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；

(2)从抽出女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中B类人数和C类人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）.

附：，其中

【答案】(1)表格见解析，无把握

(2)分布列见解析，

【分析】（1）依据要求填表，并计算出的值后，再判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；

（2）依据分布列的要求去完成分布列，并依据公式求出随机变量X的均值.

(1)

说明我们没有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

，

，

随机变量X的分布列

则

22．已知函数，

(1)判断 的奇偶性并证明；

(2)若，求的最小值和最大值；

(3)定义，设.若在内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.

【答案】(1)偶函数，证明见解析.

(2)，

(3)

【分析】（1）结合奇偶性的定义直接证明即可；

（2）将看作整体，结合二次函数的性质即可求出最值；

（3）由于，则转化为或，然后分类讨论即可求出结果.

【详解】(1)是偶函数

证：因为的定义域为,

且

∴f（x）是偶函数

(2)当，则

又

∴当时，

当时，

(3)因为都是偶函数.

所以在上是偶函数，因为恰有3个零点，所以，则有：或，

① 当时，即且时，因为当，令，因为，解得或，

所以恰有3个零点，即满足条件：.

② 当时，即且时，此时，

当时，只有1个零点，且，所以恰有3个零点等价于恰有2个零点，

所以，解得，此时有2个零点符合要求，

当时只有一个零点x=0，有2个零点符合要求，

当时，解得或，

令解得或（舍去），

所以的根为，要使恰有3个零点，则

综上：

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．