2025年中考数学专题复习练习专题06 全等、等腰及相似有关解答题的模型构建(6大类型)(原卷版)

这是一份2025年中考数学专题复习练习专题06 全等、等腰及相似有关解答题的模型构建(6大类型)(原卷版)，共23页。试卷主要包含了三角形全等的判定及应用，1cm，sin80°=0等内容，欢迎下载使用。

1.三角形全等的判定及应用
（1）全等三角形的定义：
全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（2）全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形对应角相等。
（3）全等三角形的判定：
（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）
三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
等腰三角形的性质与判定
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
等边三角形的性质与判定
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
等边三角形的判定：
由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4 三角形相似的判定及综合应用
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
5 三角形折叠问题探究
6 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
该模型重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
（1）手拉手模型：
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
（2）半角模型：
半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
模型特征：等线段，共端点，含半角
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
模型01 全等三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。
答｜题｜技｜巧
解决全等三角形的问题认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系。在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数．
1．（2025·陕西西安·二模）如图，E是AB上一点，AB=DE，CB=CE，EC平分∠BED，求证：∠D=∠A．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图；在△ABC中，延长BA到点D，过点D作DE∥AC，连接BE，AB=DE, AC=DB，求证：EB=BC．
3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E．使得AE=AC．在边AC上截取AF=AB，连结EF．
(1)求∠EAF的度数．
(2)求证：EF=BC．
4．（2024·广东揭阳·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AD=CD，点E，F分别是AB，BC上的点，连接DE，DF，EF，且∠ADF=∠CDE．
(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)若DE=2AE=4，DE∥BC，求BC的长．
模型02等腰三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
等腰三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合 在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用等腰三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等腰三角形来解决有关三角形的线段和角的问题
答｜题｜技｜巧
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
如图，在Rt△ABC中，AC=BC=32，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．

(1)求证：△CAD≌△CBE；
(2)若AD=2时，求CE的长；
(3)点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
1．（2025·陕西西安·一模）如图，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°．求证：△BAE≌△CAD．
2．（2025·上海松江·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E．AF∥BC，交BE的延长线于点F．
(1)求证：AEAF=CDAC；
(2)求证：2AB⋅AD=BF⋅BC．
3．（2025·上海松江·一模）如图，在△ABC中，∠B=60°，BC=6，S△ABC=63．
(1)求AB的长；
(2)在BC边上取一点D，使CD=2，连接AD，求∠CAD的正切值．
4．（2025·上海崇明·一模）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB，垂足为D，点F是线段CD上一点（不与C、D重合），过点B作BE⊥AF交AF的延长线于点E,AE与BC交于点H，连接CE．

(1)求证：AHCH=BHEH；
(2)当CE∥AB时，求CE的长；
(3)当△CFH是等腰三角形时，求CH的长．
模型03等边三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
等边三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合 在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等边三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用等边三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等边三角形来解决有关三角形的线段和角的问题
答｜题｜技｜巧
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD=CE，BE与AD交于点F．求证：AD=BE．
1．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在△ABC中，点E在BA的延长线上，AE=AC，∠BAD=∠EAC，∠ACB=∠AED．
(1)求证：AB=AD；
(2)若AC平分∠DAE，AB=2，求BD的长．
2．（2023·浙江宁波·一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化（包含20°和160°），AD=40cm．
(1)当∠ADC=120°时，求此时BD的长；
(2)当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm？（精确到0.1cm，sin80°=0.98，cs80°=0.17，tan80°=5.67）
3．（2023·贵州黔东南·一模）问题提出：
已知：在△ABC中，BC=a,AC=b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题：
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=____________；
问题探究：
（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=____________；
问题拓展：
（3）如图3，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数．
4．（2024·贵州黔东南·二模）如图， 等边三角形ABC的边长为2，BD是AC边的中线， 点E在线段BD上， 连接AE，将AE绕点A逆时针旋转 60°得到线段AF， 连接CF．
(1)【动手操作】
在图①中画出线段AF，CF，并写出一对全等的三角形： ；
(2)【问题探究】
如图②，若点E从点 B 运动到点 D，试探究点F的运动路径并求出它的长度；
(3)【拓展延伸】
连接DF，在（2）的条件下，试求 △ADF周长的最小值．
模型04相似三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。解这类问题的关键是熟练应用三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似。解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方程思想的应用．
答｜题｜技｜巧
相似三角形在求线段的长度和线段的比中经常使用，解决问题要分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1=∠ABC．
(1)求证：∠2=∠3；
(2)若∠4=45°．
①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；
②若BC=13，AD=5，求EF的长．
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥BD交BC于点E．
(1)求证：△CDE∽△CBD；
(2)若AB=2AD=6，求线段BE的长．
2．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
(1)求证：△ABO∽△BEO；
(2)若AB=10,AC=16，求OE的长．
3（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．

(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；
(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
4．（2024·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材78页的部分内容．
例 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G．求证：GECE=GDAD=13．
证明 连接ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
证明：连接ED，

【结论应用】
（1）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，D、E分别是边AB、BC的中点，CD、AE相交于点G．若GD=53，则BC=______．
（2）如图③，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC的中点，CD、AE相交于点G．过点G作GF∥BC交AB于点F，如果△ABC的面积是9，那么△DFG的面积是_____．
模型05三角形的翻折问题
考｜向｜预｜测
三角形的折叠问题在近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数较大。三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点进行解题。
答｜题｜技｜巧
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
【操作观察】
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．
折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C′始终落在AD上，点B的对应点为B′，折痕与AB，CD分别交于点M，N．
【解决问题】
(1)当点C′与点A重合时，求B′M的长；
(2)设直线B′C′与直线AB相交于点F，当∠AFC′=∠ADC时，求AC′的长．
1．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．
(1)求证：△EBC≌△FGC；
(2)若∠ECB=30°，∠A=120°，试判断△ECF的形状，并说明理由．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC=5，tanB=34，点D在边BC上，满足BD=3DC．动点P从点B出发，以每秒5个单位的速度沿折线B−A−C向终点C运动，且不与△ABC的顶点重合．把△BPD沿PD翻折，得到△B′PD．设点P的运动时间为tt>0．
(1)BC的长为______．
(2)求点P到BC的距离（用含t的代数式表示）．
(3)当B′D与等腰△ABC的腰垂直时，求t的值．
(4)当△BPD与△B′PD拼成的图形为三角形时，直接写出t的值．
3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）操作：如图①在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G，易知FG=GC．
探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF与GC相等吗？请说明理由．
拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，若AB=3，AD=4，则△AGD的周长为______．
4．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正△AND三角形纸片，其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图①、图②.
填一填，做一做：
(1)图①中阴影部分的周长为 .
(2)图①中， 若∠A′GN=80°， 则∠A′HD= °.
(3)图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对；
(4)如图②， 点A′落在边AD上， 若A′NA′D=2，则AGAH=
模型06三角形与旋转问题
考｜向｜预｜测
三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
答｜题｜技｜巧
在解决三角形与旋转问题时要找准旋转中心；确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；同时还要数形结合进行分析、解答
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
(1)如图1，当∠ACD=15°时，求∠BDE的度数；
(2)如图2，连接BE，当0°