内蒙古自治区呼和浩特市回民区2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（解析版）

这是一份内蒙古自治区呼和浩特市回民区2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，则（ ）
A. -1B. -2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】因为向量，，所以.
故选：C.
2. 下列各角中，与角终边相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，所以与角终边相同的是.
故选：A
3. 点在平面直角坐标系中位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以，因为，所以，
所以点在平面直角坐标系中位于第四象限.
故选：D
4. 下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A:在上单调递减，A选项错误；
对于B:在上单调递增，且为其对称中心，B选项正确；
对于C:不是0，所以不是的对称中心，C选项错误；
对于D:在上单调递减，D选项错误；
故选：B.
5. 已知向量，，且与的夹角是，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因与的夹角是，则，
则，则，则在方向上的投影向量是：
.
故选：D
6. 已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为奇函数，则，则.
故选：D
7. （ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：B
8. 已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，又函数在上单调递减，所以，解得，故实数的最大值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：AB
10. 已知，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B错误；
对于C，，则，当时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，由，得，由得，所以的取值范围为，故D错误．
故选：AC．
11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最大值为1
B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称
D. 若，则当时，的图像是单调递增的
【答案】ACD
【解析】对于A，化简函数，可得，.
则
再根据辅助角公式可得.
因为正弦函数的值域为，所以的最大值为，A选项正确.
对于B，根据正弦函数的周期公式可得的最小正周期，B选项错误.
对于C，若函数的图象关于直线对称，则为函数的最值.当时，，为函数的最大值，所以的图象关于直线对称，C选项正确.
对于D，先求.则.
当时，.
则在内单调递增，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. = ______________．
【答案】
【解析】
．
13. 已知，均为锐角，且，，则的值是_____．
【答案】
【解析】∵β为锐角，且，∴，，
故，
∴，，
又，∴.
故答案为： .
14. 记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，_____．
【答案】
【解析】由题可得，则.
因的图象关于点对称，则，
则，
则.
结合，可知时，最小为4，则，
则.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若为第三象限角，且，求的值.
解：（1）由题意可得.
（2）若，
则.
（3）因为，所以，
又为第三象限角，所以，
所以.
16. 函数（，）的部分图象如图所示．
（1）求的解析式和单调递增区间；
（2）若，，求的值．
解：（1）由函数图象可知，该函数的最小正周期满足：，
所以.则，由图象经过点，可得，
又，则，所以.
令，解得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）因为，所以.
因为，所以，
则.
.
即.
17. 单位圆与轴正半轴的交点为，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．
（1）如图，当的长为时，求线段与所围成的弓形（阴影部分）面积；
（2）记，，当，点的横坐标为时，求点的坐标．
（3）若将延长，取延长线上一点绕原点逆时针旋转60°到点的位置，求点的坐标．
解：（1）由题可得扇形面积为，又为，则，
则三角形面积为：，则弓形面积为：；
（2）设，则，又点B的横坐标为，且B在单位圆上，则，，
则，，
即；
（3）设，因延长线上一点为，
则，，得.
设与单位圆交于F，则，
因，.
又注意到，则，
即.
18. 如图所示，在平行四边形中，，记.
（1）用向量表示向量和；
（2）若，且，求.
解：（1）由向量加法的平行四边形法则得，
又，所以，所以，
解得.
.
（2）因为，，
所以①，
又②，
联立①②解得，，
所以.
19. 已知向量，，函数．
（1）求函数的解析式，并求当时，的值域；
（2）若，且，求的值．
（3）将函数的图象横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，且图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围．
解：（1）
，
当时，则，所以，
所以的值域为.
（2）由（1），，即，
又，则，又，
所以，故，
所以，，
.
（3）由题意，可得，
，，所以，
且在上单调递增，在上单调递减，，，，
若函数在上恰有一个零点，即方程恰有一根，
所以的取值范围为.