2024—2025学年山东济宁高一下册期末考试数学试卷【含答案】

这是一份2024—2025学年山东济宁高一下册期末考试数学试卷【含答案】，共12页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A．11B．13C．16D．17
2．12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（ ）
A．3个都是正品B．至少有一个是次品
C．3个都是次品D．至少有一个是正品
3．已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（ ）
A．9B．C．12D．
7．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
8．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ）
A．高为2B．母线长为3
C．表面积为14πD．体积为π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．将样本容量为100的样本数据分为4组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．样本数据分布在内的频率为0.32
B．样本数据分布在内的频数为40
C．样本数据分布在内的频数为40
D．估计总体数据大约有分布在内
10．同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ）
A．事件A与事件B对立B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件C相互独立D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．动点的轨迹是一条线段
C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分．
13．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 .
14．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则 ，四边形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且，求与的夹角的余弦值．
16．（15分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85．
9
7
4
5
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数；
(2)从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．
17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.
18．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，，，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求BC．
19．（17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
(1)设，，求复向量与的模；
(2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号；
①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立；
(3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值．
答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．14． 2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1）因为，且，所以可设，，
所以，解得，
所以或．分
（2）因为，所以，所以，
又，所以，解得，
又，所以，
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
B
C
A
B
D
D
9
10
11
ABC
BC
ABD
又，
设与的夹角为，所以，
即与的夹角的余弦值为．分
16．（15分）
（1）由频率分布直方图可得：且，
解得，
甲离子残留百分比的中位数为.．分
（2）组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为，
组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7，
​​​​​​​所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为.．分
17．（15分）
（1）取的中点，连结，则四边形是正方形，

则，，所以，且
所以,所以，
因为平面平面，平面平面，PA在面PAB内，
所以平面；分
（2）

在上取点，使，连结，在上取点，使，
在上取点，使，连结，则，且，则，
即，且，
则四边形是平行四边形，所以，且，即，
则，所以四点四点共面，连结，
，因为，所以点三点共线，分
所以五点共面，即与平面交于点，
由（1）可知，平面，平面，
所以，且，，且平面，
所以平面，平面，所以，
且是等腰直角三角形，点为的中点，
所以，且，平面，
所以平面，
,
所以，
，，，
所以，即，
因为，所以，
设点到平面的距离为，则，
即，所以，
因为点是的中点，所以点到平面的距离也是，
若点到平面的距离为，则,
所以存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分点分
18．（17分）
（1）由可得，又故，
故分
设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即
，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，分
利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故分
19．（17分）
（1）因为，所以，
所以的模为；
因为，所以，
可得的模为；分
（2）①设实向量，，
则，，
而，
根据已知，当且仅当与平行时取等号，即，
所以，当且仅当时等号成立；分
②因为，所以，
由复数的三角不等式，
由，得，所以，
所以，
综上所知，
（3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式，
复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得，
根据题意，若复向量与平行，
则，
根据中等号成立的条件，
应有，
则，
结合，得，解得；
所以，所以．分