四川省泸县第五中学2025届高三下学期高考适应性考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 2 至 4
页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
第 I 卷（选择题 共 58 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集、补集的定义可求 .
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：B.
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式可得 ，由 求出 ，结合 计算即可求
解.
【详解】由 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：C
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3. 设函数 则 （ ）
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，
再根据函数 单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
4. 如图所示，梯形 是平面图形 用斜二测画法得到的直观图， ， ，
则平面图形 的面积为（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出梯形 的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面
图形 的面积.
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【详解】在梯形 中， ，则该梯形 高为 ，
梯形 的面积为 ，
在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的 ，
所以平面图形 的面积 .
故选：D
5. 点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段 的中点 的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出点 坐标，得出 点坐标，代入圆方程，即可得到线段 的中点 M 的轨迹方程.
【详解】设点 的坐标为 ，因为 点是线段 的中点，
可得 ，点 在圆上，
则 ，即 .
故选：A.
6. 甲、乙、丙等 5 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有 2 人，则不同排法共有（ ）
A. 20 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 8 种
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论：乙丙及中间 人占据首四位、乙丙及中间 人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理
求得结果.
【详解】因为乙和丙之间恰有 人，所以乙丙及中间 人占据首四位或尾四位，
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①当乙丙及中间 人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有 种方法，排甲有 种方法，剩余两个位置两人全排列有 种排法，
所以有 种方法；
②当乙丙及中间 人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有 种方法，排甲有 种方法，剩余两个位置两人全排列有 种排法，
所以有 种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有 种排法，
故选：B.
7. 抛掷一枚质地均匀的硬币 次，记事件 “ 次中既有正面朝上又有反面朝上”， “ 次中至多
有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
A. 当 时， B. 当 时，事件 与事件 不独立
C. 当 时， D. 当 时，事件 与事件 不独立
【答案】D
【解析】
【分析】分 和 的情况分别考虑四个选项.
【详解】当 时， 表示一正一反，故 ，故 A 正确；
此时 ， ，
，故 B 正确；
当 时， 表示并非每次都是正面朝上，
故 ，故 C 正确；
此时 ， ，
，所以 ，故 D 错误.
故选：D.
8. 已知等差数列 （公差不为 0）和等差数列 的前 项和分别为 ，如果关于 的实系数方程
有实数解，那么以下 1003 个方程 中，有实数解的
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方程至少有（ ）个.
A. 499 B. 500 C. 501 D. 502
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到 ，要想无实根，需满足 ，结
合根的判别式与基本不等式得到 至多一个成立，同理可证： 至多一个成立，
至多一个成立，且 ，从而得到结论.
【详解】由题意得： ，其中 ，
，代入上式得： ，
要方程 无实数解，则 ，
显然第 502 个方程有解.
设方程 与方程 的判别式分别为 ，
则
，
等号成立的条件是 ，所以 至多一个成立，
同理可证： 至多一个成立， 至多一个成立，且 ，
综上，在所给的 1003 个方程中，无实数根的方程最多 502 个，
故选：D.
【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 若 z 是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
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C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义可判定 A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定 B、D.
【详解】对于 A，由 ，得 ，则 A 错误.
对于 B，因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），则 B 正确.
对于 C，设 （ ，且 ），
则 ，所以 ，则 C 正确.
对于 D，由 ，得 .
设 （ ，且 ），则 ，
，从而 ，则 D 正确.
故选：BCD
10. 已知 ，展开式中的所有项的二项式系数和为 ，下列说法正确
的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由 ，可判断 A；利用展开式的通项求出 ，可判断 B；令 求出 ，再对二项式两边
求导，令 即可判断 C；当 时，可判断 D．
【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为 ，所以 ，解得 ，故 A 错误；
因为 展开式的通项为 ， ，
所以 ，所以 ，故 B 正确；
因为 ，令 ，可得 ，
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令 ，
有 ，
令 ，可得 ，
所以 ，故 C 错误；
由展开式的通项为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
令 ，可得 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：BD．
11. 如图，在等腰梯形 中，E 为腰 的中点， ， ，N 是梯形 内
（包含边界）任意一点， 与 交于点 O，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为 0 D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量线性运算、三点共线推论、数量积运算及几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正
确答案.
【详解】 ，A 正确；
设 ，则 ，因为 A，O，C 三点共线，
所以 ，解得 ，B 正确；
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由 ， ，可得 ，结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
易知当点 N 位于点 B 时， 取得最小值，
最小值为 ，C 错误；
当点 N 为位于点 C 时， 取得最大值，
最大值为 ，D 正确．
故选：ABD
第 II 卷（非选择题共 92 分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，
确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.
（2）本部分共 8 个小题，共 92 分.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. _________．
【答案】2
【解析】
【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果.
【详解】 .
故答案为：2.
13. 函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，且 与 的
图象关于点 对称，那么 的最小值等于_______________.
【答案】6
【解析】
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【分析】由平移变换得出 ，再利用 与 的图象关于点 对称得
，由周期性得出答案.
【详解】由图象平移规律可知 ，由 与 的图象关于点 对称，所以
，化简得 恒成立，得
，故 ， ，所以正数 的最小值为 6.
故答案为:6.
【点晴】 与 关于 对称，则 ，故得 .
14. 设 是一个三角形的三个内角，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到 ，
再运用导数的性质进行求解即可.
【详解】
，
令 ，
所以 ，
要想 有最小值，显然 为钝角，即 ，
于是有 ，
设 ，
因为 ，
所以
第 9页/共 22页
令 ，即 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
因此当 时，函数 有最大值 ，
所以 的最小值为 ，
此时 ， ，
即存在 ，显然存在 ，使得 ，
即 的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形内角和定理把三个变量变成二个变量问题，最后利用辅助
角公式就成一个变量，利用导数的性质求最值.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进
行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
第 10页/共 22页
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲，乙两车间产品
的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 ，设 为升级改造后抽取的 n 件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150 件产品的数据，能否认为
生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算 ，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得 ，根据题意计算 ，结合题意分析判断.
【小问 1 详解】
根据题意可得列联表：
第 11页/共 22页
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
可得 ，
因为 ，
所以有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 的把握认为甲，乙两车间产品的
优级品率存在差异.
【小问 2 详解】
由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为 ，
用频率估计概率可得 ，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 ，
则 ，
可知 ，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品 优级品率提高了.
16. 记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求 A．
（2）若 ， ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
第 12页/共 22页
（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长.
【小问 1 详解】
方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
第 13页/共 22页
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
【小问 2 详解】
由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
17. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC 的
中点分别为 D，E，O， ，点 F 在 AC 上， .
第 14页/共 22页
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 BEF；
（3）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）法 一 ：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点 作
轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，所以由 求出 点坐标，再
求出平面 与平面 BEF 的法向量 ，由 即可证明；
（3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求
出平面 与平面 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【小问 1 详解】
连接 ，设 ，则 ， ， ，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，则四边形 为平行四
边形，
，又 平面 平面 ，
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所以 平面 .
【小问 2 详解】
法一：由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，
则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
法二：因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在 中， ，
在 中， ，
设 ，所以由 可得： ，
可得： ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
第 16页/共 22页
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
，
所以平面 平面 BEF；
【小问 3 详解】
法一：过点 作 交 于点 ，设 ，
由 ，得 ，且 ，
又由（2）知， ，则 为二面角 的平面角，
因为 分别为 的中点，因此 为 的重心，
即有 ，又 ，即有 ，
，解得 ，同理得 ，
于是 ，即有 ，则 ，
从而 ， ，
第 17页/共 22页
在 中， ，
于是 ， ，
所以二面角 的正弦值为 .
法二：平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故二面角 的正弦值为 .
18. 如图，已知点 是焦点为 的抛物线 上一点， ， 是抛物线 上异于 的
两点，且直线 ， 的倾斜角互补，若直线 的斜率为 ．
（Ⅰ）证明：直线 的斜率为定值；
第 18页/共 22页
（Ⅱ）求焦点 到直线 的距离 （用 表示）；
（Ⅲ）在 中，记 ， ，求 的最大值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】（Ⅰ）设 ，与抛物线联立可解出 点坐标，用 代 可得 点坐标，
用斜率公式可计算斜率的取值；（Ⅱ）用两点式表示直线 的方程，计算焦点到直线的距离即可；（Ⅲ）利
用 ，利用抛物线的定义将 转化为
，韦达定理代入计算，结合不等式可求出最大值.
【详解】（Ⅰ）将点 代入抛物线方程可得： ，抛物线
设 ，与抛物线方程联立可得：
，∴
用 代 可得：
因此，
即 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， ，
因此
到直线 的距离 ．
（Ⅲ）
第 19页/共 22页
∵
∴
，
令 ，由 得
∴
当且仅当 时取等号．
【点睛】思路点睛：直线与抛物线的问题，常采用直线和抛物线联立.若已知一点坐标，设而要求求出另一
点坐标；若没有点坐标，则设而不求，韦达定理表示出两点坐标之间的关系代入等式计算.
19. 已知数列 的各项均为正数， ， 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数 的单调区间，并比较 与 的大小；
（Ⅱ）计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令 ，数列 ， 的前 项和分别记为 , , 证明： ．
【答案】（Ⅰ） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． ；（Ⅱ）详见解析；
（Ⅲ）详见解析．
【解析】
【详解】（Ⅰ） 的定义域为 ， ．
当 ，即 时， 单调递增；
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当 ，即 时， 单调递减．
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
当 时， ，即 ．
令 ，得 ，即 ． ①
（Ⅱ） ； ；
．
由此推测： ②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当 时，左边 右边 ，②成立．
（2）假设当 时，②成立，即 ．
当 时， ，
由归纳假设可得 ．
所以当 时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数 都成立．
（Ⅲ）由 的定义，②，算术-几何平均不等式， 的定义及①得
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．
即 ．
考点：导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的证明．
第 22页/共 22页