2025银川市永宁三沙源上游学校九年级数学（下）中考一模数学试卷（解析版）

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永宁三沙源上游学校 2024-2025 学年第二学期初三数学试卷月考（一）
（时间：120 分钟，分值：120 分）
注意事项：
1 ．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2 ．请将答案正确填写在答题卡上.
一、单选题（每题 3 分，共 24 分）
1. 下列实数中，属于无理数的是 ( )
A. ·i2 B. 2024 C. 一 D. ·i16
【答案】A 【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如 2π,
等；②开方开不尽的数，如 ·i2 ， 等；③具有特殊结构的数，如 0.1010010001…（两个 1 之间依次增
加 1 个 0），0.2121121112…（两个 2 之间依次增加 1 个 1）.
【详解】解： 2 是无理数，符合题意；
2024 ， 一 ， ·i16 = 4是有理数，不符合同意.
故选 A .
2. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月20 日，累计票房已达152亿元，将数据 “ 152亿 ”用科学记数法表示为 ( )
A. 152× 108 B. 15.2 × 107 C. 0.152 × 1011 D. 1.52× 1010
【答案】D 【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，把152万亿转化为15200000000 ，再根据科学记数法： a ×10n
a
（ 1 ≤
< 10 ，n 为整数），先确定 a 的值，再根据小数点移动的数位确定 n 的值即可，根据科学记数法
确定a 和 n 的值是解题的关键.
【详解】解： 152亿 = 15200000000 = 1.52 × 1010 ， 故选： D .
3. 下列计算正确的是 ( )
A. a2 + a3 = a5 B. a (a 一1) = a2 一1
C. a2 ÷ a2 = 0
【答案】D 【解析】
D. (3a )2 = 9a2
【详解】本题考查了合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方，根据合并同类项、单项 式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方分别计算判断即可，熟练掌握这些运算法则是解题的关键.
解： A 、 a2 与 a3 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B 、 a (a 一1) = a2 一 a ，故此选项不符合题意；
C 、 a2 ÷ a2 = 1 ，故此选项不符合题意；
D 、 (3a )2 = 9a2 ，故此选项符合题意；
故选： D .
4. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终 不变的是 ( )
A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图
【答案】A 【解析】
【分析】分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可. 【详解】解：在滚动过程中主视图会发生变化；
在滚动过程俯视图会发生变化；
在滚动过程左视图不会发生变化； 故选：A .
【点睛】本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识.
5. 有理数 a 、 b 在数轴上的对应的位置如图所示．下面结论正确的是 ( )
A. a 一 b > 0 B. ab > 0 C. a < b D. a +b < 0
【答案】C 【解析】
【分析】本题考查数轴，绝对值的知识，解题的关键是掌握点在数轴上的性质，根据数轴可得 a < 0 0 ，
D 错误； 故选：C .
6. 如图，在△ABC 中， ∠C ＝90° , ∠B ＝30° , 根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是 ( )
A. AD 是∠BAC 的平分线 B. AD=BD C. AD=2CD D. 2S△ABD=3S△ACD
【答案】D 【解析】
【分析】 由尺规作图知 AD 是∠BAC 的平分线，可得∠BAD=∠CAD=∠B=30° , 由等角对等边得 AD=BD， 再由 30°的直角三角形的性质得 AD=2CD ，再由 AD=BD=2CD 得 S△ABD=2S△ACD .
【详解】解： 由尺规作图可知 AD 是∠BAC 的平分线， 故选项 A 正确；
∵ ∠C ＝90° , ∠B ＝30° ,
∴ ∠BAC=60° ,
∴ ∠BAD=∠CAD=30° , ∴ ∠BAD=∠B=30° ,
∴AD=BD
故选项 B 正确；
在 Rt△ACD 中， ∠C ＝90° , ∠CAD=30°
∴AD=2CD
故选项 C 正确； ∵AD=BD=2CD ∴S△ABD=2S△ACD 故选项 D 错误. 故选：D .
【点睛】本题考查 30°的直角三角形的性质，角平分线的尺规作图，等边对等角，理解 30°所对的直角边等 于斜边的一半是解题关键.
7. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问： 甲、乙持钱各几何？ ”大意是： 甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的 ，则甲的钱数为
50 ，若乙得到甲的钱数的 ，则乙的钱数也能为 50 ．问甲、乙各有多少钱？设甲有钱为 x ，乙有钱为y ，可
列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根
据甲得到乙的钱数的 ，则甲的钱数为 50；若乙得到甲的钱数的 ，则乙的钱数也能为 50 ，可以得到相应
的方程组，从而可以解答本题. 【详解】解： 由题意可得，
故选：B .
8. 折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条 AB ， AC 的 夹角为120。， AB 的长为 30cm ，扇面 BD的长为 20cm ，则扇面的面积为 ( )
A. cm2 B. C. D. cm2
【答案】D 【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形的面积公式，利用扇面的面积 = S扇形BAC - S扇形DAE 进行计算. 【详解】解： ∵ AB = 30cm ， BD = 20cm ，
∴ AD = 10cm ，
∵ 上BAC = 120。，
∴扇面的面积 = S扇形BAC - S扇形DAE
故选：D .
二、填空题（每题 3 分，共 24 分）
9. 分解因式： x3 -4x = .
【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可. 【详解】解： x3 — 4x
= x(x2 — 4)
=x（x+2）（x﹣2）.
故答案为：x（x+2）（x﹣2）.
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握 a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键.
10. 计算： —2 + 2 cs 30 = .
【答案】 4 + · ## · + 4 【解析】
【分析】利用负指数幂的公式和特殊角的三角函数化简即可.
解： —2 + 2 cs 30
故答案为： 4 + .
【点睛】本题考查了负指数幂，特殊角的三角函数值，牢记负指数幂的公式是解题的关键.
11. 函数 y = 自变量x 的取值范围是 .
【答案】 x ≥ 1且x ≠ 2 【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为 0 以及二次根式有意义的条件：被开方数不小于 0 进行解答即 可.
【详解】解： 由题意得 x —1 ≥ 0 且 x — 2 ≠ 0 ，即 x ≥ 1且 x ≠ 2 ， 故答案为： x ≥ 1且 x ≠ 2 .
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件是解 题的关键.
12. 已知方程 x2 — 2x +k = 0 的一个根为 —2 ，则方程的另一个根为 .
【答案】4 【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为 m，根据两根之和等于 - ，
即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】解：设方程的另一个根为 m，
∵方程 x2 - 2x +k = 0有一个根为 -2 ，
∴ -2 + m = 2 ， 解得： m = 4 . 故答案为：4 .
13. 反比例函数在第一象限内的图象如图所示，点P 是图象上的一点，PQ 丄 x 轴，垂足为点Q ，
若△OPQ 的面积为 2 ，则 k = .
【答案】4 【解析】
【分析】先设反比例函数的解析式为 根据△OPQ 的面积为 2 ，得出 = 2 ， k = ±4 ， 再根据反比例函数在第一象限内，即可求出 k .
【详解】设反比例函数的解析式为 ，
∵△OPQ 的面积为 2，
k = 4 ， k = ±4 ，
∵反比例函数在第一象限内，
∴ k = 4 ，
故答案为：4 . ·
【点睛】本题考查了反比例函数 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，所得 三角形面积为k ，体现了数形结合的思想，用 k 表示出三角形的面积是解题的关键.
14. 如图，已知 AB 是圆O 的直径， 上BOC = 80O ，则 上BDC 的度数为 .
【答案】 40O 【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆心角和圆周角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本 题的关键.
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出 上BDC 的度数. 【详解】解： :上BOC = 80O ，
故答案为： 40O .
15. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m 的正六边形、则地基的周长为 m .
【答案】 24 【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为 6 个等边三角形的面积和 计算即可.
【详解】解：如图，
∵ OA = OB = 4m ， 上AOB = = 60 ,
∴ AB = OA = OB = 4m ，即正六边形的边长为 4m ，
∴地基的周长为6× 4 = 24(m)， 故答案为： 24 .
16. 如图，已知 ΘP 的半径为 1 ，圆心P 在抛物线 x2 一1 上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标
为 .
【答案】 (2, 1) 或 (一2, 1) 或(0, 一1) 【解析】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．当 ΘP 与 x 轴相切时，点 P 的 纵坐标是 1 或 一1 ，把点 P 的坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标.
【详解】解： ∵ ΘP 的半径为 1 ， ⊙ P 与x 轴相切， ∴点 P 的纵坐标为 ±1，
当 y = 1时， 1 = x2 一1，
解得 x = ±2 ，
∴点 P 的坐标(2, 1) 或(一2, 1) ；
当 y = 一1 时， 一1 = x2 一1，
解得 x = 0 ，
∴点 P 的坐标为(0, 一1) ，
综上，点 P 的坐标为(2, 1) 或 (一2, 1) 或(0, 一1) ，
故答案为： (2, 1) 或 (一2, 1) 或 (0, 一1) .
三、解答题（共 72 分）
17. 解不等式组
【答案】不等式组的解集为 x≥3 . 【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可. 【详解】解：解不等式5x 一3 ≥ 2(x + 3) 得：x≥3，
解不等式得：x＞-2，
则不等式组的解集为 x≥3 .
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“ 同大取大；同小 取小；大小小大中间找；大大小小找不到 ”的原则是解答此题的关键.
18. 下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务 .
解：去分母，得 x 一3 + 2(x 一 2) = 1……第一步
去括号，得 x 一 3 + 2x 一 4 = 1……第二步 移项、合并同类项，得 3x = 8 ……第三步
解得第四步
经检验： 是原分式方程的解……第五步
（1）上面的解题过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 .
（2）请你帮这个同学正确解答这个分式方程.
【答案】（1）一；去分母时等号右边忘记符号（负号）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 ，检验的方 法是解题的关键.
（1）根据去分母的方法即可判定；
（2）运用解分式方程的方法即可求解.
【小问 1 详解】
解：
去分母得， x 一3 + 2(x 一 2) = 一1，
∴第一步开始出错，出错的原因是去分母时等号右边忘记符号（负号）； 【小问2 详解】
解：
去分母得， x 一3 + 2(x 一 2) = 一1， 去括号得， x 一 3 + 2x 一 4 = 一1，
移项得， x + 2x = 一1+ 3 + 4
合并同类项得， 3x = 6 ， 系数化为 1 得， x = 2 ，
检验，当 x =2 时，原分式方程的分母 x 一 2 = 0 ， ∴原分式方程无解.
19. 如图，V ABC 的顶点坐标分别为 A(0, 1) ， B (3, 3) ， C(1, 3) .
（1）画出与V ABC 关于 x 轴对称的图形△A1B1C1 ；
（2）画出V ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90。的△A2B2 C2 ，并写出点 C2 的坐标 .
（3）求出点 B 旋转到点 B2 所经过的路径长.
【答案】（1）见解析 （2）图见解析, (一3, 2)
（3） 2兀
【解析】
【分析】（1）先画出点 A 、B 、C 关于 x 轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）先画出点A 、B 、C 绕点 O 逆时针旋转 90O 的对应点，再顺次连接即可；根据图形即可写出点 C2 的坐 标.
-
（3）点 B 旋转到点 B2 所经过的路径是以点 O 为圆心，OB 长为半径，圆心角等于90O 的弧长，求出BB2 的 长度即可.
【小问 1 详解】
解：如图所示： △A1B1C1 即为所求；
【小问2 详解】
如图所示： △A2B2 C2 即为所求； 由图可知，点C2 (一3, 1)，
故答案为： (一3, 1) .
【小问 3 详解】
【点睛】本题考查了画轴对称图形，画旋转图形，勾股定理及弧长公式，正确作出图形是解题的关键.
20. 如图，在V ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥ BC 交 CE 的延长线于点 F.
（1）求证： AF = BD ；
（2）连接 BF ，若 AB = AC ，求证：四边形 ADBF 是矩形. 【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出上AFE = 上DCE ，然后利用“角角边 ”证明三角形全等， 再由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 AFBD 是平行四边形，再根据一个角 是直角的平行四边形是矩形判定即可.
【小问 1 详解】
证明： ∵ AF ⅡBC ， ∴ 上AFE = 上DCE ， ∵点 E 为 AD 的中点， ∴ AE = DE ，
在△AEF 和 △EDC 中，
{上AEF＝上DEC ，
〔上AFE＝上DCE
l AE＝DE
∴ △EAF≌△EDC（AAS）；
∴ AF = CD ， ∵ CD = BD ， ∴ AF = BD ； 【小问2 详解】
证明： :AF∥BD，AF = BD ，
∴四边形 AFBD 是平行四边形， ∵ AB = AC，BD = CD ，
∴ 上ADB = 90O ，
∴平行四边形 AFBD 是矩形.
【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个 角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.
21. 近期，我国国产动画电影“哪吒 2 魔童闹海 ”票房突破了90 亿，商家推出 A 、B 两种类型的哪吒纪念 娃娃．已知购进 4 件 A 种娃娃和购进 5 件 B 种娃娃的费用相同；每个 A 种娃娃的进价比每个 B 种娃娃的进 价多2 元，且 A 种娃娃售价为 15 元/个，B 种娃娃售价为 10 元/个.
（1）每个 A 种娃娃和每个 B 种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过 1700 元的资金购进 A、B 两种娃娃共 200 个，若这 200 个 娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）每个 A 种娃娃的进价是 10 元，每个 B 种娃娃的进价是 8 元
（2）当购进 50 个 A 种娃娃，150 个 B 种娃娃时，商家获利最大，最大利润是 550 元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准 等量关系，正确的列出方程组，不等式，函数解析式，是解题的关键：
（1）设每个 A 种娃娃的进价是 x 元，每个 B 种娃娃的进价是y 元，根据购进 4 件 A 种娃娃和购进 5 件 B 种 娃娃的费用相同；每个 A 种娃娃的进价比每个 B 种娃娃的进价多 2 元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进 m 个 A 种娃娃，则购进(200 一 m) 个 B 种娃娃，根据题意，列出不等式，求出m 的取值范围， 设这 200 个娃娃全部售完获得的总利润为 w 元，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可.
【小问 1 详解】
解：设每个 A 种娃娃的进价是 x 元，每个 B 种娃娃的进价是y 元，
根据题意得： {
〔 4x = 5y
lx 一 y = 2 ，
〔x = 10
ly = 8
解得： { .
答：每个 A 种娃娃的进价是 10 元，每个 B 种娃娃的进价是 8 元； 【小问2 详解】
解：设购进 m 个 A 种娃娃，则购进(200 一 m) 个 B 种娃娃， .
根据题意得： 10m + 8(200 一 m) ≤ 1700 ， 解得： m≤50 .
设这 200 个娃娃全部售完获得的总利润为 w 元， 则 w = (15 一10)m + (10 一 8)(200 一 m)，
即 w = 3m + 400 ， ∵ 3 > 0 ，
∴w 随 m 的增大而增大，
∴当 m = 50 时，w 取得最大值，最大值为 3× 50 + 400 = 550 ，此时 200 一 m = 200 一 50 = 150 （个）. 答：当购进 50 个 A 种娃娃，150 个 B 种娃娃时，商家获利最大，最大利润是 550 元.
22. 为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展 2024 年“5·19 中国旅 游日 ”活动.宁夏某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，对“开斋节 ”假期期间的游客去向进行了随 机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图 1 ，图 2 中所给的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是______；
（2）将图 1 中的条形统计图补充完整；
（3）若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概 率.
【答案】（1）200 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率：
（1）用 C 组的频数除以它所占的百分比得到样本容量； ·
（2）先计算出B 组的人数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有 16 种等可能的结果，再找出两人选择同一景区的结果数，然后根据概率公式计算.
【小问 1 详解】
解：此次抽样调查的样本容量为 50 ÷ 25% = 200 ； 故答案为：200；
【小问2 详解】
解： B 组的人数为 200 - 70 - 20 - 50 = 60 （人) ， 条形统计图补充为：
【小问 3 详解】
解：画树状图为：
共有 16 种等可能的结果，其中两人选择同一景区的结果数为 4，
∴他们选择同一景区的概率 = = .
23. 如图， AB 是 ΘO 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， CD 与 ΘO 相切于点 C，连接 AC，BC .
（1）求证： 上CAB = 上BCD .
若 tan 上CAB = , CD = 9 ，求 ΘO 的半径.
【答案】（1）见解析；
（2） .
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质，解直角三角形等知识.
（1）连接 OC ，由 AB 是 ΘO 直径，CD 与 ΘO 相切于 C，得 上OCB + 上BCD = 90O ，上ACB = 90O ，根
据 上ABC = 上OCB 即可证明结论；
（2）先解直角三角形得到 tan 上CAB = 由题意易证 △DCB ∽ △DAC ，得
得到 AD，BD ，根据 AB = AD — BD ，从而求出AB 的长即可得到答案. 【小问 1 详解】
证明：如图，连接 OC .
AB 是 ΘO 的直径，
: 上ACB = 90O ，
: 上CAB + 上ABC = 90O .
CD 与 ΘO 相切于点 C， : CD 丄 OC ，
:上OCD = 90O
:上BCD + 上OCB = 90O . OB = OC ，
:上ABC = 上OCB ， : 上CAB = 上BCD .
【小问2 详解】
上BCD = 上CAB, 上D = 上D ， :△DCB ∽△DAC ，
即 ΘO 的半径为 .
24. 投掷实心球是 2024 年银川市高中阶段学校招生体育考试新增的选考项目．如图①是一名学生投掷实心 球的示范动作，已知实心球行进路线是一条抛物线，距地面高度 y(m) 与距起点水平距离 x(m) 之间的函数
关系如图②所示，掷出时起点A 处距地面高度为 m ，行进过程中最高点 B 与 O 点的连线与地平面成 45O
角，且 B 点距地面的高度 h 为3m .
（1）求y 关于 x 的函数表达式；
（2）若实心球落地点 C 与原点 O 的距离可以近似看作本次掷实心球的成绩，则该学生掷实心球的成绩为多 少？
【答案】（1）y 关于 x 的函数表达式为2 +3 ；
（2）该学生掷实心球的成绩为 7.5m .
【解析】
【分析】（1）根据题意设出y 关于 x 的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令 y = 0 ，解方程即可. 【小问 1 详解】
解： 由题意得 BD = OD = h = 3 ，
∴顶点 B 的坐标为(3，3) ，A 的坐标为 ，
∴设y 关于 x 的函数表达式为 y = a (x — 3)2 + 3 ，
代入 得 2 + 3， 解得
∴y 关于 x 的函数表达式为2 + 3 ；
【小问2 详解】
解：令 y = 0 ，则 — 2 + 3 = 0 ，
解得 x1 = —1.5 (舍去) ， x2 = 7.5 ， 该学生掷实心球的成绩为 7.5m .
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程解题.
25. 为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把 头下方A 处与坐垫下方B 处平行于地面水平线，测得 BC = 44cm ， AC，BC 与 AB 的夹角分别为 45O与 60O .
（1）求 AB 的长度；
（2）若点 C 到地面的距离 CD 为 30cm ，坐垫中轴E 与点B 的距离 BE 为 6cm ．根据李豪同学身高比例， 坐垫 E 到地面的距离为 73cm至 74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出李豪同学骑乘 该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据： ≈ 1.41 ， ≈ 1.73 ）
（2）能达到最佳舒适度
【解析】
【分析】（ 1）过点 C 作CM 丄 AB于M ，分别解Rt△BMC 和 Rt△AMC 求出BM 和 AM 即可求解；
（ 2 ）过点E 作 EN 丄 AB 于 N ，解 Rt△BEN 求出 EN ，进而求出坐垫E 到地面的距离，比较即可判断 求解；
本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键. 【小问 1 详解】
解：如图，过点 C 作CM 丄 AB于M ，则 上AMC = 上BMC = 90O ，
在Rt△BMC 中， ∵ 上ABC = 60O ， BC = 44cm ，
在 Rt△AMC 中， ∵ 上BAC = 45O ，
答： AB 的长度为
【小问2 详解】
解：过点 E 作 EN 丄 AB 于 N ，
由题意得， 上EBN = 上ABC = 60O ， 在 Rt△BEN 中， BE = 6cm ，
∴坐垫 E 到地面的距离为 EN + CD + CM = 5. 19 + 30 + 22 ≈ 73.25cm ， ∵坐垫 E 到地面的距离为 73cm至 74cm之间时，骑乘该自行车最舒适，
∴李豪同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度.
26. （1） 问题
如图 1，在四边形 ABCD 中，点P 为 AB 上一点，当 上DPC = 上A = 上B = 90O 时，求证：AD . BC = AP . BP . （2）探究
若将 90O 角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.
（3）应用
如图 3 ，在V ABC 中， AB = 22 ， 上B = 45O ，以点 A 为直角顶点作等腰 Rt△ADE ．点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，点 F 在 BC 上，且 上EFD = 45O ，若 CE = ，求 CD 的长.
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【解析】
【分析】（1）由 上DPC = 上A = 上B = 90O 可得 上ADP = 上BPC , 即可证到 △ADP∽△BPC ，然后运用相似 三角形的性质即可解决问题；
（2）由 上DPC = 上A = 上B = α 可得 上ADP = 上BPC , 即可证到 △ADP∽△BPC ，然后运用相似三角形的 性质即可解决问题；
（3）证明 △ABD∽△DFE ,求出DF = 4 ，再证△EFC∽△DEC ,可求 FC = 1 ,进而解答即可. 【详解】解：（1）证明：如图 1，
上DPC = 90O
: 上BPC + 上APD = 90O ， 上A = 90O ，
: 上ADP + 上APD = 90O
:上APD = 上BPC ，
又 :上A = 上B = 90O :△ADP∽△BPC ，
: AD : BP = AP : BC
:AD . BC = AP . BP ；
（2）结论 AD . BC = AP . BP 仍成立； 理由：如图 2，
:上BPD = 上DPC + 上BPC ， 又:上BPD = 上A + 上APD ，
: 上DPC + 上BPC = 上A + 上APD ，
: 上DPC = 上A = α ,
:上BPC = 上APD ，
又: 上A = 上B = α ,
:△ADP∽△BPC ，
: AD : BP = AP : BC :AD . BC = AP . BP ； （3） :上EFD = 45O , :上B = 上ADE = 45O , : 上BAD = 上EDF ,
:△ABD∽△DFE
: AB : DF = AD : DE
: Rt△ADE 是等腰直角三角形
: AD : DE = 1 : 2
: AB : DF = 1 : 2
: AB = 2 ·2
:DF = 4
: Rt△ADE 是等腰直角三角形
:上AED = 45O : 上EFD = 45O
: 上DEC = 上EFC = 180O — 45O = 135O
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又:上C = 上C
:△DEC∽△EFC
:DC : EC = EC : CF 即 EC2 = FC . (4 + FC) : EC =
: 5 = FC(4 + FC)
:FC = 1
解得 CD = 5 .
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造 45角将问题转化为 一线三角是解题的关键.