2024—2025学年吉林高一数学下册（7月）期末考试试题【含答案】

这是一份2024—2025学年吉林高一数学下册（7月）期末考试试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，1，36， 已知事件则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的共轭复数是（）
A. B.
C. D.
2. 已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（）
AB. C. D.
3. 如图，正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）
A. B. C. D.
4. 从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为（a，b），则为正整数的概率为（）
A. B. C. D.
5. 为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）班，高三（二）班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位:℃），
高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（单位:℃）
则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（）
A. 36.3，36.7B. 36.3，36.8C. 36.25，36.7D. 36.25，36.8
6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（）
Aα∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
7. 随着卡塔尔世界杯的举办，全民对足球的热爱程度有所提高，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了若干名球迷对足球“喜爱度”进行调查评分，把喜爱程度较高的按年龄分成5组，其中第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40），第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第四组与第五组共有150人，第二组中女性球迷有75人，则第二组中男性球迷的人数为（）
A. 140B. 120C. 100D. 80
8. 已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（）
A.
B. 在上的投影向量为
C. 与共线的单位向量的坐标为
D. 向量，夹角余弦值为
10. 已知事件则下列说法正确的是（）
A. 若则B. 若互斥，则
C若独立，则D. 若独立，则
11. 已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），，，，将沿DE折起，使得（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（）
A.
B. 点D到平面AMC的距离为
C. ∥平面ACD
D. 四面体ABCE的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆台的上，下底面半径分别为2和6，母线长为8.则该圆台的表面积为______.
13. 已知事件、互斥，，且，则_______.
14. 如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为______m.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知z是复数，z+1为纯虚数，的实部为2（i为虚数单位）.
（1）求复数z;
（2）求模.
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，且，求的面积．
17. 某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5 名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
18. 在四棱锥中，平面，，分别为，的中点，.
（1）求证:平面平面;
（2）求二面角的大小.
19. 国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
（1）某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17 个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
（2）小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；
（3）现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小.行政区
门类
个数
东城区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
3
C：古建筑及历史纪念建筑物
5
西城区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
丰台区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
1
海淀区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
房山区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
E：古遗址
1
昌平区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
F：古墓葬
1
数学试卷答案
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的共轭复数是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.
【详解】而的共轭复数是
故选：B.
2. 已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用单位向量的定义与向量数量积运算即可得解.
【详解】对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同，
所以不一定成立，故A错误；
对于B，，显然不一定成立，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
3. 如图，正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则，确定原图形的底和高，求出它的面积即可．
【详解】在直观图中，，
所以在原图中，如图，
所以原图形的面积是．
故选：C．
4. 从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为（a，b），则为正整数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用列举法利用古典概型计算即可.
【详解】从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为，共有20个基本事件，分别为，，
记“为正整数”为事件A，
所以事件A包含3个基本事件：，
故其概率为．
故选:A．
5. 为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）班，高三（二）班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位:℃），
高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（单位:℃）
则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（）
A. 36.3，36.7B. 36.3，36.8C. 36.25，36.7D. 36.25，36.8
【答案】B
【解析】
【分析】利用百分位数的定义进行求解.
【详解】，
故从小到大，选取第3个数据作为高三（一）班这组数据的第25百分位数，即36.3；
，故从小到大，选取第8个和第9个数据的平均数作为第80百分位数，
即.
故选：B．
6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
7. 随着卡塔尔世界杯的举办，全民对足球的热爱程度有所提高，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了若干名球迷对足球“喜爱度”进行调查评分，把喜爱程度较高的按年龄分成5组，其中第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40），第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第四组与第五组共有150人，第二组中女性球迷有75人，则第二组中男性球迷的人数为（）
A140B. 120C. 100D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】由频率分布直方图求出第四组与第五组的频率之和，即可求出样本容量，再求出第二组的人数，即可得解.
【详解】由题意结合频率分布直方图可得，第四组与第五组的频率之和为，
第二组频率为．
因第四组与第五组共有150人，所以样本容量，
所以第二组人数为，所以第二组中男性球迷人数为．
故选：C．
8. 已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理得到，由两边平方得，由基本不等式求出.
【详解】因为，所以，
由正弦定理得，可得，即，
所以，
又，则，
是的中点，，故，
两边平方得，
，故，
其中，故（当且仅当时符号成立），
解得．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（）
A.
B. 在上的投影向量为
C. 与共线的单位向量的坐标为
D. 向量，夹角的余弦值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据数量积的坐标公式即可判断A；根据投影向量的定义即可判断B；根据共线向量及单位向量的定义即可判断C；根据向量夹角的坐标公式即可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，在方向上的投影向量，故B错误；
对于C，与共线的单位向量为，即或，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：AD．
10. 已知事件则下列说法正确的是（）
A. 若则B. 若互斥，则
C. 若独立，则D. 若独立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用概率的性质及互斥事件和独立事件的概念,可以作出判断.
【详解】若，则，故A正确；
因为A，B互斥，所以，故B正确；
因为A，B独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故C错误；
因为A，B独立，所以，故D正确．
故选:ABD．
11. 已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），，，，将沿DE折起，使得（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（）
A
B. 点D到平面AMC的距离为
C. ∥平面ACD
D. 四面体ABCE的外接球表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：在图1中，过作，连接，易证平面，进而可得；对于B：到平面的距离即为到平面的距离，设点到平面的距离为，根据，求解即可；对于C：假设∥平面，从而得到平面∥平面，结合题意分析判断；对于D：连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球表面积即可.
【详解】对于选项A：在图1中，过作，如图所示：
，
因为，所以四边形是矩形，
因为，所以，
因为四边形是等腰梯形，，所以，
因为，所以.
连接，则，
因为，所以，得，则.
在图2中，
因为，，，平面，
所以平面，且平面，所以，
且，平面，所以平面，
由平面，可得，故A正确；
对于选项B：因为，可得，
所以，，
因为到平面的距离即为到平面的距离，
设点到平面的距离为，
由，可得，解得，故B正确；
对于选项C：假设∥平面，
因为∥，平面，平面，则平面，
又因为，平面，所以平面∥平面，
与已知条件矛盾，故C错误；
对于选项D：连接，如图所示：
因为，为直角三角形，且为的中点，
所以，即为四面体的外接球的球心，
所以四面体的外接球的半径为，
则四面体的外接球表面积为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆台的上，下底面半径分别为2和6，母线长为8.则该圆台的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆台的表面积公式即可求解.
【详解】由题意知该圆台的表面积为：．
故答案为：
13. 已知事件、互斥，，且，则_______.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】由已知事件、互斥，且，可求，
进而根据对立事件概率公式得到答案.
【详解】解：事件、互斥，且，
解得,
.
故答案为：.
14. 如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为______m.
【答案】
【解析】
【分析】过作于点，根据三角函数的定义，分别求得，和的长，再在中，由，结合两角差的正切公式，推出的长，然后由，求解即可．
【详解】过作于点，则四边形是矩形，
在中，，
所以，
在中，，，
所以，
所以，，
所以，
在中，
，
而，
所以，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知z是复数，z+1为纯虚数，的实部为2（i为虚数单位）.
（1）求复数z;
（2）求的模.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，由已知条件列方程求出即可；
（2）由复数的乘法化简，再由模长公式计算即可.
【小问1详解】
设，
由为纯虚数，则，得
由的实部为2，则，
所以；
【小问2详解】
，
．
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据正弦定理求出，再由，得；
（2）由已知条件及正弦定理得，根据余弦定理得，求出，最后根据面积公式计算即可.
【小问1详解】
因为，，
所以由正弦定理得,
，
又，所以，
又，
所以.
【小问2详解】
由，则，
故，，所以，
所以，
又，整理得，
则，
解得，
所以的面积为．
17. 某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5 名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
【答案】（1）71.5分；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布表求出，再求出样本平均数，并估计该校高一期中数学考试成绩的平均数.
（2）求出在和内抽取的人数，再用列举法求出概率即得.
【小问1详解】
由，得，
数学成绩在频率依次为：，
样本平均值为：，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计71.5分.
【小问2详解】
依题意，分数段内人数为，分数段内人数为，
按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽2人，记为，在分数段内抽3人，记为，
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件A，
则样本空间，共10个样本点，
而A的对立事件，有1个样本点，于是，
所以抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为.
18. 在四棱锥中，平面，，分别为，的中点，.
（1）求证:平面平面;
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由可得，利用和，可证平面，进而可得，再结合中位线得到，再利用，可得，进而得证平面，利用面面垂直判定得出结果.
（2）取的中点，连接，取的中点，连接，由题得平面，又，可得，进而是二面角的平面角，利用三角形中边长的关系即可得出结果.
【小问1详解】
，
，
平面平面，
又，
平面，
又在中，分别为中点，
故，
又，
又是中点，，
又
平面，平面，
∴平面平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，取的中点，连接，
由平面，可得平面，
又，可得，
因为是斜线在平面上的射影，
可得，
所以是二面角的平面角，
二面角的平面角与互补，
则在中，设，
由，
可得，
在直角三角形中，，
可得，
即有，
则二面角的大小为．
19. 国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
（1）某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17 个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
（2）小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；
（3）现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）应用古典概型计算；
（2）应用独立事件计算即可；
（3）应用互斥事件及独立事件计算即可；
【小问1详解】
设选中参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”为事件C，
由题意知总共有17个，“C:古建筑及历史纪念建筑物”有11，
所以；
【小问2详解】
设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B，由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，
所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为，
所以；
【小问3详解】
当抽到的2个都是海淀区的概率为，
当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为，
所以，
所以．
行政区
门类
个数
东城区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
3
C：古建筑及历史纪念建筑物
5
西城区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
丰台区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
1
海淀区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
房山区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
E：古遗址
1
昌平区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
F：古墓葬
1