河南省南阳市部分学校（新未来联考）2024−2025学年高一下学期4月质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份河南省南阳市部分学校（新未来联考）2024−2025学年高一下学期4月质量检测 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列与角终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，且的面积为，则（ ）
A．1B．C．2D．3
3．已知向量，.若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
4．若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
6．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（ ）
A．先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
B．先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
C．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位
D．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位
8．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（ ）
A．B．2C．D．1
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若是第一象限角，则是锐角
B．
C．若，则为第三或第四象限角
D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角
10．在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．已知，则
C．已知，，，则最小内角的度数为
D．若，，，则满足条件的三角形有两个
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若且，则是的一条对称轴
B．若且点是的一个对称中心，则的最小值为
C．若且在区间上单调递增，则的取值范围为
D．若，且方程在上恰有一解，则的取值范围为
三、填空题
12．已知某扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为 .
13．若为的外心，，则的值为 .
14．已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知为坐标轴原点，角的始边与轴的非负半轴重合，且终边过点.
（1）求与同向的单位向量；
（2）求的值.
16．已知的内角，，所对的边分别为，，，若.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
17．已知，为单位向量，且与的夹角为.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18．如图，某大风车的半径为2米，按逆时针方向匀速转动，每12秒旋转一周，它的最低点离地面0.5米.风车圆周上一点从最低点开始，运动秒后与地面的距离为米.
（1）求函数的关系式；
（2）求转动一周，点距离地面不超过1.5米的时长.
19．在中，内角的对边分别是，记的面积为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，分别为的中线和角平分线.
（i）若的面积为，求的长；
（ii）求长的最大值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】对于A，因为，不是的整数倍，故A错误；
对于B，因为，此时与相差的整数倍，故B错误；
对于C，因为，不是的整数倍，故C错误；
对于D，因为，不是的整数倍，故D错误.
故选B.
2．【答案】A
【详解】根据题意，，
，解得.
故选A.
3．【答案】D
【详解】由，得，解得.
故选D.
4．【答案】B
【详解】因为，，且，
所以，
设向量与的夹角为，
则.
故选B.
5．【答案】C
【详解】因为，
设的周期为，则，即，
，，即，
所以的最小正周期为.
故选C.
6．【答案】A
【详解】根据题意可得，
所以，
又向量为非零，则，
则在方向上的投影向量为
.
故选A.
7．【答案】C
【详解】对于A，先将的图象向右平移个单位，得，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，
得，故A错误；
对于B，先将的图象向左平移个单位，得，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，故B错误；
对于C，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，
再将图象向左平移个单位，得，故C正确；
对于D，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，
再将图象向右平移个单位，得，故D错误.
故选C.
8．【答案】D
【详解】因为，分别为，的中点，所以，，
有，所以，
分别过作，则，
所以，在直角三角形中，易得，
设，
因为D，O，F三点共线，所以，即，
故，
，
故选D.
9．【答案】BD
【详解】对于A，当时，是第一象限角，但不是锐角，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，若，则为第三或第四象限角或在轴的负半轴，故C错误；
对于D，为第二象限角，则，
所以为第一或第三象限角，故D正确.
故选BD.
10．【答案】BC
【详解】对于A，因为，所以，
又因为，
所以或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，由，
得，
所以，
则，
又，所以，故B正确；
对于C，因为，所以角为最小角，
则，
又，所以，即最小内角的度数为，故C正确；
对于D，因为，
满足条件的三角形不存在，故D错误.
故选BC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，若且，则，
因为，所以不是的一条对称轴，故A错误；
对于B，若，则，
因为是的一个对称中心，
所以，所以，
又因为，所以的最小值为，故B正确；
对于C，若，则，
因为，所以，
因为在区间上单调递增，
所以，解得，故C正确；
对于D，若，则，
因为，所以，
因为方程在上恰有一解，
所以，解得，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，
由扇形的面积公式，可得该扇形的面积为.
13．【答案】2
【详解】取的中点，连接，
因为为的外心，
所以，所以，
因为，
所以.
14．【答案】
【详解】当时，，
因为在区间内既有最大值，又有最小值，
所以或，解得或.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）；
（2）因为角的始边与轴的非负半轴重合，且终边过点，
所以，
.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，据正弦定理可得，
且，则，可得，解得：；
（2）由余弦定理，可知，
代入数值，可得，
解方程可得，
则.
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为与共线，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得，
所以；
（2）因为，为单位向量，且与的夹角为，
所以，
则；
（3）因为向量与的夹角为锐角，
所以且向量与不共线，
由，得，
即，解得，
当向量与共线时，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得，
因为向量与不共线，所以，
综上所述，实数的取值范围为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，
则圆心为，圆的半径为，
因为每12秒旋转一周，可得每秒弧度，则秒后转弧度，即，
又因为大风车的半径为2米，最低点离地面0.5米，
过点作，可得
所以运动秒后与地面的距离为，
即函数的关系式为.
（2）解：由（1）知，
令，即，可得，
解得，所以，
因为，
当时，可得，时长为秒；
当时，可得，时长为秒；
所以转动一周点距离地面不超过1.5米的时长为秒.
19．【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
又因为，所以；
（2）（i）由，得，
由余弦定理得，
所以，
因为为的中线，
所以，
则，
所以；
（ii）由余弦定理得，
所以，
因为为的角平分线，所以，
由，得，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以当时，取得最大值，
即长的最大值为.