河南省南阳市部分学校（新未来联考）2024-2025学年高一下学期4月质量检测数学试卷（解析版）

这是一份河南省南阳市部分学校（新未来联考）2024-2025学年高一下学期4月质量检测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列与角终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，因为，不是的整数倍，故A错误；
对于B，因为，此时与相差的整数倍，故B错误；
对于C，因为，不是的整数倍，故C错误；
对于D，因为，不是的整数倍，故D错误.
故选：B.
2. 在中，，，且的面积为，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】根据题意，，
，解得.
故选：A.
3. 已知向量，.若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，解得.
故选：D.
4. 若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，且，
所以，
设向量与的夹角为，
则.
故选：B.
5. 已知，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
设的周期为，则，即，
，，即，
所以的最小正周期为.
故选：C.
6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可得，所以，
又向量为非零，则，
则在方向上的投影向量为
.
故选：A.
7. 若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（ ）
A. 先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
B. 先将图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
C. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位
D. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位
【答案】C
【解析】对于A，先将的图象向右平移个单位，得，
再将图象上所有点横坐标缩短到原来的，
得，故A错误；
对于B，先将的图象向左平移个单位，得，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，故B错误；
对于C，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，
再将图象向左平移个单位，得，故C正确；
对于D，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，
再将图象向右平移个单位，得，故D错误.
故选：C.
8. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】因为，分别为，的中点，所以，，
有，所以，
分别过作，则，
所以，在直角三角形中，易得，
设，
因为D，O，F三点共线，所以，即，
故，
，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若是第一象限角，则是锐角
B
C. 若，则为第三或第四象限角
D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角
【答案】BD
【解析】对于A，当时，是第一象限角，但不是锐角，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，若，则为第三或第四象限角或在轴的负半轴，故C错误；
对于D，为第二象限角，则，
所以为第一或第三象限角，故D正确.
故选：BD.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 已知，则
C. 已知，，，则最小内角的度数为
D. 若，，，则满足条件的三角形有两个
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以，
又因为，所以或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，由，
得，所以，
则，又，所以，故B正确；
对于C，因为，所以角为最小角，
则，
又，所以，即最小内角的度数为，故C正确；
对于D，因为，满足条件的三角形不存在，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若且，则是的一条对称轴
B. 若且点是的一个对称中心，则的最小值为
C. 若且在区间上单调递增，则的取值范围为
D. 若，且方程在上恰有一解，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对于A，若且，则，
因为，所以不是一条对称轴，故A错误；
对于B，若，则，
因为是的一个对称中心，所以，所以，
又因为，所以的最小值为，故B正确；
对于C，若，则，
因为，所以，
因为在区间上单调递增，所以，解得，故C正确；
对于D，若，则，
因为，所以，
因为方程在上恰有一解，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为________.
【答案】
【解析】因为扇形的半径为，圆心角为，
由扇形的面积公式，可得该扇形的面积为.
13. 若为的外心，，则的值为________.
【答案】2
【解析】取的中点，连接，
因为为的外心，所以，所以，
因为，所以.
14. 已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】当时，，
因为在区间内既有最大值，又有最小值，
所以或，解得或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.
15. 已知为坐标轴原点，角的始边与轴的非负半轴重合，且终边过点.
（1）求与同向的单位向量；
（2）求的值.
解：（1）.
（2）因为角的始边与轴的非负半轴重合，且终边过点，
所以，
.
16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
解：（1）因为，据正弦定理可得，
且，则，可得，解得：.
（2）由余弦定理，可知，
代入数值，可得，
解方程可得，
则.
17. 已知，为单位向量，且与的夹角为.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
解：（1）因为与共线，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得，
所以.
（2）因为，为单位向量，且与的夹角为，
所以，
则.
（3）因为向量与的夹角为锐角，
所以且向量与不共线，
由，得，
即，解得，
当向量与共线时，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得，
因为向量与不共线，所以，
综上所述，实数的取值范围为.
18. 如图，某大风车的半径为2米，按逆时针方向匀速转动，每12秒旋转一周，它的最低点离地面0.5米.风车圆周上一点从最低点开始，运动秒后与地面的距离为米.
（1）求函数的关系式；
（2）求转动一周，点距离地面不超过1.5米的时长.
解：（1）如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，
则圆心为，圆的半径为，
因为每12秒旋转一周，可得每秒弧度，则秒后转弧度，即，
又因为大风车的半径为2米，最低点离地面0.5米，
过点作，可得
所以运动秒后与地面的距离为，
即函数的关系式为.
（2）由（1）知，
令，即，可得，
解得，所以，
因为，
当时，可得，时长为秒；
当时，可得，时长为秒；
所以转动一周点距离地面不超过1.5米的时长为秒.
19. 在中，内角的对边分别是，记的面积为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，分别为的中线和角平分线.
（i）若的面积为，求的长；
（ii）求长的最大值.
解：（1）因为，所以，
所以，
又因为，所以.
（2）（i）由，得，
由余弦定理得，
所以，
因为为的中线，
所以，
则，
所以.
（ii）由余弦定理得，
所以，
因为为的角平分线，所以，
由，得，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以当时，取得最大值，
即长的最大值为.