湖北省武汉市粮道街中学2024-2025学年下学期5月月考八年级 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省武汉市粮道街中学2024-2025学年下学期5月月考八年级 数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 能使有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出，再求出的范围即可．
【详解】解：要使式子有意义，必须，
解得：．
故选：B．
2. 下列各点中，在直线上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像上的点的坐标的特点．分别将四个选项中的点的坐标代入已知解析式进行验证，即可得出答案．
【详解】解：A、当时，，故该点不在所给直线上，本选项不符合题意；
B、当时，，故该点不在所给直线上，本选项不符合题意；
C、当时，，故该点在所给直线上，本选项符合题意；
D、当时，，故该点不在所给直线上，本选项不符合题意；
故选：C．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算法则，逐一判断，即可解答．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
4. 下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，
所以A选项中不是的函数，符合题意．
故选：A．
5. 在中，，，斜边上的高，则（ ）
A. B. 6C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、斜边中线的性质．先证，再根据“等角对等边”可得，则可知也是斜边上的中线，根据斜边中线的性质即可求解．
【详解】解：如图，中，，，
，
，
，
∵斜边上的高，
∴也是斜边上的中线，
．
故选：B．
6. 已知一次函数的图像经过点，则关于x的一元一次方程的解是（ ）
A. B. C. 或D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，将点，代入得出，则的解是，即可求解．
【详解】解：∵一次函数的图像经过点，则
∴关于x的一元一次方程的解是，
故选：A．
7. 下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵平行四边形，，
∴平行四边形为矩形，
∵，
∴平行四边形为正方形；故选项A不符合题意；
∵平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，
∴；不能判断平行四边形是正方形，故选项B符合题意；
∵∵平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，
∵
∴平行四边形为正方形；故选项C不符合题意；
∵平行四边形，，
∴平行四边形为矩形，
∵，
∴平行四边形为正方形；故选项D不符合题意；
故选B．
8. 甲、乙两人同时登山，两队甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后的速度是甲的3倍，则下列说法正确的是（ ）
A. 乙提速后每分钟攀登45米
B. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时4.5分钟
C. 整个过程中，有2个时刻甲、乙两人相距80米
D. 从甲、乙第一次相距80米到乙追上甲时，甲、乙共攀登了160米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用．根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；分三种情况讨论甲、乙两人相距80米时，列式计算求解．
【详解】解：甲的速度为：（米/分），
（米/分），
即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意；
设乙用分钟追上甲，
由题意得，
解得，
即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟，故选项B不符合题意；
由题意得，有3个时刻甲、乙两人相距80米，
在乙提速前即时，，
解得，不符合题意，舍去；
由题意得，或，
解得或，，故选项C不符合题意；
甲、乙第一次相距80米时，甲距离地面米，
乙距离地面米，
乙追上甲时，甲距离地面米，
乙距离地面米，
则甲、乙共攀登了米，故选项D符合题意；
故选：D．
9. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中N，L分别表示这个多边形内部、边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称作格点．已知，，，则内部的格点个数是（ ）
A. 116B. 117C. 118D. 119
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
首先根据题意画出图形，然后求出的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
【详解】如图所示，

∵，，，
∴，
∵上有11个格点，
上的格点有，，，，共5个格点，
上的格点有，，，共4个格点，
∴边界上的格点个数，
∵，
∴，
∴解得．
∴内部的格点个数是116．
故选：A．
10. 如图，在中，，过点A作，垂足为D，，，则的长度（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质和判定，熟知相关知识点是正确解答此题的关键．
作于，由勾股定理求出，进而求得，根据面积相等及勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：作于，
，
，
，
， ，，
，
，
设，，
由勾股定理得，
即，
由面积得，
即，
，
，
解得（负值已舍去），
故答案为：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 化简的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简．利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知点、在关于x的一次函数的图象上，则，，的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质．根据，y随x的增大而减小这一性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴函数值y随着x的增大而减小，
而，
∴，
故答案为：．
13. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长为_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，正确掌握性质推理证明是解题的关键．根据矩形的性质推出，结合已知，证明为等边三角形，得出，根据得出答案即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在正方形中，，分别为边、的中点，连接、，点分别为、的中点，连接，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
连接并延长交于点，连接，根据正方形性质得到，，，推出，，可证明，得到，求出，由点分别为、的中点得到是的中位线，推出．
【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，
正方形，
，，，
，，
分别为边、的中点，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
点分别为、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
15. 一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图象交于点，则下列结论：①关于x的方程的解为；
②直线图象上任意不同两点和满足；
③若，且，则当时，；
④若，则或；
其中正确的结论有_______（填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，绝对值的性质等知识．根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①；利用待定系数法求出，结合一次函数的性质即可判断②；求出，结合，即得出，解得或，故④错误；将代入，即可求出 ，进而可得出，且，画出大致图象，可得出当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方，即，可判断③正确．
【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，
∴联立解为，
即方程的解为，故①正确；
将代入，得：，
解得：，
∴．
∵，
∴对于一次函数，y的值随x的增大而减小，
∴当时，；当时，，
∴无论何时与都为异号，
∴，故②正确；
∵，且，
∴．
∵，
∴，
∴或，
∴或，故④错误；
将代入，得：，
∴．
∵，且，
∴，且，
∴画出图象如图所示．

由图可知当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方，
∴当时，，故③正确．
故答案为：①②③．
16. 对于实数a，b定义符号，当时，；当时，．例如：．若直线与关于x函数有3个交点，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题．根据定义先确定直线必定过点，关于x的函数对应的函数为和，画图象可知k的取值范围．
【详解】解：由定义得取实数a，b的最小值，
当时，，当时，，
对于，当时，，当时，，
对于，
直线必定过点，
在横坐标系中画出和的图象，如图，

联立得，解得，即交点为，
将代入，得，解得，
当直线与平行时，直线与关于x的函数只有2个交点，
当直线与平行时，直线与关于x的函数只有2个交点，
当直线经过点时，直线与关于x的函数只有2个交点，
∴且，
故答案为：且．
三、解答题（共8题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用二次根式的性质以及完全平方公式进行计算．
（1）根据二次根式的乘除运算法则以及二次根式的加减法则计算即可求解．
（2）利用完全平方公式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，请你判断四边形的形状，并证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形为菱形，证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）利用平行四边形性质以及全等三角形的判定和性质得出，即可证得四边形为平行四边形；
（2）先利用全等三角形的判定得出，进一步由（1）知四边形为平行四边形，得出即可判断四边形的形状．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，
，，且，
又点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
，，
，
，
同理，
四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：当时，四边形为菱形．证明如下：
，四边形是平行四边形，
，
又点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
，，
，
，
由（1）知四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，．
（1）求直线的解析式；
（2）将直线向下平移4个单位后得到直线l，直线l与y轴交于点M，求的面积．
【答案】（1）；
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，根据面积，求解即可．
【小问1详解】
解：设直线的解析式的解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式的解析式为；
【小问2详解】
解：记直线与y轴的交点，
∵将直线向下平移4个单位后得到直线l，直线l与y轴交于点M，
∴，
∴的面积．
20. 如图，矩形的顶点，，E为线段上一点，将矩形沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，直线交延长线于点G．
（1）求点E的坐标．
（2）点H为线段的中点，求点H的坐标．
【答案】（1）点E的坐标是；
（2）点H的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，矩形与折叠，勾股定理，待定系数法求二次函数解析式．
（1）根据矩形和折叠的性质结合勾股定理，得到，进而得到，设，则，再利用勾股定理列方程，求出，从而得出，即可求出点坐标；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式，再求得，据此求解即可．
【小问1详解】
解：矩形的顶点，，
，，，
是上一点，
点的横坐标为10，
由折叠的性质可知，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，即点的纵坐标为3，
点坐标是；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，则，
解得，
∴，
∵点H为线段的中点，
∴点H的坐标为．
21. 下列由边长为1的小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺完成下列画图．
（1）请在图1中画出所有点使得以点为顶点的四边形是平行四边形．
（2）请在图1中作出点关于对称的点．
（3）如图2，点为线段与网格线的交点，请在上作出点使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理与网格问题，数形结合是解题的关键；
（1）根据网格的特点以及平行四边形的性质，分为对角线分别找到点，即可求解；
（2）根据网格的特点作的垂线，进而根在垂线上找到的对称点，即可求解；
（3）根据网格的特点可得与竖直的网格线的夹角等于与水平网格线的夹角，根据全等三角形的性质与判定，进而确定点的位置，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求
【小问2详解】
解：找到的格点，则向左平移个单位，向上平移个单位得到，则
找到的格点，则，，设，交于点，
又在同一直线上，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
又∵底边相等，且
∴
∴垂直平分
即关于的对称点是点，
【小问3详解】
如图，和网格线的交点，即为所求；
如图，∵，，
∴
∴
∵，
∴
∴
22. 某商场计划购进甲、乙两种商品出售，且甲种每件售价220元，乙种每件售价160元．每件甲商品的进价比乙种商品的进价贵40元，购进3件甲种商品的费用和购进4件乙种商品的费用相等，现计划购进两种商品共120件，其中甲种商品不少于60件
（1）求甲种、乙种商品的进价；
（2）若购进这120件品的费用不得超过17400元．
①求甲种商品最多购进多少件？
②现要对甲种商品降价促销，每件商品降价a（）元，乙种商品价格不变，如果这120件商品都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）甲种商品每件的进价160元，乙种商品每件的进价120元；
（2）①甲种商品最多购进75件；②见解析
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）设甲种商品每件的进价元，根据题意得：，解出的值可得答案；
（2）①设甲种商品购进件，根据甲种商品不少于60件，购进这120件商品的费用不得超过17400元得不等式组，求出范围可知甲种商品最多购进75件；
②设获得利润为元，根据题意得，分三种情况讨论可得答案．
【小问1详解】
解：设甲种商品每件的进价元，则乙种商品每件的进价元，
根据题意得：，
解得，
，
甲种商品每件的进价160元，乙种商品每件的进价120元；
【小问2详解】
解：①设甲种商品购进件，
甲种商品不少于60件，购进这120件商品的费用不得超过17400元，
，
解得；
甲种商品最多购进75件；
②设获得利润为元，
根据题意得：，
当时，随的增大而增大，
当时，取最大值，此时购进甲种商品75件，乙种商品45件利润最大；
当时，所有进货方案利润都是4800元；
当时，随增大而减小，
当时，取最大值，此时购进甲种商品60件，乙种商品60件利润最大．
综上所述，当时，购进甲种商品75件，乙种商品45件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4800元；当时，购进甲种商品60件，乙种商品60件利润最大．
23. （1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是边、上的点，，求证：．
（2）尝试应用：如图2，在等腰直角三角形中，E、F是斜边上的两个点，且，试探究、、之间的数量关系．
（3）拓展创新：如图3．在矩形中，点E、F、P分别在线段、、上，交于点M，，，，，则的长度为_______．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【解析】
【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可判断出，即可得出结论；
（2）同（1）的方法利用旋转即可得出结论；
（3）延长，延长交于点N，过点E作于H，交于点G，过点B作于点O，可证四边形是矩形，可得，，由相似三角形的性质依次求出的长，通过证明，由相似三角形的性质可求的长即可解决问题．
【详解】解：（1）证明：延长至，使，
∵四边形是正方形，
∴.
∴
∴
∴，
∵，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，逆时针旋转，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，,
∴，
∴
∴，,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴,
∴，
∴
（3）延长，延长交于点N，过点E作于H，交于点G，过点B作于点Q，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴
∴,
∴,
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在直线上．
（1）如图1，若，点在线段上，，求点的坐标；
（2）如图2，以为对角线作正方形（、、、）按顺时针方向排列，当点在直线上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值：若变化，请说明理由．
（3）如图3，在（1）的条件下，为轴上一动点，连，以为边作正方形（、、、按顺时针方向排列），连接，，则的最小值为 ．
【答案】（1）点的坐标为；（2）不变，；（3）
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足，根据，表示出，，求出，再推导出，由，，推出，即可求解；
（2）过点作交的延长线与，连接．接下来，再证明，依据全等三角形的性质可得到，接下来，再证明，依据直角三角斜边上中线的性质可证明，然后依据与的比值为定值可得到问题的答案；
（3）过作垂直轴与，设．可证明，则，设直线交轴与，则，作点关于直线的对称点，连接，交直线与，连接、、，则的最小值为线段的长，最后，在△中依据勾股定理求得的长即可．
【详解】解：（1）如图1所示：过点作，垂足为．
，
，．
．
．
又，
．
，
．
．
，
∴．
点的坐标为．
（2）的值不变．
如图2所示，过点作交的延长线与，连接．
四边形是正方形，
，，
．
，
，
．
、，
．
，
．
，，，
，
，
，
为的中点，
，．
（3）如图3所示：过作垂直轴与，设．
，
，
，
．
，．
．
点在直线上运动，
点在直线上．
设直线交轴与．
，．
．
作点关于直线的对称点，连接，交直线与，连接、、．
．
，
的最小值为线段的长．
，，
在△中，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解题的关键是应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、轴对称的性质，确定出取得最小值的条件．