吉林省吉林市第一中学2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省吉林市第一中学2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．若“，”为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆的半径为2，弦的长为，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
8．已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．当时，的最小值是5
B．在中，命题，命题，则命题是命题的充分不必要条件
C．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为
D．若函数是奇函数，函数为偶函数，则
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．若随机变量，且，则
B．一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为15
C．在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画模型的拟合效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
D．设随机事件，，已知事件发生的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为，在事件不发生的条件下事件发生的概率为，则事件发生的概率为
11．已知定义在上的函数满足，，且，则（ ）
A．的最小正周期为4B．
C．函数是奇函数D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，，则与向量同向的单位向量是 .
13．已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
14．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积是，，求的周长．
16．2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如下表：
其中，x（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，y（单位：百万元）是科技创新和市场开发后的收益.
(1)求相关系数r的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度；
(2)该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表：
是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？
(3)对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为X，求X的分布列及数学期望.
参考公式：①；
②，其中.
临界值表：
参考数据：.
17．已知函数．
(1)若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．某网络在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动．
(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为分，现要根据得分给共名参加者中得分前名发放奖励，
①假设该闯关活动平均分数为分，分以上共有人，已知甲的得分为分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．
附：若随机变量，则；；．
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ⅱ）若满足，求实数的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】由已知求解，化简集合N后再由交集运算得答案．
【详解】
∵集合，，
∴，又＝{0,1}，
∴()∩N＝{0,1}．
故选C．
2．【答案】D
【分析】先求共轭复数，再根据复数代数形式的除法运算化简复数即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选D.
3．【答案】C
【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案.
【详解】由题意得该命题的否定为真命题，
即“，”为真命题，
即，
令，因为，则，
则存在，使得成立，
令，令，则（负舍），
则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，则.
故选C.
4．【答案】A
【分析】对求导，讨论的范围判断的符号确定的单调性，即可确定大致图象.
【详解】由解析式知，
所以时，单调递增；或时，单调递减.
结合各选项易知A符合要求.
故选A.
5．【答案】B
【分析】写出二项式展开式的通项，令的指数为0，进而可得结果.
【详解】的展开式的通项，
令得，因为，所以当时，有最小值3，
故选B.
6．【答案】B
【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离后得到在上有解，利用配方求出，得到实数的取值范围.
【详解】的定义域为，
由题意得在上有解，
即在上有解，
其中，
故，故实数的取值范围是.
故选B.
7．【答案】B
【分析】根据题意作出图形，可求出与的夹角，再利用平面向量的数量积，从而求解.
【详解】如图，设的中点为，连接，则.由，
，得，所以，，所以，
所以，所以，
所以.
故选B.

8．【答案】B
【分析】先利用导函数得出函数在上单调递增，将关于的方程有两个不等实根转化为关于的方程有两个不等实根；再数形结合得出，；最后构造函数，并利用导数求出该函数的最大值即可.
【详解】由,
可得函数的定义域为，，
所以函数在上单调递增.
令.
因为关于的方程有两个不等实根，，
则关于的方程有两个不等实根，.
作出函数的图象，如图所示：
.
所以结合图形可知.
由，可得，，
解得，即有.
设，
则.
令，得；令，得，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以.
故选B.
9．【答案】ACD
【分析】由基本不等式即可判断A；由即可判断B；由投影向量的概念即可判断C；由函数奇偶性的定义即可判断D.
【详解】当时，，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是5，故A正确；
在中，，
所以命题是命题的充要条件，故B错误；
因为向量，
所以向量在向量方向上的投影向量为，故C正确；
因为函数为偶函数，所以，
又因为函数是奇函数，所以，即，
所以，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】AD
【分析】利用正态分布中概率的计算判断A；由百分位数的计算判断B；根据回归分析中决定系数的利用判断C；由乘法公式和全概率公式判断D.
【详解】对于A：因为，且，所以，故A正确；
对于B：数据共有9个数，，所以第70百分位数是第7个数16，故B错误；
对于C：在一元线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越差，故C错误；
对于D：， 所以，
又因为，则，
所以，故D正确．
故选AD．
11．【答案】AB
【分析】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D.
【详解】对于A：因为，
所以，，
所以，故的最小正周期为4，故A正确；
对于B：因为，
令，则，
所以，
由A可知，，故B正确；
对于C：因为，①
令，则，
所以，
所以，②
由①②，所以，即，故为奇函数，
若函数是奇函数，则，
所以，即，
所以，
所以的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；
对于D：因为为奇函数，且，所以，
又因为的最小正周期为4，所以，
因为，
所以，，
所以，
，
以此类推，
所以，故D错误.
故选AB.
【方法总结】
设函数，，，
（1）若，则函数的周期为；
（2）若，则函数的周期为；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为；
（5）若，则函数的周期为.
12．【答案】
【分析】先求出向量的坐标，然后计算与向量同向的单位向量即可.
【详解】因为,
所以,
所以与向量同向的单位向量为.
13．【答案】
【分析】根据题意可得命题：，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，即可得到答案.
【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是
故答案为：.
14．【答案】
【分析】第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解.
【详解】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种，
其中甲、乙参加同一项目的方案种，
则所求的参赛方案一共有种；
因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，
则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案，
若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，
故总共有种不同的方案；
若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，
故共有种不同的方案；
同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案；
乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案.
所以.
【关键点拨】本题第二空解题的关键是分类讨论事件对应的情况，做到不缺不漏，从而得解.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求解；
（2）利用面积公式、余弦定理运算求解.
【详解】（1）由，可得到，
即．
因为，所以，故．
（2）由，可得，
因为，所以，则．
由余弦定理得，即，
所以，故的周长是．
16．【答案】(1)0.84，科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性
(2)有
(3)分布列见详解，
【分析】（1）求出，，，可得及答案；
（2）计算出，与临界值比较可得答案；
（3）求出X的可能取值及对应概率，可得分布列和期望.
【详解】（1）由题意可得，，
，
，
∴.
∴“科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）由题意：
∴，
∴有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）易知9人中满意的有5人，不满意的有4人
由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
；
；
；
；
，
∴X的分布列为：
.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求的定义域及其导函数，并由当时，，当时，，求的单调区间及极值点，由此可解得的取值范围；
（2）由得时，，令，求，令，求，并根据为上的单调性求的最小值及实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，．
令，得．
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以为的极大值点，所以，
故，即正实数的取值范围为．
（2）当时，恒成立，令，
则
令，则，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以为上的单调递增函数，所以，故．
故实数的取值范围为．
18．【答案】(1)
(2)①能，理由见详解；②乙所说为假
【分析】（1）利用独立事件的概率公式，结合甲闯关的可能情况求解即可；
（2）①利用正态分布的对称性及法则，求得前名参赛者的最低得分即可判断；
②假设乙所说为真，利用正态分布的对称性及法则，证得丙的分数为分是小概率事件，从而得以判断.
【详解】（1）设：第次通过第一关，：第次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为，
由题意知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为．
①由题意可知，
因为，且，
所以，则；
而，且，
所以前名参赛者的最低得分高于，
而甲的得分为分，所以甲能够获得奖励；
②假设乙所说为真，则，
，
而，所以，
从而，
而，
所以为小概率事件，即丙的分数为分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假．
19．【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）；（ⅱ）.
【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可.
（2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可；
（ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是.
（2）（ⅰ）由，得，令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是.
（ⅱ）由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，，
由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以a的最大值是.
【思路导引】已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．x
1
2
3
4
5
y
9
11
14
26
20
满意
不满意
总计
男
45
10
55
女
25
20
45
总计
70
30
100
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
满意
不满意
总计
男
45
10
55
女
25
20
45
总计
70
30
100
X
0
1
2
3
4
P