福建省恒一教育集团2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份福建省恒一教育集团2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 下列求导运算结果不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，
故D正确.
故选：A.
2. 2025年U-20男足亚洲杯足球赛于2月份在深圳举行，东道主中国所在的A组共有四支球队，四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为.
故选：B
3. 函数在处切线斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
则，，
所以函数在处的切线斜率为，
故选：C
4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由图象，设与轴的交点横坐标为，其中，
由图象可得时，，当时，，所以是极小值点，
当时，，所以不极值点，
当时，，所以极大值点，
时，，所以是极小值点，
故极小值点的个数为2.
故选：C.
5. 小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是,
故选：A
6. 设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为的超几何分布，故有3个红球的概率为
故选： C.
7. 若随机变量，则（ ）
A. 3.8B. 4.8C. 8.6D. 9.6
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：D
8. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】直线的斜率为，
所以，令得，，
将代入可得，则在点的切线斜率为，
所以切点到直线的距离为：.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知二项式的展开式中各二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有项B. 二项式系数最大的项是第项
C. 展开式的常数项为D. 展开式中各项的系数和为
【答案】BD
【解析】由题知，得到，所以展开式共有项，故选项A错误，
对于选项B，因为，由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第项，所以选项B正角，
对于选项C，二项式的展开式的通项公式为，
由，得到，所以展开式的常数项为，所以选项C错误，
对于选项D，令，则，所以展开式中各项的系数和为，故选项D正确，
故选：BD.
10.某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为 计算其相关系数为r₁，决定系数为R².经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为 相关系数为r₂，决定系数为.下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由图可知两变量呈现正相关，故，去掉“离群点”后，相关性更强，所以 故 故A 正确，B不正确.
根据图象当去掉F点后，相关性更强，点A，B，C，D，E会更靠近直线，直线的倾斜程度会略向x轴偏向，故斜率会变小，
因此可判断，故C正确，D错误.
故选： AC.
11. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，由古典概型可知，故A错误；
对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率，
当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知；
对于C，由B选项分析同理可得，
由条件概率的定义可知，故C正确；
对于D，由全概率公式可得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________．
【答案】
【解析】因为在内取值的概率为，服从正态分布，
所以，且，
所以，
所以，
所以在内取值的概率为，
故答案为：.
13. 假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是______________．
【答案】
【解析】由题意可知该部件的总体良品率是：
，
故答案为：
14.函数,若关于x的不等式的解集为,则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由题意知，当时，；
当时，；当时，．
当时，，
结合图象知；当时，，当时，显然成立；
当时，，
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以．
综上，实数a的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
解：（1）函数的定义域为R，
求导得，
由，得或；由，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
而，，
则，，
所以在区间上的最大值和最小值分别为.
16. 某人工智能公司从2018至2024年利润情况如下表所示：
（1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
（2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润；
参考数据：
参考公式：对于一组数据，
①相关系数为：;
②经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别
，
解：（1）由题设，易知y与x线性相关，且，
，
由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强．
（2）由题设，，
，
所以，
因此y关于x的回归方程为，
当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元．
17. 近年来，“家长辅导孩子作业”已成为家长朋友圈里的一个热门话题．某研究机构随机调查了该区有孩子正在就读小学的140名家长，以研究辅导孩子作业与家长性别的关系，得到下面的数据表：
（1）请将下列列联表填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下，认为是否辅导孩子作业与家长性别有关?
（2）若从被调查的50名爸爸中任选2名爸爸，并用A表示事件“至少1名爸爸辅导”，用B表示事件“2名爸爸都辅导”，求．
参考公式：其中．
参考数据：
解：（1）列联表填写如下图所示：
，
所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为辅导孩子作业与家长性别有关；
（2）至少一名爸爸辅导的可能情况有种；两名爸爸辅导的情况有种；
所以.
18. 设随机变量X的概率分布列为
（1）确定常数m的值.
（2）写出X的分布列.
（3）计算
解：（1）随机变量的概率分布为．
，解得．
（2）由（1）可得，，，
，的分布列为：
（3）．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，所以.
又，所以，则切线方程为.
令得，令得，
所以切线与坐标轴围成三角形的面积为.
（2）由得，显然不是方程的解，
所以.设函数，
则，
令得或；令得或.
所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增.
又当时，，当时，，
当时，，当时，.
所以的大致图象如图：
若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，
由图象可知，或，即的取值范围为.
（3）由得，
显然当时，不等式恒成立.
当时，有恒成立，由（2）可得；
当时，有恒成立，由（2）可得.
综上，，即的取值范围为.
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
利润y（单位：亿元）
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
否辅导
家长性别
辅导
不辅导
合计
男
50
女
40
合计
70
0.15
0.10
0.05
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
是否辅导
家长性别
辅导
不辅导
合计
男
30
20
50
女
40
50
90
合计
70
70
140

1
2
3
4