湖南省2025届高三下学期第三次适应性考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省2025届高三下学期第三次适应性考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A=0,1,2，B=x∈Nx2-3x1，则g'x=xf'x-fxx2，
因为xf'x2lnx，得到flnxlnx>2=f33lnx>1，所以1x1，则fx2>fx1
【答案】ACD
【解析】对于选项A，令x=1,y=0，得到f1+f1=2f1=2f1f0，
又因为对任意非零实数x，fx>1，所以f0=1，故选项A正确，
对于选项B，令x=y=1，得f2+f0=2f1f1，由选项A知f0=1，
又f2=178，fx>0，得到f1=54，所以选项B错误，
对于选项C，令x=0，得到fy+f-y=2f0fy，又f0=1，得到f-y=fy，所以C正确，
对于选项D，因为x≠0时，fx>1，则fx+y+fx-y=2fxfy>2fy，所以fx+y-fy>fy-fx-y，
令y=kxk∈N*，即对任意的正整数k有fk+1x-fkx>fkx-fk-1x，
则fk+1x-fkx>fkx-fk-1x>⋯>fx-f0>0，
所以，对于任意正整数k，fk+1x>fkx成立，
对任意的m、n∈N*且m>n，则有fnx0，不合题意，
则0x0.
18．在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y（y≥0）到点F0,1的距离与到x轴的距离之差等于1，记动点P的轨迹为Γ.
（1）求轨迹Γ的方程；
（2）过直线l：x-2y-2=0上一点Q作轨迹Γ的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标；
（3）过点R0,4的动直线l'与轨迹Γ交于C，D两点，直线CF交轨迹Γ于另一点E，记△CDE，△CFR的面积分别为S1，S2，求S1⋅S2的最小值.
解：（1）根据两点距离公式，点Px,y到点F0,1的距离为x-02+y-12，
点P到x轴的距离为y，因为y≥0，所以y=y.
根据条件可得：x-02+y-12-y=1，
则x2+y-12=y+12，展开化简得：x2=4y.
所以轨迹Γ的方程为x2=4y.
（2）因为点Q在直线l:x-2y-2=0上，设Qx0,y0，则x0=2y0+2.
设Ax1,y1,Bx2,y2，对已求得的轨迹方程求导得：y'=x2.
则在点A处的切线方程为：y-y1=12x1x-x1，又y1=14x12.
所以切线方程可化为：y=12x1x-14x12.
因为点Q在切线上，所以y0=12x1x0-14x12①.
同理，在点B处的切线方程为：y=12x2x-14x22.
因为点Q在切线上，所以y0=12x2x0-14x22②.
由①②可知x1,x2是方程y0=12x0x-14x2的两个根，即14x2-12x0x+y0=0的两个根.
Δ=-12x02-4×14y0=14x02-2x0+4>0，
根据韦达定理：x1+x2=2x0,x1x2=4y0.
直线AB的方程为y-y1=y2-y1x2-x1x-x1，
又y2-y1=14x22-14x12=14x2+x1x2-x1，
所以y2-y1x2-x1=14x1+x2.
则直线AB的方程为y-14x12=14x1+x2x-x1，
展开得y=14x1+x2x-14x1x2.
将x1+x2=2x0,x1x2=4y0代入得y=12x0x-y0.
再把x0=2y0+2代入得：y=y0x-1+x.
令x-1=0x=y，解得x=1y=1，所以直线AB过定点1,1.
（3）设Cx3,y3,Dx4,y4,Ex5,y5，直线l'的方程为y=kx+4，
联立方程组y=kx+4x2=4y，得x2-4kx-16=0，
则Δ=-4k2-4×-16=16k2+64>0.
则x3+x4=4k,x3x4=-16.
直线CF的方程为y=y3-1x3x+1，
联立方程组y=y3-1x3x+1x2=4y，得x2-4y3-1x3x-4=0.
因为x3是该方程的一个根，设另一根为x5，
则x3x5=-4，即x5=-4x3.
点D到直线CF的距离为：
d=y3-1x3⋅x4-14x42+1y3-1x32+1=14x32-1x3⋅-16x3-14⋅162x32+114x32-1x32+1 =16-4x32x32-64x32+114x3+1x32=3+48x3214x3+1x3，
又△CDE的面积S1=12CE⋅d，△CFR的面积S1=12FR⋅x3，
则S1⋅S2=14CE⋅FR⋅d⋅x3.
又CE=x3-x52+y3-y52=x3+4x32+14x32-14⋅16x322，
所以：S1⋅S2=34⋅x3+4x32+14x32-14⋅16x322⋅3+48x3214x3+1x3⋅x3
=34·16+14x32-4x3214x3+1x32⋅3+48x32⋅x3
=34⋅x3+4x3⋅3+48x32⋅x3
=94⋅x32+4⋅1+16x32
=94⋅x32+41+16x32
=94⋅x32+64x32+20≥94⋅2x32⋅64x32+20=81，
当且仅当x3=±22时等号成立，所以S1⋅S2的最小值为81.
19．已知an是等差数列，且a2=3，a3+a5=14，数列bn是等比数列，其前n项和为Sn，且满足bn+1=λSn+1，其中λ≠-1.
（1）当λ=1时，求数列an与数列bn的通项公式；
（2）在（1）的条件下，设数列cn的前n项和为Tn，已知cn=an+2anan+1bn+1，证明：56≤Tn0），且dn+1-dn=-μ23bn，若对任意正整数i，j（i≠j），di-dj0，则Tn0，
所以{Tn}单调递增，Tn≥T1=1-13×2=56.
综上，56≤Tn