湖北省2025届高三下学期新高考信息卷（三）数学试卷（解析版）

这是一份湖北省2025届高三下学期新高考信息卷（三）数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A=x∣x2-1≤0，B=x∣x≥0，则A∩B=（ ）
A．x∣x≤-1B．x∣-1≤x≤0C．x∣0≤x≤1D．x∣x≥1
【答案】C
【解析】A=x∣-1≤x≤1，B=x∣x≥0，
故A∩B=x∣0≤x≤1.
故选:C.
2．在复平面内，2-i1+i对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】2-i1+i=(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2=12-32i，所以2-i1+i对应的点(12,-32)位于第四象限.
故选：D
3．已知向量a与b的夹角为5π6，a=3，b=2，则a在b上的投影向量为（ ）
A．-334bB．-34bC．34bD．334b
【答案】A
【解析】a在b上的投影向量为acs5π6⋅bb=3⋅-32⋅b2=-334b，
故选：A.
4．已知sinx+csx=2，则11+tan2x=（ ）
A．2B．1C．12D．13
【答案】C
【解析】sinx+csx=2sinx+π4=2，
故sinx+π4=1，可得x+π4=π2+2kπ,k∈Z,x=π4+2kπ,k∈Z，
代入计算可得11+tan2x=11+tan2π4+2kπ=12.
故选：C.
5．已知实数a，b满足1a-21b-3=6，则ab的最大值为（ ）
A．125B．124C．112D．14
【答案】B
【解析】因为1a-21b-3=6，所以2a+3b=1，
因为ab=16×2a×3b≤162a+3b22=124，
当且仅当2a=3b=12，即a=14,b=16时等号成立，故ab的最大值为124.
故选：B
6．已知抛物线y2=2x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A,B两点，若△AOF的面积是△BOF的面积的两倍，则AB=（ ）
A．2B．52C．94D．114
【答案】C
【解析】令d为点O到直线AB的距离，
则S△AOF=12d⋅AF，S△BOF=12d⋅BF,
由S△AOFS△BOF=12d⋅AF12d⋅BF=AFBF=2，故AF=2BF，
由抛物线定义可知，AF=xA+12，BF=xB+12，
则有xA+12=2xB+12，即xA-2xB=12，
设直线AB方程为x=my+12，联立抛物线方程y2=2xx=my+12，
有y2-2my-1=0，Δ=4m2+4>0，
故yA+yB=2m，yAyB=-1，
则xAxB=yAyB24=14，则有2xB=12xA，故xA-2xB=xA-12xA=12，
有2xA2-xA-1=0，故xA=1或xA=-12（负值舍去），则xB=14xA=14，
故AB=xA+12+xB+12=1+1+14=94.
故选：C.
7．下列函数在区间1,4上单调递增的是（ ）
A．fx=12-xB．fx=xexC．fx=xlnxD．fx=x-lnx2
【答案】C
【解析】对于A，fx=12-x的定义域为-∞,2∪2,+∞，fx在1,2上单调递增，在2,4上单调递增，不满足在1,4上单调递增，故A错误.
对于B，f'x=1-xex≤0,fx在1,4上单调递减，不满足在1,4上单调递增，故B错误.
对于C，f'x=lnx+1>0，满足在1,4上单调递增，故C正确.
对于D，f'x=1-2x=x-2x,fx在1,2上单调递减，在2,4上单调递增，不满足在1,4上单调递增，故D错误.
故选：C.
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点O1是A1C1与B1D1的交点，点Q是直线AO1上异于A的一点，点P是平面C1BD上的动点，满足直线PQ与直线AQ的夹角为π3，则动点P的轨迹在（ ）
A．圆上B．椭圆上C．抛物线上D．双曲线上
【答案】D
【解析】直线PQ与直线AQ的夹角为π3，则P在以Q为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为AO1，
因为AO1//平面C1BD，所以动点P的轨迹在双曲线上.
故选：D.
二、多选题
9．甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（ ）
A．甲的众数大于乙的众数
B．甲的平均数大于乙的平均数
C．甲的极差大于乙的极差
D．甲的60百分位数大于乙的60百分位数
【答案】ABD
【解析】对于A，甲的众数为20，而乙的众数为9，故甲的众数大于乙的众数，A正确；
对于B，因甲平均数x=110(18+20+22+13+20+27+10+21+19+30)=20 ，
而乙平均数y=110(3+10+20+9+24+27+13+28+9+17)=16，故B正确；
对于C，甲的极差为30-10=20，而乙的极差为28-3=25，故C错误；
对于D，先把甲的得分按从小到大顺序排列为：10，13，18，19，20，20，21，22，27，30，
由10×60%=6知甲的60百分位数为20+212=20.5；
再把乙的得分按从小到大顺序排列为：3，9，9，10，13，17，20，24，27，28，
则乙的60百分位数为17+202=18.5，故D正确.
故选：ABD.
10．已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π2，则（ ）
A．ω=2B．f'(-3π16)=0
C．f(-π8)=f(-π4)D．f(-3π16)0)，故双曲线的渐近线方程为y=±bax，即bx±ay=0.
则焦点F(c,0)到渐近线的距离d=|bc|a2+b2=a，解得b=a，故双曲线的离心率e=c2a2=1+b2a2=2
所以答案应填：2.
13．若曲线y=lnx+a与圆x2+y2=2有公共点Px0,y0，且在点P处的切线相同，则实数a= .
【答案】-1
【解析】对于y=lnx+a，y'=1x，故切线斜率存在，于是1x0=-x0y0，又x02+y02=2，
解得y0=-1或y0=2（舍去），于是x0=1y0=-1，所以-1=ln1+a，所以a=-1.
故答案为：-1.
14．已知正整数n，欧拉函数φn表示1、2、3、⋯、n中与n互素的整数的个数，例如，φ2=1，φ4=2.若小明从3、5、7、11、13中随机取一个数k，小红从6、8、9、10、30中随机取一个数l，则φk-φl=2的概率为 .
【答案】425/0.16
【解析】由题意可得φ3=2，φ5=4，φ7=6，φ11=10，φ13=12，φ6=2，
φ8=4，φ9=6，φ10=4，φ30=8，
因为k∈3,5,7,11,13，l∈6,8,9,10,30，
满足φk-φl=2的数组k,l有：5,6、7,8、7,10、11,30，
故所求概率为45×5=425.
故答案为：425.
四、解答题
15．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acsC+12c=b．
（1）求A：
（2）若a=2，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．
解：（1）由acsC+12c=b，以及正弦定理可得sinAcsC+12sinC=sinB
即sinAcsC+12sinC=sinA+C=sinAcsC+csAsinC，
即12sinC=csAsinC，
又在△ABC中sinC≠0，
所以csA=12，
则在△ABC中A=π3；
（2）由（1）可得S△ABC=12bcsinA=34bc=3，
所以bc=4，
由余弦定理csA=b2+c2-a22bc=b+c2-2bc-a22bc=b+c2-8-48=12，
解得b+c=4，
所以△ABC的周长a+b+c=6.
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，PB=PD，PA⊥PC，点E、F分别为棱AD、PC的中点.
（1）证明：EF//平面PAB；
（2）若直线PA与平面ABCD所成角的大小为60∘，求二面角P-BC-D的正弦值.
（1）证明：如图1，取PB的中点M，连接MF、MA，
因为F为PC的中点，所以MF//BC，且MF=12BC，
又四边形ABCD为菱形，且E为AD的中点，所以AE//BC，且AE=12BC，
所以MF//AE，且MF=AE，所以四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM，
又AM⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF//平面PAB.
（2）解：如图2，连接AC、BD交于点O.
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC、BD的中点，
又因为PB=PD，所以PO⊥BD，
因为AC、PO⊂平面PAC，且AC∩PO=O，所以BD⊥平面PAC.
因为BD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAC，
过点P在平面PAC内作PG⊥AC，垂足为点G，
因为平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，PG⊥AC，
PG⊂平面PAC，所以PG⊥平面ABCD，
所以∠PAO为直线PA与平面ABCD所成的角的平面角，则∠PAO=60∘.
又AB=2，PA⊥PC，∠BAD=60∘，O为AC的中点，
所以PO=OA，则△PAO为等边三角形，
因为AB=AD，故△ABD也为等边三角形，且OC=OA=ABsin60∘=2×32=3，
以点O为坐标原点，OB、OC、GP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则O0,0,0，B1,0,0，C0,3,0，P0,-32,32，
所以PB=1,32,-32，BC=-1,3,0.
取平面ABCD的一个法向量为n=0,0,1，
设平面PBC的一个法向量为m=x,y,z，
则m⋅PB=x+32y-32z=0m⋅BC=-x+3y=0，取x=3，可得m=3,1,3，
则csm,n=m⋅nm⋅n=37=217，
设二面角P-BC-D平面角为θ，则sinθ=1-2172=277.
因此，二面角P-BC-D的正弦值为277.
17．已知数列an的前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列.已知数列bn首项b1=1，且bn+1=2bn-2n+3.
（1）求数列an的通项公式，并求数列an+1an⋅an+1的前n项和Tn.
（2）若将数列bn中去掉数列an的项后余下的项按原顺序组成数列cn，求c1+c2+⋯+c30的值.
（3）是否存在不同的m，n∈N*，使得am，a3，an成等差数列？如果存在，请求出m，n的值；如果不存在，请说明理由.
解：（1）因为n，an，Sn成等差数列，所以Sn+n=2an，①
所以Sn-1+n-1=2an-1n≥2，②
由①-②，得an+1=2an-2an-1，于是an+1=2an-1+1n≥2.
又S1+1=2a1，所以a1=1，所以a1+1=2，
因此，数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列.
所以an+1=2⋅2n-1=2n，即an=2n-1.
又an+1an⋅an+1=2n2n-12n+1-1=12n-1-12n+1-1，
所以Tn=1-13+13-17+⋯+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1.
（2）因为bn+1=2bn-2n+3，所以bn+1-2n+1=2bn-2n-1=⋯=2nb1-1=0，
所以数列bn-2n-1是各项均为0的常数数列，所以bn=2n-1，
所以bn+1-bn=2，则数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列.
又a1=1，a2=3，a3=7，a4=15，a5=31，a6=63，b32=63，b36=71，
所以c1+c2+⋯+c30=b1+b2+⋯+b36-a1+a2+⋯+a6
=36×1+712-21+22+⋯+26-6=362-27+8=1176.
（3）假设存在不同的m，n∈N*，
不妨假设m0，
所以函数g'x存在唯一零点x0∈1,2，即lnx0=1x0，
且当x∈0,x0时，g'x