贵州省毕节市2025届高三第四次适应性考试数学试卷（解析版）

这是一份贵州省毕节市2025届高三第四次适应性考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A=x∣x2-3x-4ln1=0，故命题①为真命题.
若x2=2，则x=±2，2和-2都是无理数，不存在有理数x使得x2=2，所以命题②为假命题.
令f(x)=lnx-x+1，x∈(0,+∞)，对f(x)求导，可得f'(x)=1x-1=1-xx.
令f'(x)=0，即1-xx=0，解得x=1.
当00，所以f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x>1时，1-x0，所以f'(x)0,b>0的左､右焦点分别为F1,F2，过F1作平行于y轴的直线交C于A,B两点，且AB=14,F2A=25，则C的离心率为（ ）
A．43B．32C．2D．3
【答案】A
【解析】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，左焦点F1(-c,0)，过F1作平行于y轴的直线交C于A、B两点，将x=-c代入双曲线方程x2a2-y2b2=1可得：(-c)2a2-y2b2=1，
即c2a2-1=y2b2，由c2=a2+b2，则c2a2-1=a2+b2a2-1=b2a2，所以y2b2=b2a2，解得y=±b2a.
则|AB|=2b2a=14，即b2=7a.
由双曲线定义知|F2A|-|F1A|=2a，因为|F1A|=b2a，|F2A|=25，所以25-b2a=2a.
将b2=7a代入25-b2a=2a可得：25-7aa=2a，解得a=9.
因为b2=7a=7×9=63，又c2=a2+b2，所以c2=92+63=81+63=144，则c=12.
根据离心率公式e=ca，可得e=129=43.
所以双曲线C的离心率为43.
故选：A.
7．在△ABC中，sinA=35,tanB=1，则tanA+B=（ ）
A．7B．17C．17或7D．74
【答案】A
【解析】因为tanB=1,00恒成立，所以fx在区间-4a,+∞上单调递增，
所以当x=0时，函数fx取得极大值，f0=03+6a×02-2=-20恒成立，所以fx在区间-∞,-4a上单调递增，
当x∈-4a,0时，f'x≤0恒成立，所以fx在区间-4a,0上单调递减，
当x∈0,+∞时，f'x>0恒成立，所以fx在区间0,+∞上单调递增，
所以，x=0是函数fx的极小值点，故C错误；
对于D，当a=0时，函数fx=x3-2，曲线y=fx-1=x-13-2，
因为y=x3的对称中心为0,0，曲线y=fx-1=x-13-2的图像可由y=x3的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到，
根据函数图像的平移性质，曲线y=fx-1的对称中心为1,-2，故D正确.
故选：AD.
11．设抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过点F作一直线交C于Mx1,y1，Nx2,y2两点，过点M作C的准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A．以线段MN为直径的圆与l有且只有一个公共点
B．若p=2，则y1y2=-4
C．若p=2，直线MN的斜率为33，则MN=15
D．若cs∠DMF=45，则直线FD的斜率为±3
【答案】ABD
【解析】对于A，设MN的中点为P，分别过点N,P作准线l的垂线，垂足为E,P'，
根据抛物线的定义，MD=MF，NE=NF，
所以PP'=12MD+NE=12MF+NF=12MN，
所以以MN为直径的圆的圆心P到准线l的距离等于圆的半径，
则MN为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点，故A正确；
对于BC，当p=2时，抛物线C:y2=4x，则F1,0，准线l:x=-1，
设直线MN的方程为x=my+1，
联立x=my+1y2=4x，得y2-4my-4=0，
则Δ=16m2+16>0，y1+y2=4m,y1y2=-4，故B正确，
当直线MN的斜率为33时，m=3，
则直线MN的方程为x=3y+1，且y1+y2=43，
则x1+x2=3y1+1+3y2+1=3y1+y2+2=14，
所以MN=x1+x2+p=14+2=16，故C错误；
对于D，过点M作MQ⊥x轴，垂足为Q，连接FD，则Qx1,0，
因为cs∠DMF=45，D-p2,y1，Fp2,0，
所以cs∠MFQ=FQMF=FQMD=x1-p2x1+p2=45，即x1=9p2，
又y12=2px1=9p2，则y1=±3p，
则kFD=y1-p2-p2=-y1p=±3，故D正确.
三、填空题
12．已知函数fx=lga2x+1(a>0且a≠1)，若f7-f2=2，则a= ．
【答案】3
【解析】因为fx=lga2x+1，
由f7-f2=2可得lga15-lga5=lga3=2，
即a2=3，又a>0，所以a=3.
故答案为：3
13．三棱锥A-BCD中，AB⊥底面BCD,AB=2,BC=2,∠BDC=π4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 ．
【答案】8π
【解析】作出图形示意图如下：设△BCD外接圆的圆心为E，
因为BC=2,∠BDC=π4，
所以△BCD的外接圆的半径为BE=BC2sin∠BDC=BC2sinπ4=22×22=1，
设三棱锥A-BCD的外接球的球心为O，
又因为AB⊥底面BCD,AB=2，
所以三棱锥A-BCD的外接球的半径OB=OE2+BE2=AB22+BE2=12+12=2，
所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为4πOB2=8π.
故答案为：8π.
14．在如图的5×5方格中选5个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法（用数字作答），在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的5个数之和的最大值是 ．
【答案】120；166
【解析】第一步，从第一行任选一个数，共有5种不同的选法，
第二步，从第二行任选一个与第一个数不同列的数，共有4种不同的选法，
第三步，从第三行中选一个与第一，二个数不同列的数，共有3种选法，
第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，共有2种选法，
第五步，从第五行中选一个与第一、二，三，四个数不同列的数，只有1种选法，
由分步乘法计数原理可知共有5×4×3×2×1=120种不同的选法；
先按行分析，每行必选出一个数，所以所选5个数的十位数字分别为1，2，3，4，5，
再按列分析，第一、二、三、四，五列个位上的数字的最大值分别为2，3，3，5，4，
所以从第一行选13，从第二行选25，从第三行选32，从第四行选43，从第五行选53，
此时个位上的数字之和最大，所以选中方格中的5个数之和的最大值为13+25+32+43+53=166.
故答案为：120；166.
四、解答题
15．近年来，我国大学生毕业人数呈逐渐上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市四所大学2024年毕业生人数x及自主创业人数y（单位：千人），得到下表：
（1）已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；
（2）若A大学的毕业生中小强､小华选择自主创业的概率分别为35,23，求小强､小华至少有一人选择自主创业的概率．
参考公式：b=n∑i=1xi-xyi-yn∑i=1xi-x2=n∑i=1xiyi-nxyn∑i=1xi2-nx2,a=y-bx.
解：（1）由题意知x=4,y=0.4
∴i=14xi-xyi-y=1.4,i=14xi-x2=10
∴b=4∑i=1xi-xyi-y4∑i=1xi-x2=1.410=0.14
a=y-bx=0.4-0.14×4=-0.16
∴y关于x的经验回归方程为：y=0.14x-0.16
（2）设小强､小华选择自主创业的概率分别为p1,p2
∵p1=35,p2=23
∴小强､小华两人都没有选择自主创业的概率为
p3=1-p11-p2=1-351-23=215
∴小强､小华至少有一人选择自主创业的概率p=1-p3=1315．
16．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，O是AC与BD的交点，AA1=23,∠A1AO=∠BAD=60∘，∠A1AB=∠A1AD．
（1）证明：BD⊥平面A1AO；
（2）求直线AA1与平面A1BC所成角的正弦值．
（1）证明：连接A1D,∵底面ABCD是菱形，O是AC与BD的交点,
∴AC⊥BD，即AO⊥BD，且O是AC与BD的中点,
又∵AB=AD,∠A1AB=∠A1AD,A1A=A1A,
∴△A1AB≌△A1AD,∴A1B=A1D,
∴A1O⊥BD,
∵AO⊥BD,AO∩A1O=O，
AO⊂平面A1AO,A1O⊂平面A1AO，
∴BD⊥平面A1AO.
（2）解：∵AB=AD=2,∠BAD=60∘,O为BD的中点，所以AO=3
又∵AA1=23,∠A1AO=60∘，由余弦定理可得A1O=232+32-2×23×3×12=3，
∴AA12=AO2+A1O2，即A1O⊥AO，
∵A1O⊥BD,AO∩BD=O,AO⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD，
∴A1O⊥底面ABCD，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A3,0,0,B0,1,0,C-3,0,0,A10,0,3，
CB=3,1,0,CA1=3,0,3,AA1=-3,0,3，
设平面A1BC的法向量n=x,y,z，
n⋅CB=3x+y=0，n⋅CA1=3x+3z=0，
令x=3，则y=-3,z=-1，
即n=3,-3,-1，
cs〈n,AA1〉=-3-313×12=-3913．
记AA1与平面A1BC所成角为θ，则sinθ=cs〈n,AA1〉=3913,
即AA1与平面A1BC所成角的正弦值为3913.
17．已知函数fx=12x2+2a-1x-2alnxa>0．
（1）当a=12时，求曲线y=fx在点2,f2处的切线方程；
（2）若fx≥a22-3恒成立，求a的取值范围．
解：（1）当a=12时，fx=12x2-lnx，
而f2=2-ln2，则切点坐标为2,2-ln2，
易得f'x=x-1x，得到切线斜率为f'2=32，
故曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为y-2-ln2=32x-2，
即3x-2y-2-2ln2=0.
（2）由题意得fx的定义域为x∈0,+∞，
且f'x=x+2a-1-2ax=x+2ax-1x，
而a>0，令f'x>0，x∈1,+∞，令f'x0，∴0b>0
∴a=2,c=1,b=1
∴点P的轨迹方程C:x22+y2=1；
（2）证明：∵kF2M0=22-2=-2，线段F2M0的中点N0,2，
∴线段F2M的垂直平分线方程为：y-2=22x，
即x-2y+2=0，
联立x-2y+2=0x22+y2=1得：2y2-22y+1=0，
∵Δ=(-22)2-4×2=0，
∴线段F2M0的垂直平分线与C恰有一个公共点；
（3）证明：如图所示：
设线段F2M的垂直平分线与C公共点为P，连接MP,PF1,PF2，
∴MP=PF2，∴MP+PF1=PF2+PF1=2a=22，
假设M,P,F1三点不共线，连接MF1交F2M的垂直平分线为点H，则点H在椭圆外，
连接HF2，则MH=HF2，∴MF1=MH+HF1=HF2+HF1>2a=22，
这与22=MP+PF1>MF1>22矛盾，
∴假设不成立，即M,P,F1三点共线，
∴M的轨迹为以F1-1,0为圆心，22为半径的一个圆，
∴所求圆的方程为(x+1)2+y2=8.
19．中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了“垛积术”的算法．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就1个乒乓球；第2,3,4,⋯堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．记第n堆的乒乓球总数为fn．
（1）求f2,f3,f4；
（2）求fn的表达式；
（3）数列an满足a1=1,n(an+1-an)=2an+n(n+1)(n+2)6f(n)(n+3)，求an的通项公式．
参考公式：12+22+32+42+⋯+n2=nn+12n+16．
解：（1）依题意，f(2)=1+3=3,f(3)=1+3+6=10,f(4)=1+3+6+10=20.
（2）依题意，f(1)=1，f(2)-f(1)=1+2，f(3)-f(2)=1+2+3，…，
f(n)-f(n-1)=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=12(n2+n)(n≥2)，
累加得f(n)-f(1)=22+32+⋯+n22+2+3+⋯+n2，
f(n)=12+22+32+⋯+n22+1+2+3+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)12+n(n+1)4=16n(n+1)(n+2)，
而f(1)=1满足上式，所以f(n)=16n(n+1)(n+2).
（3）由a1=1,n(an+1-an)=2an+n(n+1)(n+2)6f(n)(n+3)及（2）得nan+1-(n+2)an=1n+3
则an+1(n+1)(n+2)-ann(n+1)=1n(n+1)(n+2)(n+3) =13[1n(n+1)(n+2)-1(n+1)(n+2)(n+3)]，
当n≥2时，ann(n+1)-an-1(n-1)n=13[1(n-1)n(n+1)-1n(n+1)(n+2)]，
由累加法得ann(n+1)-12=13[16-1n(n+1)(n+2)]，解得an=59n(n+1)-13(n+2)，
而a1=1满足上式，所以an=59n(n+1)-13(n+2).