广东省部分学校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份广东省部分学校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设数列的前项积，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】数列的前项积，即；
所以.
故选：A
2. “杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（ ）

A. 8B. 9C. 10D. 15
【答案】B
【解析】由杨辉三角知：第1行：，，
第2行：，，，
第3行：，，，，
第4行：，，，，，
由此可得第行，第个数为，
所以第9行第9个数是.
故选：B.
3. 某高中足球场内有4条同心圆环步道，其长度依次构成公比为3的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设最长步道为，由题意可得，则.
故选：D.
4. 物理学上定义线密度为单位长度上的质量．某直鱼竿的总长度为6米，设为鱼竿上一点到鱼钩的距离（单位：米），表示该点到鱼钩这一整段鱼竿的质量（单位：克），则该鱼竿在处的线密度为（ ）
A. 8克每米B. 16克每米C. 24克每米D. 32克每米
【答案】D
【解析】根据题设，可知鱼竿在处的线密度为
，
所以鱼竿在处的线密度为．
故选：D．
5. 已知数列满足，设甲：存在正整数，使得；乙：存在正整数，满足，则（ ）
A. 甲和乙都是真命题B. 甲是真命题但乙是假命题
C. 乙是真命题但甲是假命题D. 甲和乙都是假命题
【答案】A
【解析】对于，存在正整数，所以甲是真命题；
对于，，，不妨令，故，，，
又3是数列的一个周期，所以，故存在正整数，满足，
故乙是真命题，
所以甲和乙都是真命题.
故选：A
6. 已知函数在处取得极大值，则（ ）
A. 0B. 12C. 16D. 96
【答案】A
【解析】因为，
由题意，所以或，
经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此.
故选：A.
7. 某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ）
A. 15种B. 28种C. 31种D. 63种
【答案】C
【解析】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为种；
若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件的去法有种；
故该宿舍同学的去法共有种．
故选：C．
8. 函数在上的零点和极值点个数之和为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】令，所以或，
又，所以，，即在区间有5个零点，
，
令，解得或，
又，所以在区间上有2个解，设为，且，
在区间上有2个解，设为，且，
当时，，，
故在上单调递减，
当时，，
故在单调递增，
故在[0，上有4个变号零点，即在上有4个极值点，
所以在上的零点和极值点个数之和为9.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（ ）
A. 若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B. 若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C. 若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D. 若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
【答案】BD
【解析】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，
与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误；
若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，
《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，
故共有种观看顺序，故B正确；
若将6部电影每2部一组随机分为3组，
则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，
故分组方式为，故C错误；
若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，
按1和5，有种分组方式；
按2和4，有种分组方式；
按3和3，有种分组方式，
所以共有31种分组方式，故D正确.
故选：BD.
10.设函数，直线与曲线相切于点，则（ ）
A. 对于给定的，任意的恒过定点
B. 对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点
C. 与的交点的横坐标存在最小值
D. 与的交点的纵坐标存在最大值
【答案】ABD
【解析】对于A，，因此切线方程为，
也即，恒过定点），故A正确；
对于B，由A知存在一条直线，使得与交于点，故B正确；
对于CD，根据定义域知，
设，下面研究值域，因为，
当单调递增，当单调递减，
所以存在极大值（也就是最大值），
且当，所以值域为，
也就是横纵坐标均存在最大值1，不存在最小值，故D正确，C错误．
故选：ABD．
11. 已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（ ）
A.
B.
C. 和均为等比数列
D. 除以3的余数为1
【答案】AC
【解析】对于A，令可得，
令可得，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
故，故B错误；
对于C，由题意可得，所以数列是首项为、公比为2的等比数列，
所以，①，同理可得，
所以数列是首项为，公比为-1的等比数列，所以，②，故C正确；
对于D，①-②得所以，，
因为展开后最后一项为-1，其余各项均能被9整除，
所以能被3整除，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为15，则__________.
【答案】6
【解析】由题意可得，化简得，解得；
故答案为：.
13. 已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____.
【答案】11
【解析】由等差数列的定义可得，则，
所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11.
故答案为：11.
14. 已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为_________．
【答案】
【解析】，因为在上，且，
可知与在处的切线平行或重合，
又因为，即，解得，
故在处的切线方程为，
分别整理得切线方程为，直线为0，
由平行直线间距离公式知，两直线间距离为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？
（1）老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．”
（2）老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．”
解：（1）由题意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，
所以5人的名次不同的排列情况有（种）．
（2）由题意得，甲、乙两人名次为2，3或3，4，
所以5人的名次不同的排列情况有（种）．
16. 已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）求的单调区间．
解：（1）当时，，,
则，
则在上单调递减，
所以，无最小值．
（2），
（i）若，则，所以在单调递减；
（ii）若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
综上所述，当时，的单调减区间为（）；无单调增区间．
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
17. 已知数列满足，
（1）探究数列的单调性；
（2）求数列的前n项和
解：（1）因为，且，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，
故，即，且，
易得时，，即，数列单调递增，
时，，即，数列单调递减.
（2）由（1）可得，所以，，
两式相减得，
所以
18. 已知函数其中，为曲线上不同的两点.
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）时，讨论的单调性；
（3）若A，B关于点对称，求b的取值范围.
解：（1）当时，，则，
求导得，则，
故曲线在点处的切线方程为，
整理得：
（2）当时，，求导得，
记，则求导得，
所以在单调递增，又，
所以当时，，则在区间上单调递减，
当时，，则在单调递增.
（3）由题意可得
根据定义域为，则不妨设，则
又，即
记，，
又，，所以，
所以在区间上单调递增，
由于，当时，，所以有，
从而可知的值域为，要使得，则，
所以
19. 若一个数列由两个变量和共同控制，则称这样的数列为“双数列”，当时，可记为，在研究这样的数列问题时，一般将一个变量视为固定值，已知数列中，，，给定双数列
（1）求数列的通项公式；
（2）现固定的值且，求；
（3）设双数列，固定的值且满足，，则当取何值时，取得最大值.（结果用含的表达式表达）
解：（1）由题意得， ，，，
故当时，，
也满足，故对任意的，.
（2）因为，由题意可得，
故，
又因为，
故.
（3）因为，，可得，
由题意得，
因为值被固定，故其可视为常数，记作，
当时，，当时，，
当时，要有取得最大值，则有，即，，
，
，
当时，由于，不存在，
故分母不可能为，即，
有，分析可得当时，，
而，
故此之前数列一直递增，时，，
而，
故在此之后数列一直递减，即，
又题干中满足，，故，
因此，当或时，取得最大值