四川省泸县第五中学2023届高考适应性考试数学（文）试题（含解析）

这是一份四川省泸县第五中学2023届高考适应性考试数学（文）试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省泸县第五中学2023届高考适应性考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ）
A． B． C． D．
3．设，，，则（   ）
A． B． C． D．
4．若，则“”是“”的（    ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（    ）小时.

A． B． C． D．
6．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
7．已知圆,直线,则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足（其中为的前项和），则
A． B． C． D．
9．若函数的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则（    ）
A． B． C． D．
10．设函数，则（    ）
A．是偶函数，在上单调递减 B．是奇函数，在上单调递增
C．是偶函数，在上单调递增 D．是奇函数，在上单调递增
11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（    ）
A． B．－
C．± D．－
12．已知双曲线（）的右焦点为，以双曲线的实轴为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（   ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．设变量，满足约束条件，则的最小值为 ．
14．已知数据的方差为，数据的方差为，则 ..
15．已知，则
16．已知点为抛物线的焦点，经过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，点，线段的垂直平分线与轴相交于点.则的值为 .

三、解答题
17．在锐角中，角的对边分别为，且
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
18．为调查某地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，据分析野生动物的数量与植物覆盖面积线性相关并计算得，，，．
(1)求该地区植物覆盖面积和野生动物数量的回归直线方程；
(2)根据上述方程，预计该地区一块植物覆盖面积为公顷的地块中这种野生动物的数量．
参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且AE＝3A1E，C1F＝3CF．

（1）求证：E，D，F，B1四点共面；
（2）若AD＝2，AA1＝4，AB＝3，求三棱锥B1﹣EBF的体积．
20．椭圆的左､布焦点分别为，直线过和椭圆交于两点，当直线轴时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，且，设线段的中点为，求的取值范围．
21．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若，是否存在整数使对任意成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
22．如图，在极坐标系中，、、、，弧、弧、弧所在圆的圆心分别是、、，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线由、、构成．

（1）写出曲线的极坐标方程，并求曲线与直线所围成图形的面积；
（2）若点在曲线上，且，求点的极坐标．
23．已知．
(1)若，解不等式；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：
1．D
【分析】先解出集合T,然后集合T与集合S取交集即可.
【详解】,
集合，则
故选D
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2．C
【分析】根据复数对应点坐标得的值，再利用复数的除法可得结果.
【详解】复数对应的点的坐标为，则，所以.
故选：C.
3．A
【分析】利用指对互算、对数的运算性质和对数函数的单调性即可比较大小.
【详解】，，
而，则，
故选：A.
4．B
【解析】根据充分必要性的判定，依次判断是否具有充分性和必要性即可.
【详解】函数，
当时，，则，所以“”是“”的充分条件；
当时，代入可得，解得或，因而“”不是“”的必要条件，
综上可知“”是“”的充分不必要条件，
故选：B.
【点睛】本题考查了充分必要条件的概念及简单判断，属于基础题.
5．C
【分析】分析可得出，设，求出的值，由此可得出结果.
【详解】由题意可得，可得，设，
可得，解得.
因此，污染物消除至最初的还需要小时.
故选：C.
6．A
【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出和，进而得出结果.
【详解】解：由，，成等差数列，可得，
则，，，
可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列.
则，
，
则的最大值可能为.
由，，可得.


因为，，，即，所以，则
，当且仅当时，，符合题意，
故的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.
7．D
【分析】利用圆心到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离即可确定出圆上到距离为的点有个．
【详解】圆心坐标为,半径为,
圆心到直线的距离，则圆上到直线的距离为的点共有个．
故选:.
【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，同时研究圆上的点到直线距离固定时,点的个数问题,难度一般.
8．C
【详解】由函数是奇函数且满足，可知T=3
由，可得：
两式相减得：，即，
∴是公比为2的等比数列，
∴，∴
∴
故选C
9．D
【分析】画出函数图像，结合几何特点，根据函数周期，即可容易求得结果.
【详解】作出函数的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点.

设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P.
根据正弦函数图象的对称性，易知为等腰直角三角形，
且斜边上的高，
所以斜边，则周期.
由，有，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦型函数图象的综合应用，属基础题.
10．B
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质直接判断单调递增，判断B正确；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，排除D即可.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称.
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，故B正确；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D错误.
故选：B
【点睛】方法点睛：
1、定义法判定函数奇偶性的一般步骤：
（1）判断函数定义域关于原点对称；
（2）计算，并与进行比较；
（3）根据函数奇偶性的定义判断得出结论.
2、复合函数单调性的判断方法为先将函数拆分为和，分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可.
11．B
【分析】求出点的坐标，根据抛物线的光学性质可得直线AB经过焦点，即可求出斜率.
【详解】由题意可知点A的纵坐标为1．将y＝1代入，得，则，
由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点，
所以直线AB的斜率．
故选：B．
12．A
【详解】依题意，联立解得，故，解得，故所求渐近线方程为，
故选A.
13．
【分析】根据约束条件,画出可行域,然后根据截距型的目标函数最值进行求解.
【详解】根据约束条件,画出如下的可行域(阴影部分,包括边界). 将目标函数变形为:,当在轴截距最大时，最小.

当经过点时，截距最大，此时

故答案为：-1
14．9
【分析】利用公式可得两类方差之间的关系.
【详解】设数据的均值为，则的均值为，
故且，
故，
故答案为：9.
15．
【分析】利用诱导公式结合已知条件即可求解.
【详解】，
故答案为：.
16．2
【分析】先写出过点且倾斜角为的直线方程，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系得到线段的中点坐标，从而可得到线段的垂直平分线方程，进而可求出点的坐标，于是就得到的值，即可得结果.
【详解】解：抛物线的焦点，则经过点且倾斜角为的直线为，设，线段为，
由，得，
所以，
所以线段的垂直平分线方程为，
令，得，所以，
所以，所以，
故答案为：2
【点睛】此题考查抛物线方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，运用了根与系的关系，考查化简运算能力，属于中档题.
17．（1） （2）
【分析】（1）先将三角函数表达式化简，结合正弦定理将边化为角的表达式.由正弦和角公式化简，即可求得角.
（2）根据正弦定理，由及（1）可表示出.进而用角表示出，由内角和定理及角，将式中的角化为角，利用辅助角公式化简，结合正弦函数的图像与性质即可求得的取值范围．
【详解】（1）锐角中，，
∴，
由正弦定理得，
∴，
又，
∴，
又，
∴
（2）由正弦定理，
则有，
则


，
因为为锐角三角形
所以，可得，
则，
由正弦函数的图像与性质可得，
即
【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角恒等变换及辅助角公式的用法，正弦函数的图像与性质的综合应用，属于中档题.
18．(1)
(2)

【分析】（1）利用已知条件结合斜率和截距的最小二乘估计公式求得，即求得答案;
（2）将代入回归直线方程，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得，，
由于
，
，
，
回归直线方程为：；
（2）当时，，
即预计这种野生动物的数量为.
19．（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先证明B1E∥DF，再根据两平行线确定一个平面，证明四点共面；
（2）根据条件，用等体积法计算三棱锥B1﹣EBF的体积即可．
【详解】（1）证明：连接DF，在DD1上取一点G，使D1G＝A1E，连接EG，GC1
∵A1E∥D1G且A1E＝D1G，
∴四边形A1EGD1是平行四边形，
∴EG∥A1D1且EG＝A1D1，
又∵A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，
∴EG∥B1C1且EG＝B1C1，
∴四边形EB1C1G是平行四边形，
∴EB1∥GC1，又∵DG∥FC1且DG＝FC1
∴四边形DFC1G是平行四边形，
∴GC1∥DF，
∴EB1∥DF，
即E，D，F，B1四点共面；
（2）∵A1A＝4，
∴C1C＝4，CF＝1，C1F＝3，AD＝2，
∴，
点E到面B1BF的距离d＝AB＝3，
∴

20．（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意建立方程求出a,b,c，即可求解；
（2）验证斜率为0时不符合题意，当斜率不为0时，设直线，联立椭圆方程，由韦达定理可求，由向量化简，并结合条件，且求解.
【详解】由题意得：，
所以，解得
椭圆的方程；
（2）①当直线的斜率为0时，不满足
②设直线，
联立，得
则，
中边上的中线长为





令则，
得，
由，得，
，



中边上中线长的取值范围是
【点睛】关键点点睛：利用直线与椭圆联立，及韦达定理与，换元后得出，由，求t的取值范围，是解题的关键与难点，属于难题.
21．（1）极大值不存在极小值；（2）2
【分析】（1）通过求导，令导函数等于零，求得为的极大值点，求解得到函数极大值，根据单调性可知无极小值；（2）将问题转化为：对任意，恒成立问题，分别在和两种情况下讨论；当时，由可知不合题意；当时，可求得最大值为，只需最大值即可，由此得到，经验证可得为满足题意的最小整数.
【详解】（1）    
令，则
分析知，当时，；当时，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
函数在处取得极大值，不存在极小值
（2）据题意，得对任意成立
对任意成立
设函数
可知对任意成立
①当时，对任意成立，此时在区间上单调递增
又
不满足题设；
②当时，
令，则（舍），
分析知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

又函数在上单调递减


所求整数的最小值为
【点睛】本题考查利用导数求解函数极值、研究不等式恒成立的问题.解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为函数最值所满足的关系，从而通过导数求解最值，得到关于所求变量的式子，通过分析求得结果.
22．（1）答案见解析；（2）或或或.
【分析】（1）分别写出曲线、、的极坐标方程，综合可得出曲线的极坐标方程；
（2）分、或、解方程，求出的值，即可得出点的极坐标.
【详解】（1）由题意可知，弧所在圆的圆心的直角坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为，
所以，弧所在圆的方程为，即，
所以，曲线的极坐标方程为.
弧所在圆的圆心的直角坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为，
所以，弧所在圆的方程为，即，
所以，曲线的极坐标方程为（或）.
弧所在圆的圆心坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为.
所以，弧所在圆的方程为，即，
所以，曲线的极坐标方程为.
因此，曲线的极坐标方程为.
所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成，所以面积为：
；
（2）设曲线上一点，由题设：
若，由得，则；
若或，由得，得或；
若，由得，得；
因此，点的极坐标为或或或.
【点睛】思路点睛：求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：
（1）建立适当的极坐标系；
（2）在曲线上任取一点；
（3）根据曲线上的点所满足的条件列出等式；
（4）用极坐标表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；
（5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程（一般只对特殊点加以检验即可）.
23．(1)
(2)

【分析】（1）带入，化简原式，分类讨论的取值范围，去除绝对值，进行求解；
（2）由分离常数，利用基本不等式及函数单调性进行求解.
【详解】（1）解，∴，
化为，
当时，原式为，解得，
；
当时，原式为，，
.
综上可得，解集为.
（2）解：由题意得：当时，恒成立，
恒成立，
上式化为恒成立，
即，
由于，
，
令，则，上式化为：.
在上为减函数，
；
同理在上为增函数，
.
∴实数的取值范围为：.