2025年中考数学第三次模拟考试卷：数学（成都卷）（解析版）

这是一份2025年中考数学第三次模拟考试卷：数学（成都卷）（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的倒数是（ ）
A． B．-2025 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
先根据绝对值、相反数的定义化简，再根据倒数的定义即可解答．
【详解】解：，
的倒数是，
故选：D．
2．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“己”时，下面的字是（ ）
A．做B．最C．好D．己
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，注意正方体的空间图形，从相对面入手．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“做”与“己”是相对面，
“最”与“的”是相对面，
“自”与“好”是相对面；
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查乘法公式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式及积的乘方可进行求解．
【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算正确，故符合题意；
故选D．
4．点的横坐标是，且到轴的距离为5，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离，熟练掌握该知识点是解题的关键．点到轴的距离为5，点的纵坐标是或，又因为点的横坐标是，从而得到点的坐标．
【详解】解：点到轴的距离为5，
点的纵坐标是或，
点的横坐标是，
点的坐标是或．
故选：B．
5．某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是15
【答案】B
【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差的定义，熟练掌握这些知识点是解决问题的关键，根据相关知识点一一判断即可；
【详解】解：A．这组数据的平均数为，此选项错误，不符合题意；
B．这组数据中90分出现5次，次数最多，所以这组数据的众数为90分，此选项正确，符合题意；
C．这组数据的中位数为，此选项错误，不符合题意；
D．这组数据的方差为，此选项错误，不符合题意；
故选：
6．在中，相交于点O，下列条件中，不能判定这个四边形是菱形的是（ ）
A． B．C．平分 D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
【详解】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形，故能判定这个四边形是菱形，不符合题意；
B、由对角线垂直的平行四边形是菱形，故能判定这个四边形是菱形，不符合题意；
C、如图，
∵平分，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
由一组邻边相等的平行四边形是菱形，故能判定这个四边形是菱形，不符合题意；
D、∵平行四边形中，，
有，
∴，即，
∴四边形是矩形，故不能判定这个四边形是菱形，符合题意；
故选：D．
7．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：氨生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键．
设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解．
【详解】解：1尺寸，
高9尺就是寸，
所以．
故选：D．
8．如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图：
第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；
第三步：作射线，交于点，交延长线于点．
作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，即可以判定．
【详解】解：由作图可知，为的角平分，
∴，故①正确；
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④错误；
∴，
∵，
∴，故②正确，
故选：B．
第II卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．若m，n为实数，且m＝+8，则m+n的算术平方根为 ．
【答案】3
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x、y的值，根据算术平方根的概念解答即可．
【详解】解：依题意得：1﹣n≥0且n﹣1≥0，
解得n＝1，
所以m＝8，
所以m+n的算术平方根为：＝3．
故答案是：3．
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，掌握运算法则是解题关键
10．方程的解为 ．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
方程两边同时乘得：，
解得：，
经检验，时，，
分式方程的解为，故答案为：．
11．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，由弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），求出的长，即可解决问题．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∵的长，
∴“莱洛三角形”的周长等于的长．
故答案为：．
12．有三张材质、大小、背面图案完全相同卡片，分别写了三种不同的化学元素“O—氧”、“K—钾”、“H—氢”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一张卡片，翻到写着非金属元素卡片的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了简单随机事件概率的求法，根据公式求出答案即可；
【详解】解：由题意可知：完成事件的总的可能数为3种，而非金属元素的卡片种类共有2种，
所以根据概率公式即可求得,
故答案为：．
13．如图，点A，B在直线EF的同一侧，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，AC=2，BD=CD=4．Q是直线EF上的一个动点，AQ+BQ的最小值为a，|AQ－BQ|的最大值为b，则a2+b2的值为 ．
【答案】72
【详解】延长AC到点A'，使AC=A'C，连接A'B交EF于点Q，此时AQ+BQ的值最小，理由如下：
如图1，连接OA'，QA．∵AC⊥EF，AC=A'C，∴A，A'关于EF对称，∴OA=OA'，AQ=A'Q，AC=A'C=2，∴A'B=A'Q+BQ=AQ+QB，OA+OB=OA'+OB．∵OA'+OB>A'B，∴OA+OB>AQ+QB，∴AQ+QB的值最小，最小值a为线段A'B的长度，过点A'作直线A'M⊥BD交延长线于点M．
图1
∵AA'⊥EF，BD⊥EF，A'M⊥BD，∴四边形CA'MD为矩形，∴A'C=DM=2，A'M=CD=4，∴BM=BD+DM=4+2=6，在Rt△A'MB中，由勾股定理，得A'B==2，∴a=2．
如图2，连接BA并延长交直线EF于点Q，此时|AQ－BQ|的值为最大，理由如下：∵|AQ－BQ|=AB，AB≥|OA－OB|，∴|AQ－BQ|≥|OA－OB|，∴最小值b为线段AB的长，过点A作AN⊥BD于点N．
图2
∵AC⊥EF，BD⊥EF，AN⊥BD，∴四边形CDNA为矩形，∴AN=CD=4，DN=AC=2，∴BN=BD－DN=4－2=2．在Rt△ABN中，由勾股定理，得AB==2，∴b=2，∴a2+b2=（2）2+=72．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（1）计算：；
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：原式
（2）解不等式组：．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
不等式组的解集为．
15．年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图；
(2)若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数；
(3)若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】本题考查了统计与概率的知识．掌握概率公式∶概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
（1）先根据D类人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个小组人数之和等于总人数求出C类别人数，从而补全图形；
（2）从抽样调查中可知B(关注较多)的人数占抽样人数的比例可求该校“B(关注较多)”的学生人数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人)
C（关注较少）人数：(人)
画图为
（2）解：依题意得：
B（关注较多）占抽样调查的学生总数比：
B（关注较多）的学生人数：(人)
答：“B（关注较多）”的学生人数为人．
（3）解：画树状图为∶
共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种，
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
16．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．过点分别作，，垂足分别为、，在中得出的长，进而求得的长，根据，即可求解．
【详解】解：过点分别作，，垂足分别为、，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，．
在中，，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：线段的长度约为．
17．已知：如图，为的一条弦，延长的直径至点，连，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求半径的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定等，熟知切线的判定定理，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）连接，先由等边对等角得到，再由直径所对的圆周角是直角推出，则可证明，即，据此可证明结论；
（2）证明，利用相似三角形的性质即可证明结论；
（3）根据（2）所证，求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为圆的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由（2）可知，
∴，
∴，
∴．
18．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为）
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图像，直接写出不等式的解集；
(3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．
【答案】(1)，；(2)或；(3)
【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设点，，分，是对角线，，是对角线，，是对角线三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上，
∴，解得：，
∴反比例函数的表达式为：；
∴，
∴，
∴点，
∵点，在一次函数，
∴，解得：，
∴，
∴一次函数的表达式为：．
（2）解：由（1）得，，
当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，，
∴或时，．
（3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像，
∴设点，，
∵四边形是平行四边形，
∴①当，是对角线，
∴，解得：，∴
点D的坐标为；
②当，是对角线时，
∴，解得：，
∴点D的坐标为；
③当，是对角线时，
∴，解得：，
∴点D的坐标为；
综上所述，点的坐标为：，，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．如图，D为△ABC内一点，平分，，垂足为D，交于点E，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，根据题意可得为等腰三角形，，，即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即为等腰三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，故答案为：．
20．已知和是方程的两个解，则的值为 ．
【答案】2027
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据题意可得，，原式变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵和是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
．
21．甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目．
①甲在项目连续工作天能开发模块 个；
②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装 套系统．
【答案】
【分析】①由题意列出算式即可；
②由题意得甲在项目连续工作天最多能开发模块个，甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，每6天为一个循环，每6天组装套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个，再列式计算即可．
【详解】解：①由题意可得：甲在项目连续工作天能开发模块个；
②一个科技系统需个模块和个模块，
天两模块同时开发出数量最多，
甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，
甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，
∴每6天为一个循环，每6天组装套系统，
∵
最后两天甲开发模块个，乙开发模块个，
天最多能组装模块套系统．
天最多能组装模块套系统．
∴26太难最多能组装189套系统，
故答案为：①；②．
【点睛】本题考查的知识点是有理数混合运算，解题关键是根据题意列出算式解答．
22．在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点B的对应点落在直线上，连接，则的长度为 ．
【答案】或
【分析】延长，过点作交于点E，证明 ，求出，，结合勾股定理求解即可得到答案；画出图形，连接，，先用勾股定理求出，再利用两边对应成比例且夹角相等证明即可求出答案；
【详解】解：延长，过点作交于点E，
∵矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，，，，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∴，
如图所示，连接，，
∵矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，解题的关键在于根据题目要求画出旋转后的图形，再连接相应的线段，证明三角形相似，利用勾股定理和相似三角形的性质求出线段的长．
23．开口向下的抛物线经过点，且．下列结论：①；②；③已知点在抛物线上，若，则；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得抛物线的对称轴为直线，进而由得，得到，即可判断①；由抛物线经过点，得，得，即得，又由对称轴得，可得，即可得，即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；由方程有两个不相等的实数根，可得抛物线与轴有两个不同的交点，根据根的判别式可判断④；综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，即，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线经过点，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵对称轴，抛物线开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴，故③错误；
∵方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
即抛物线与轴有两个不同的交点，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确结论的是②④，故答案为：②④．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
24．某服装店经销，两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进，两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，种T恤衫进价每件上涨了5元，种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进，两种T恤衫共150件，且种T恤衫的购进量不超过种T恤衫购进量的2倍，设此次购进种T恤衫件，两种T恤衫全部售完可获利元．
①请求出与的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)元；(2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组，不等式和函数关系式是解题的关键。
（1）设购进种T恤衫件，购进种T恤衫件，根据服装店用6000元购进，两种T恤衫共120件列出方程组求解即可；
（2）①设第二次购进种T恤衫件，则购进种T恤衫件，根据种T恤衫的购进量不超过种T恤衫购进量的2倍列出不等式求出m的取值范围，再根据利润等于单件利润乘以销售量分别求出两种T恤衫的利润，求和即可得到答案；②利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：设购进种T恤衫件，购进种T恤衫件，
根据题意列出方程组为：，
解得，
∴全部售完获利（元）．
（2）解：①设第二次购进种T恤衫件，则购进种T恤衫件，
根据题意，
解得，
∴
；
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，，
∵，一次函数随的增大而减小，
∴当时，取最大值，（元），
∵，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．
25．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求△PEF的面积的最大值；
(3)如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或
【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，二次函数图象的性质，一次函数的表达式，一次函数图象的性质，三角形面积最值问题，判定平行四边形求动点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用．
（1）根据顶点坐标假设抛物线顶点式表达式，将点坐标代入即可求出抛物线表达式；
（2）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，求出一次函数图象的表达式，根据一次函数图象的性质判断出等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质，斜边最大时面积最大，假设出相关点的坐标，表示出斜边长度，从而得出最长斜边，即可求出最大面积；
（3）根据平行四边形的判定定理，分别以为平行四边形的边和对角线来进行分类讨论，对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，假设出点的坐标，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴假设抛物线的表达式为，
将代入得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令,则，
令，则，
解得，
∴，，，
假设直线的表达式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的表达式为，
∵，
∴△ADE是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
当斜边最大时，的面积最大，
假设，，
求顶点横坐标为，，顶点纵坐标为的最大值，
，
是等腰直角三角形，
，
∴的面积为；
（3）解：分两种情况讨论，
①当为平行四边形的边时，则有，且，
如图，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，
则，
在和中，，
，
，
点到对称轴的距离为3，
又，
抛物线对称轴为直线，
设点，则，
解得：或，
当时，代入，得：，
当时，代入，，
点坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
如图，设的中点为，
，，
，
点在对称轴上，
点的横坐标为，设点的横坐标为，
根据中点公式得：，
，此时，
；
综上所述，点的坐标为或或．
26．如图，在平行四边形中，O为的中点，直线l与边重合，将直线l绕点B旋转，旋转角为，直线l于点M，直线l于点N，连接、．
(1)如图①，当直线l绕点B逆时针旋转（）时，请直接写出、的数量关系是_______；
(2)如图②，当直线l绕点B顺时针旋转（）时，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；
(3)若旋转角，当平行四边形为正方形，且边长为时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)；(2)成立，理由见解析；(3)或
【分析】（1）如图，延长，交于点，通过证明，再根据直角三角形中位线性质，进而证出；
（2）如图， 延长、， 交于点， 通过证明，再根据直角三角形中位线性质，进而证出；
（3）情况：如图，逆时针旋转，先证出， 再根据直角三角形性质及勾股定理可求出长；情况：如图，顺时针旋转， 延长、交于点， 连接， 并过点作， 通过证明推出， 再通过证明， 推出为等腰直角三角形，再通过得出，最后可求出．
【详解】（1）延长，交于点，
∵， ，
∴，
∴ ，
∵为中点，
∴，
∴在与中
，
∴，
∴，
为直角三角形，
∴；
（2）解：成立，理由为：
延长、， 交于点，
∵， ，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
又∵，
∴ ，
∴，
∵为直角三角形，
∴；
（3）情况：如图，逆时针旋转，
∵为正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∴在中，，
同理，
；
情况：如图，顺时针旋转，延长、交于点，连接，并过点作
，
，
∴，
∵为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵为直角三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∴在中，，
，
综上：的长为或．
【点睛】本题考查三角形全等证明、等腰三角形性质、勾股定理、平行线判定、直角三角形相关性质、正方形性质等知识点，根据题意做出正确的辅助线是解题的关键．
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