江苏省溧阳市燕湖中学2024-2025学年八年级下学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省溧阳市燕湖中学2024-2025学年八年级下学期第二次月考 数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列博物馆（院）图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2. 下列调查最适合普查的是（ ）
A. 了解大运河被污染情况
B. 了解一个班学生一分钟跳绳成绩
C. 调查一批灯泡的使用寿命
D. 了解全国中小学生书面作业总量
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：、了解大运河被污染情况，最适合抽样调查，故不符合题意；
B、了解一个班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B符合题意；
C、调查一批灯泡的使用寿命，最适合抽样调查，故C不符合题意；
D、了解全国中小学生书面作业总量，最适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
3. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 小明站在罚球线上投篮，未投中
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 任意画一个平行四边形，它的对角线互相平分
D. 掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、小明站在罚球线上投篮，未投中，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、任意画一个平行四边形，它的对角线互相平分，是必然事件，故本选项符合题意；
D、掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：C
4. 若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. ±1
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案．
【详解】解：根据题意，−1＝0，x−1≠0，
∴x＝−1，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的运算性质逐项分析可得答案．
【详解】解：A．，原计算错误，故不符合题意；
B．，原计算错误，故不符合题意；
C．，原计算正确，故符合题意；
D．，原计算错误，故不符合题意．
故选：C．
6. 如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意；
故选：D．
7. 若反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 图像经过点B. 图像在第二、四象限
C. 当时，y随x的增大而减小D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
先把点代入反比例函数求出的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数经过点，
，
，
∴图像不经过点，故A选项错误；
，
∴它的图象在第一、三象限，故B选项错误；
∵当时，函数图象在第一象限，随的增大而减小，故C选项正确；
∵当时，随的增大而减小，故D选项错误．
故选：C．
8. 如图，点是矩形的对称中心，是边上一点，反比例函数（）的图象经过点、，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质、反比例函数的几何意义及等积法，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的几何意义及等积法是解题的关键．
设点，由题意易得，然后过点作轴于点，交于点，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：反比例函数（）的图象经过点、，设，
点是矩形的对称中心，
，
如图所示：过点作轴于点，交于点，
，
由反比例函数的几何意义可得：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：二次根式中被开方数，所以．
故答案为：．
10. 已知是和的比例中项，若，，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了比例中项的定义，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即或或，那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 根据比例中项的定义即可求解.
【详解】解：∵是和的比例中项，，，
∴，
∴，
故答案为：
11. 已知点和点在反比例函数的图象上，则与的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到-1•y1=6，-4•y2=6，然后分别计算出y1，y2，再进行大小比较．
【详解】解：∵A（-1，y1）和B（-4，y2）在反比例函数的图象上，
∴-1y1=6，-4•y2=6，
∴y1=-6，y2=，
∴y1PB），AB=10cm，
∴PA=AB=×10=（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
15. 已知平行四边形中，，则的度数为_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，两邻角互补．根据平行四边形对角相等，可求出，根据邻角互补继而求出．
【详解】解：在平行四边形中，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，直线，直线和被所截，如果，那么的长是________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
17. 如图，在正方形中，．E、F分别为边、的中点，连接、，点N、M分别为、的中点，连接，则的长度为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，并延长交于点G，先通过证明得到，后，证明是的中位线，可得，在中利用勾股定理求出的长，从而求出的长．
【详解】解：连接并延长交于点G，连接，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵E、F分别为边、的中点，
∴，．
∵M为的中点，
∴，
在和中，
．
∴．
∴，．
∴M为的中点，
∵N为的中点，
∴是的中位线．
∴．
在中，
，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质与勾股定理的应用，难度较大，解答本题的关键是添加辅助线把归纳到三角形中，然后证明是三角形的中位线．
18. 如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数（）的图象过点，则该反比例函数的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
过点作轴于点，得到，根据正方形性质得到，推出，得到，得到
，由点的坐标为，求出，继而得到，推出，求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
，
，
在正方形中，
，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
反比例函数（）的图象过点，
，
，
该反比例函数的表达式为，
故答案为：．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则．
（1）根据二次根式乘除法运算法则计算即可；
（2）先化简每一项，然后合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式．
小问2详解】
解：原式．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是分式的加减运算，分式的混合运算；
（1）先把分式化为同分母的分式，再计算即可；
（2）先计算括号内分式的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分即可.
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
21. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）原方程无解
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
（1）按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，再进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，再进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：，
去分母得．
去括号得，
．
检验：当时，．
是原方程的解．
【小问2详解】
解：，
去分母得，
去括号得，
．
检验：当时，．
是增根．
原方程无解．
22. 伴随智能手机、平板电脑的普及，我国青少年近视问题越发严峻，青少年近视防控已被纳入国家重点工作．在6月6日“全国爱眼日”，为了解本校学生的视力情况，某班组织了“双眼明亮，视界无限”爱眼保护活动，并随机抽取了本校部分学生进行调查．下图是根据调查结果绘制的两幅统计图（不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是__________，统计图中的__________，__________；
（2）扇形统计图中“5.0及以上”项目所对应的圆心角是__________；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校视力在“4.5及以下”的学生有多少人？并对这些同学提出一条爱护眼睛的建议．
【答案】（1）200，40，39
（2）54 （3）估计全校视力在“4.5及以下”的学生有240人，见解析
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）用的人数除以所占百分比即可求出样本容量，用样本容量减去其余各组人数即可求出a，用的人数除以样本容量即可求解；
（2）用乘以“5.0及以上”所占百分比即可；
（3）用1200乘以“4.5及以下” 所占百分比，然后调出合理建议即可．
【小问1详解】
解：本次调查的样本容量是，
，
，
即；
故答案为：200，40，39；
【小问2详解】
解：，
故答案为：54；
【小问3详解】
解：（人）．
答：估计全校视力在“4.5及以下”的学生有240人．
建议合理使用电子产品，避免用眼疲劳（理由合理即可）．
23. 近年来，常州市深入贯彻中央精神，扎实推进“四好农村路”建设，为实现乡村振兴提供坚实保障．在修建某村一条长约米的公路时，筑路队在修建了米后，采用新技术提升修建速度，每天修建长度是原来的倍，结果共用天完成全部任务．原来每天修建公路多少米？
【答案】原来每天修建公路米
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用；设原来每天修建公路米．根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解．
【详解】解：设原来每天修建公路米．
由题意得．
解得．
经检验，是原方程的解，符合题意．
答：原来每天修建公路米．
24. 如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，能够综合应用上述知识点是解题的关键．
（1）由菱形的性质可得，进而可得是的中位线，推出，依次证明四边形是平行四边形、矩形即可；
（2）菱形的性质及勾股定理求出菱形的边长，设，利用勾股定理解和求出，进而可得，最后根据矩形面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：菱形的对角线，相交于点，
，，
是边的中点，
，
是的中位线，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：菱形中，，
，，，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
由（1）知是矩形，
解得，即
，
矩形的面积为：．
25. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若过点且平行于轴直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标；
（3）若，请直接写出关于的不等式的解．
【答案】（1），
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数解析式，
（1）把代入可得反比例函数解析式；把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）记直线与直线的交点为，求出点C的坐标，设点，根据即可求解．
（3）运用数形结合思想，得出当时，则或，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意把代入，得出，
解得，
反比例函数的解析式为：；
把代入中，得出，
，
则把和分别代入，
得出，
解得，
；
【小问2详解】
解：如图，记直线与直线的交点为，
当时，则
，
是直线上的一个动点，
设点，
的面积为21，
，
即，
，
解得或，
点坐标为或．
【小问3详解】
解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
则结合图象，当时，则或．
26. 古希腊数学家、物理学家阿基米德曾说过一句豪言壮语：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话夸赞的其实是“杠杆原理”．如图1，“杠杆原理”可通俗地理解为：动力×动力臂=阻力×阻力臂．生活中，筷子、剪刀、羊角锤、钓鱼竿、跷跷板……，“杠杆原理”的应用无处不在．
（1）最简单的“杠杆原理”应用：天平．
如图2，天平两端的托盘底部中心与支点的距离分别是、，且，设左侧托盘所放物体的质量是，右侧托盘所放砝码的质量是．当游码归零时，天平恰好保持平衡，由“杠杆原理”得与的数量关系为__________；
（2）现代人的杠杆智慧：手机自拍杆．
如图3，一只手的握点O为支点，另一只手在点A处竖直向上用力，手机放置在自拍杆的点B处，且自拍杆与水平方向的夹角始终保持不变，手机的重力是，由“杠杆原理”得：
①当点A固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）；
②当点B固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）；
（3）古代人的杠杆智慧：杆秤．
如图4，将质量为待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动质量为的秤砣，，，秤杆总长度是．
①当秤杆保持水平时，m与l的函数表达式为__________，m的最大值是___________；
②将待测物与秤砣互换位置，在秤杆上移动待测物．当秤杆保持水平时，求m与l的函数表达式．此时，m是否有最大值？请说明理由．
【答案】（1）
（2）①增大；②减小 （3）①，19；②，没有最大值，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数，反比例函数的应用，正确理解题意，弄清楚各量间的数量关系是解题的关键．
（1）由“杠杆原理”得，再根据即得答案；
（2）由“杠杆原理”得，所以，①根据正比例函数的性质，即可得到答案；②根据反比例函数的性质，即可得到答案；
（3）①根据“杠杆原理”得，再根据正比例函数的性质，即可解答；②根据“杠杆原理”得，再根据反比例函数的性质，即可解答．
【小问1详解】
由“杠杆原理”得，而，
所以；
故答案为：．
【小问2详解】
由“杠杆原理”得，
所以
①当点A固定，增大时，和G不变，所以F是关于正比例函数，所以当增大时，所用的力F也随之增大；
②当点B固定，增大时，和G不变，所以F是关于反比例函数，所以当增大时，所用的力F反而减小；
故答案为：①增大；②减小．
【小问3详解】
①根据“杠杆原理”得，
，
，
，
，
，
随着l的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为19；
故答案为：，19．
②由“杠杆原理”得，
与l的函数表达式为，
根据反比例函数的性质，
m随l的增大而减小，
，
没有最大值．