湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期5月阶段检测数学试题（Word版附答案）.

这是一份湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期5月阶段检测数学试题（Word版附答案）.，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分 命题：谢卫平 周慧
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求．
1．已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．已知 a，b 是空间中的两条直线，则“ ”是“a，b 无公共点”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．一支游泳队有男运动员 28 人，女运动员 20 人，按照性别进行分层，样本按比例分配，用分层随机抽样
的方法从该游泳队中抽取了男运动员 7 人，则女运动员被抽取的人数为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
5．函数 的图象如图所示，则 （ ）
A.1 B. C.2 D.
6．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为 个
感染者在每个传染期会接触到 个新人，这 个人中有 个人接种过疫苗（ 称为接种率），那么 1 个感
染者传染人数为 ．已知某种传染病在某地的基本传染数 ，为了使 1 个感染者传染人数不
超过 1，则该地疫苗的接种率至少为（ ）
A. B. C. D.
8．如图，已知 ，任意点 关于点 的对称点为 ，点 关于点 的对称
点为 ，则 （ ）
A.1 B. C.2 D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．设样本空间 含有等可能样本点，且 ，则下列说
法正确的是（ ）
A.事件 与 为互斥事件 B.事件 与 为对立事件
C.事件 两两相互独立 D.
10．已知正方体 的棱长为 1，下列说法正确的是（ ）
A. B. 与 所成的角为
C. 与平面 所成的角为 D. 到平面 的距离为
11．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励
函数．定义双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 ，双曲正切函数
．则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 是奇函数 D.对任意的 ，存在唯一的 ，使 ．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．函数 的最小正周期是___________．
13．数据 的平均数 ，方差 ，若 ，则
数据 的平均数 ___________，方差 ___________．
14．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为 6．一个半径为 1 的小球在该容器内自由运动，则小球
能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为___________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）如图，在直三棱柱 中， 为 的中点， 为棱 的中点．求证：
（1） 平面 ABC；
（2）平面 平面 ．
16．（15 分）为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了 100 名学生，统计了他们某一周
的综合体育活动时间（单位：时），并按照 将样本数据分成 6 组，制
成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
（2）利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学
生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于 8 小时的概率．
17．（15 分）已知 的内角 的对边分别为 ，已知向量 ，且
．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，且 ，求 的周长．
18．（17 分）已知 ，设 是函数 的图象上任意两点，点
满足 ，其中 为坐标原点．
（1）求 的零点；
（2）若 ，求 值；
（3）若 ，求 的最小值．
19．（17 分）如图 1，一个透明塑料制成的长方体容器 ，
若固定容器底面一个顶点 于平面 上，再将容器倾斜，使得顶点 到平面 的距离分别为
，且 在平面 内的射影分别为 ．
（1）求证： ，且四边形 为平行四边形；
（2）若 ，
①求平面 ABCD 与平面 所成二面角的余弦值；
②若往容器灌进一些水，使水面刚好过顶点 ，水面所在四边形为 CEFG，求灌进水的体积．
附：二面角面积射影定理：
设一个平面 外的 在平面 内的射影为 ，
的面积和 的面积分别为 和 ，如图 3．
若 所在平面和平面 所成的二面角为 ，则 ．
明德中学 2025 年上学期高一年级 5 月阶段检测
数学试题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A B C B D C
题号 9 10 11 12 13 14
答案 BC ABD ACD 25；80
15．证明（1）取 AB 的中点 ，连接 PD，CD.
因为 P，D 分别是 的中点 ，且 ，
又三棱柱 中， ，而 为棱 的中点，所以 ，且 ，
所以 ，所以四边形 PDCQ 为平行四边形，因此 ．
又 平面 平面 ABC，所以 平面 ABC.…………………………………………6 分
（2）直三棱柱 中， 平面 ABC，又 平面 ABC，所以 ，
又 为 AB 的中点，所以 ．
又 ，所以 平面 ．
由（1）知， ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以平面 平面 ．………………………………………………13 分
16．解（1）第五组的频率为 ，
所以该组对应的小矩形高度为 ，故补全频率分布直方图如下：
………………………………………………3 分
设样本数据的中位数为 ，平均数为
因为样本数据在 的频率为 ，
因为样本数据在 的频率为 ，
则 ，所以 ，解得 ，…………………………………6 分
故估计样本中位数为 6.4.
故估计样本平均数为 6.2.
由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为 6.4 和 6.2．
（说明：此处没有用样本估计总体，只估计样本中位数和平均数，扣 1 分）
（2）由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于 8 小时的频率为
.
记事件 “抽取的第 1 名学生每周综合体育活动时间不低于 8 小时”， “抽取的第 2 名学生每周综合
体育活动时间不低于 8 小时”，由题意 相互独立.
利用频率估计概率， ．………………………………………………12 分
记事件 “抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于 8 小时”，则
所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于 8 小时的概率为 0.51．……………15 分
（说明：没有必要文字说明、表述不规范、未作答等情况，酌情扣 分）
17．解（1）由 知， ，………………………………………………………2 分
由正弦定理得， ，…………………………………………………………4 分
因为 ，所以 ．
则 ，即 ，又 ，所以 ．……………………………………7 分
（说明：没有说明 ，扣 1 分）
（2）法一：因为 的面积为 ，得 ，
又 ，因此 ．…………………………………………………………9 分
又 ，所以 ．从而
………………………………………11 分
所以 ．
又由 得， ，因此 ．
由余弦定理得， ，所以 ．
所以 的周长为 ．……………………………………………………15 分
法二：因为 的面积为 ，得 ．
又 ．……………………………………………………………………………9 分
所以 ，又 ，所以 ．
又 ，所以 ．从而
………………………………………11 分
设 的外接圆半径为 ，由正弦定理 ，得
所以， 的面积 ．
又 ，所以 ．………………………………………………………………………13 分
所以 的周长为 ．……………………15 分
18．解（1）令 得 ，解得 ．
所以 的零点为 ．……………………………………………………………………………3 分
（2）由 ，可得 ，即 ，则
…………………………………………9 分
（3）由 得 ，所以 的定义域为 ．
由 ，得 ．…………………………………………………………………………11 分
…………………………………………14 分
当且仅当 即 时，等号成立．所以 的最小值为 ．……………………17 分
19．解（1）由题意， ，则 ．
设 在平面 的射影为 ，即 ，
由线面平行性质定理，得 ，
又 分别为 BD，AC 的中点，所以 既是 的中位线，也是梯形 的中位线．
所以 ，即 ．………………………………………………3 分
由 是 的中位线，得 ．
由 是梯形 的中位线，得 .
所以，四边形 为平行四边形．…………………………………………………………………5 分
（2）因为 ，由（1）知， ，即 ．
①由 ，得 ，由 ，得 ．
又 ，得 .
所以由余弦定理，得 ，所以 ．
设平行四边形 的面积为 ，因此 …………………8 分
又四边形 ABCD 的面积 ．
设平面 ABCD 与平面 所成的角为 ，则根据二面角的面积射影定理，得 ．
所以平面 ABCD 与平面 所成的角的余弦值为 ．………………………………………………10 分
②设长方体侧棱 与平面 所成的角为 ．
因为 平面 ABCD，又平面 与平面 ABCD 所成角为 ，所以 ．
由①得， ．所以 ．………………………………13 分
因为水面所在四边形 平面 ，所以 到平面 的距离 等于 到平面 的距离 4．
由 ，得 ．……………………………………………………………15 分
过 作平面 ABCD 的平行平面 FMNT，交 分别于 ．
由（1）结论， .
所以，几何体 与几何体 的体积相等．
因此，容器中灌进水的体积为 ．
所以灌进水的体积为 ．………………………………………………………………………17 分