山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期中数学试卷（解析版）

这是一份山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期中数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了 二项式展开式中，系数最大值为， 质数等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果物体的运动函数为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）
A.米／秒B.米／秒
C.米／秒D.米／秒
【答案】D
【解析】由导数的概念可得，
因此，物体在秒末的瞬时速度是米／秒.
故选：D.
2. 从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是种.
故选：C.
3. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意包括基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，∴，故选：A．
4. 二项式展开式中，系数最大值为（ ）
A. 280B. 448C. 560D. 672
【答案】C
【解析】展开式通项公式为，且为整数，
要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项，
则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为，
故二项式展开式中，系数最大值为.
故选：C
5. 某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）
（附：，）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，，则，
所以，
，
因为，故小明属于等级.
故选：B.
6. 随机变量的可能取值为、、，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，，
则，，解得，，
故.
故选：C.
7. 质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组，
所以，，
所以
故选：B.
8. 对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对任意的，不等式恒成立，则，可得，
，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，则，
故对任意的，，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，故，解得，
即正实数的最大值为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（ ）
A. 都是合格品的抽法种数为
B. 恰有件不合格品的抽法种数为
C. 至少有件不合格品的抽法种数为
D. 至多有件不合格品的抽法种数为
【答案】BCD
【解析】某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中，
对于A选项，都是合格品的抽法种数为，A错；
对于B选项，恰有件不合格品的抽法种数为，B对；
对于C选项，至少有件不合格品即为：件不合格品件合格品、件不合格品件合格品，
抽法种数，C对；
对于D选项，至多有件不合格品，其反面是件合格品，抽法种数为，D对.
故选：BCD.
10. 已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（ ）
A. 在区间上是减函数B. 在区间上是增函数
C. 在时取极小值D. 在时取极小值
【答案】AD
【解析】结合图象可知，当时，，当时，，
当时，，
，因，
故当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
故在时取极大值，在时取极小值.
故选：AD.
11. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A. 2次传球后球在丙手上的概率是
B. 3次传球后球在乙手上的概率是
C. 3次传球后球在甲手上的概率是
D. n次传球后球在甲手上的概率是
【答案】ACD
【解析】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，
所以概率是，故A正确；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，
所以概率为，故B错误；
3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，
所以概率为，故C正确；
n次传球后球在甲手上的事件记为，
则有，
令，则于是得，
故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以即，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设随机变量服从正态分布，若，则______.
【答案】
【解析】因为随机变量服从正态分布，若，
则，解得.
故答案为：.
13. 已知函数，则______.
【答案】
【解析】因为，
则，
因此，.
故答案为：.
14. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.按照游戏规则当抽奖人选择了一个箱子后，主持人会打开了另外两个箱子中的一个空箱子，主持人只打开抽奖人选择之外的空箱子，当两个都是空箱子时，他随机选择其中一个打开.这时，主持人会给抽奖人一次重新选择的机会，抽奖人可以重新选择，也可以坚持原来的选择.甲、乙两人先后参加抽奖游戏，甲在抽奖过程中，当主持人给重新选择的机会时，甲重新选择了另一个箱子，乙在抽奖过程中，主持人给重新选择的机会时，乙坚持原来的选择.那么甲、乙两人都获得奖品的概率为______.
【答案】
【解析】首先，甲、乙获奖是相互独立的，设甲获得奖品为事件，乙获得奖品为事件，甲、乙都获得奖品为事件，则：.
对甲：当甲第一次抽奖抽到无奖品的箱子（概率为）时，重新选择必定中奖，
所以,
对乙：乙因为没有重新选择，所以乙只有在第一次选择时，选中有奖品的箱子，才能获得奖品，所以.
所以.
故答案为：
四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为.
（1）求的值；
（2）求展开式中项的系数.
解：（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，可得，
化简可得，求得.
（2）由于二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中项的系数为.
16. 在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率.
解：（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，
记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，
则，且、、彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
.
（2）由条件概率公式可得.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对，恒成立，求的取值范围．
解：（1）定义域为，，
当时，令，得或，令，得，
函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，令，得或，
令，得，
函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，恒成立，函数在单调递增.
综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是，无减区间.
（2）若函数，对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
当时，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，
即实数的取值范围为.
18. 某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀.
（1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
（2）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望.
解：（1）依题意，得，
解得，
则不低于90分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为.
（2）成纱在内的有人；
成缆在内的有人；
成绩在内的有20人；
故采用等比例分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，
在内的有5人，在内的有2人，
所以由题意可知，的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为：
故.
19. 已知函数.
（1）若时，曲线与直线相切，求实数的值；
（2）若是的极值点，函数有且仅有一个零点，设和为两个不相等的正数，且满足.
①求的取值范围；
②求证：.
解：（1）当时，，
设切点坐标为，
又，切线方程为，
又切线过点，
所以，整理得，
易知在上单调递增，且当时，，
所以当且仅当时成立，
所以，即所求实数的值为1
（2）①，
因为是的极值点，所以，解得，
经检验符合题意，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
作出函数的大致图象，如图所示，
函数有一个零点，即函数的图象有一个交点，
由图可知或，所以或；
②证明：当时，，
由，不妨设，
又，结合①，则，
要证，由，得，
即证，
令，则，
故在区间内单调递增，
所以，故，即，
综上.
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