2024-2025学年河南省新未来高一下学期4月质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省新未来高一下学期4月质量检测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=2−i，则z2=( )
A. 3−4iB. 3+4iC. −3+4iD. −3−4i
2.下列说法正确的是( )
A. 直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
3.已知平面向量a=(λ,2)，b=(1,λ+1)，若a⊥b，则λ=( )
A. 1B. −2C. −23D. 23
4.用斜二测画法画水平放置的△ABC，其直观图△A′B′C′如图所示，其中B′O′=C′O′=1，若原△ABC的周长为6，则A′O′=( )
A. 3B. 2C. 32D. 22
5.已知向量a=(1,1)，b=(−2,1)，则a在b上的投影向量为( )
A. (45,−25)B. (25,−15)C. (23,−13)D. (35,−65)
6.为了测量河对岸一古树高度AB(如图)，某同学选取与树底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=15∘，∠BDC=30∘，并在点C处测得树顶A的仰角为60∘，若树高AB约为48 3米，则CD=( )
A. 100.8米B. 33.6米C. 48 3米D. 48 2米
7.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC= 3，BC=2 2，点P是边BC上的动点，则AP⋅(AB+AC)的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 92
8.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+bc，则cb的取值范围为( )
A. (1,3)B. (2,3)C. (1,2)D. (2,4)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−2,3)，b=(−1,−5)，则下列说法正确的是( )
A. a//bB. (b+a)⊥a
C. |2a+b|=|b|D. a与b的夹角的余弦值为− 22
10.已知z1，z2为复数，则下列结论一定正确的是( )
A. z1z2=z1⋅z2B. |z1z2|=|z1||z2|
C. 若|z1+z2|=|z1−z2|，则z1z2=0D. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
11.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=π3，a= 3.则下列结论正确的是( )
A. bcsC+ccsB= 3
B. △ABC周长的最大值为2 3
C. AC⋅AB的最大值为32
D. csBcsC的取值范围为(−∞, 32)∪( 3,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z=3+i1−3i的共轭复数z= ．
13.在△ABC中，∠A=π3，AC=2，设BC边长为x，若满足条件的△ABC有且只有两个，则x的取值范围是 ．
14.已知等边三角形ABC的外接圆的周长为2π，点M是△ABC外接圆上的一动点，则AM⋅MB的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a为实数，复数z1=a−2i，z2=a+3i，|z2|= 2|z1|，复数z2在复平面内所对应的点位于第一象限．
(1)求a的值;
(2)在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，其中O是原点，求∠AOB的大小．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2c−b)csA=acsB.
(1)求角A;
(2)若△ABC的面积为3 32，sinB=32sinC，求a．
17.(本小题15分)
已知|a|=2，|b|= 2，|a+b|=|a−2b|.
(1)求|a+2b|;
(2)若2a−λb与a+2b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足BM=kBC，CN=kCD，其中k∈(0,1)．
(1)当∠DAB=90∘，k=13时，求向量AM和AN的夹角的余弦值;
(2)当∠DAB=60∘时，求AM⋅AN的取值范围．
19.(本小题17分)
在△ABC中，点D是边AC上一点．
(1)若∠ABD=∠CBD，求证：AB⋅CD=BC⋅AD;
(2)若∠ABD=∠CBD=π3，BD=4，求△ABC面积的最小值;
(3)若BD⊥BC，CD=3DA，∠ABD=∠BCD，且△ABC的面积为12，求AB的值．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.C
5.B
6.D
7.A
8.C
9.BCD
10.AB
11.AC
12.−i
13. 3,2
14.[−32,12]
15.(1)由|z2|= 2|z1|，有 a2+9= 2⋅ a2+4，可得a=±1，
又由z2在复平面内所对应的点位于第一象限，有a>0，故有a=1;
(2)依题意，向量OA=(1,−2)，OB=(1,3)，
于是有OA⋅OB=−5，
|OA|= 12+22= 5，|OB|= 12+32= 10，
∵∠AOB为OA与OB的夹角，
∴cs∠AOB=OA⋅OB|OA||OB|=−5 5× 10=− 22，
∵∠AOB∈[0,π]，
∴∠AOB=34π．
16.解：(1)因为(2c−b)csA=acsB，
由正弦定理得2sinCcsA=sinBcsA+sinAcsB，
则sin(A+B) =2sinCcsA，
即sinC=2sinCcsA.
在△ABC中，由sinC≠0，故csA=12．
因为A∈(0,π)，所以A=π3;
(2)因为△ABC的面积为3 32，
所以12bcsinA=3 32= 34bc，得bc=6．
又由sinB=32sinC，有b=32c，
有32c2=6，可得c=2，b=3，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
则a2=22+32−2×2×3×12，可得a= 7．
17.解：(1)因为|a+b|=|a−2b|，所以(a+b)2=(a−2b)2，即2a⋅b=b2，
因为|b|= 2，所以a⋅b=1，
所以|a+2b|= (a+2b)2= 4+1×4+8=4;
(2)因为2a−λb与a+2b的夹角为锐角，
所以(2a−λb)⋅(a+2b)>0，即2a2+(4−λ)a⋅b−2λb2>0，
即8+4−λ−4λ>0，解得λ