数学：吉林省白城市2024-2025学年高一下学期4月期中考试试题（解析版）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教B版必修第一册、必修第二册、必修第三册、必修第四册第九章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以．
故选：B．
2. 已知，，点P满足，则点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】点，，则，于是，
所以点的坐标为.
故选：C
3. 设的内角的对边分别为，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正弦定理得，所以.
故选：D.
4. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D
5. 在中，，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】根据题意，得，所以，
所以，所以，即，所以的形状是直角三角形．
故选：A．
6. 已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（ ）
A. 8B. 64C. D. 33
【答案】A
【解析】由题意，样本数据的方差为16，
则样本，，，…，的方差为，
所以样本，，，…，的标准差为．
故选：A
7. 已知，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，由指数函数是单调递减，
所以，又，
所以，又，所以，
所以．
故选：B．
8. 已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，取的中点，连接，
因为，所以，所以，
又为公共点，所以共线，且，所以点为的重心，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，
由正弦定理得，所以，
所以，
所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】BCD
【解析】对于A，，A不可以；
对于B，假定与共线，则，
则且，矛盾，向量和不共线，B可以；
对于C，不能由表示出，即向量和不共线，C可以；
对于D，假定与共线，则，
则且，矛盾，向量和不共线，D可以.
故选：BCD
10. 下列等式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，
，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，
，故D错误.
故选：BC.
11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 若P在线段BC上，且，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，由正八边形的结构特征可知：，
则，所以，
所以，故A正确；
对于B，由正八边形的结构特征可知，当点在边上时（不包含两点），的夹角为锐角，此时，当点在上时，设，则，则，当时，取得最小值，
综上所述，的最小值为，故B正确；
对于C，由题意可知，当点在边上时，在方向上的投影最大，最大值为，根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误；
对于D，设，则
，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是相互独立事件，且，，则______．
【答案】0.426
【解析】因为是相互独立事件，所以，
所以．
故答案为：0.426
13. 已知角满足，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】由已知，因为，又，所以.
14. 已知的内角的对边分别为，且，则__________，的最小值为__________．
【答案】 3；
【解析】在中，由及余弦定理，
得
，因此；
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故答案为：3；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求边上的高.
解：（1）因为，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
又，所以.
（2）因为，，，由余弦定理得，
即，即，
解得或（舍）.
设边上的高为，所以，即，
解得，即边上的高为.
16. 已知向量，．
（1）求；
（2）若向量，且，求m的值；
（3）求与垂直的单位向量的坐标．
解：（1）由向量，，得，
所以.
（2）向量，则，
由，得，解得，
所以m的值为.
（3），设与垂直的向量，
则，取，得，则，
与向量共线的单位向量为，
所以与垂直的单位向量的坐标或.
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式及单调递减区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围．
解：（1）由图可得，函数的最小正周期为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，解得，
所以，
令，解得，
所以的单调递减区间为．
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，
当时，，所以．
若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，解得，即的取值范围是．
18. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，点是边上的一点，且．求的长；
（3）若是锐角三角形，，点为的中点，求的取值范围．
解：（1）在中，由，得，
由余弦定理得，而，
所以.
（2）由（1）得，
由点是边上的一点，且，得，
在中，由余弦定理得，
即，所以.
（3）在锐角中，，则，，
由正弦定理得，
在中，点为的中点，，
由余弦定理得，
所以CE的取值范围是.
19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．
试求解下列问题：
（1）已知向量，满足，，，求的值；
（2）若向量，满足，，求证：；
（3）已知向量，，，求的最小值．
解：（1）由，，，得，
解得，，，
所以.
（2）由，得，
则，
，
所以.
（3）由（2）得，而，，
于是，，
，当且仅当，即时取等号；
所以的最小值是.