广东省雷州市2025届高三数学上学期10月第一次模拟考试含解析

这是一份广东省雷州市2025届高三数学上学期10月第一次模拟考试含解析，共25页。试卷主要包含了诚信考试，拒绝舞弊等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
4.诚信考试，拒绝舞弊.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（ ）
A. B. C. D.
4. 函数零点的个数为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上投影恰好在直线AB上，则此时二面角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 在上是单调减函数D. 函数仅有一个零点
10. 已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（ ）
A. B. 的值域为
C. 在区间上单调递减D.
11. 如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则（ ）
A. 无论取何值，三棱锥的体积始终为
B. 若，则
C. 点到平面距离为
D. 若异面直线与所成的角的余弦值为．则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数为奇函数，则__________
13. 已知等差数列的前项和为，若，则______.
14. 设，求的最小值是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
（1）请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式(计算结果四舍五入精确到；
（2）在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟)．
参考数据：，，是自然对数的底数，
16. 已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
17 三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．

（1）证明：平面；
（2）求异面直线与DE的距离．
18. 已知直线，，，记，，．
（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；
（2）求证：不论m为何值，总有一个顶点为定点；
（3）求面积的取值范围可直接利用对勾函数的单调性
19. 已知函数是偶函数，是自然对数的底数，
（1）求的最小值
（2）当时，
（i）令，，求的值域
（ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值．2025届广东省省内两校十月第一次模拟
2024.10
命题人：客路中学 龙门中学 教研组
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
4.诚信考试，拒绝舞弊.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据指数函数单调性计算集合A,绝对值不等式化简得出集合B,再根据并集定义计算即得.
【详解】集合，
则，
故选:D．
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
3. 已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得直线的方程，代入点的坐标，可求的值.
【详解】因为直线在轴上的截距是1，所以过点，
又直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即直线方程为，
又直线过点，所以，解得．
故选：D.
4. 函数零点的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解.
【详解】解：由x+1>0x≠0，得函数的定义域为，
函数零点的个数零点个数，
即函数的图象和函数的图象的交点个数，
如图所示：
数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为．
故选:C．
5. 如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】.
故选：C.
6. 函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对，两边取对数，得，令gx=xlnx(x>0)，分析单调性，可求得最小值.
【详解】因为，两边取对数，可得，即，
令gx=xlnx(x>0)，则，
当时，，为减函数，
当时，g'x=lnx+1>0，增函数，
∴，
∴，y>e-1e，的最小值为，
故选：C.
【点睛】
7. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．
【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以．
故选：B．
8. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线AB上，则此时二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，作于，于，求得，，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值.
【详解】如图所示，作于，于.

在中，，，
在中，，
，
同理可得，，，
因为，
所以
，
又因为，
所以.
因为与的夹角即为二面角的大小，
所以二面角的余弦值为.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 在上是单调减函数D. 函数仅有一个零点
【答案】AD
【解析】
【分析】根据，求得，得到，求得的值，可得判定A正确；结合由，可得判定B不正确；结合和都是增函数，及为在上的奇函数，得出函数的单调性，可判定C不正确；结合和函数的单调性，得到仅有一个零点，可得判定D正确.
【详解】对于A中，因为为定义在上的奇函数，且当时，，
可得，解得，所以，
则，所以A正确；
对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，当时，，
因为函数和都是增函数，所以在是单调递增函数，
又因为为在上的奇函数，所以在也是递增函数，所以C不正确；
对于D中，由，且和是单调递增函数，
所以函数为定义在上仅有一个零点，所以D正确.
故选：AD.
10. 已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（ ）
A. B. 的值域为
C. 在区间上单调递减D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，根据函数过原点和无限接近直线可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，值域可判断，对于C，根据解析式判断函数的单调性，即可判断；对于D，根据对数函数性质，再根据函数的为偶函数可判断.
【详解】对于A，因为函数的图象经过原点，
所以，解得，则．
又因为函数无限接近直线但又不与该直线相交，
所以，则，故A错误．
对于B，则因为，
为偶函数．当时，，
所以函数的值域为，故B正确；
对于C，当时，，因为函数为减函数，
则函数在区间上单调递增，故C错误；
对于D，因为，根据函数为偶函数可得，故D正确.
故选:BD．
11. 如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则（ ）
A. 无论取何值，三棱锥的体积始终为
B 若，则
C. 点到平面的距离为
D. 若异面直线与所成的角的余弦值为．则
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；
对于B，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的数量积公式即可求解；
对于C，由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可求解；
对于D，由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线与的方向向量，再利用向量的夹角与线线角的关系即可求解；
【详解】对于A，因为正方体的棱长为，点分别为棱的中点,
所以,
在正方体中，平面，
由等体积法知，三棱锥=三棱锥=，
所以无论取何值，三棱锥的体积始终为，故A正确；
对于B,由题意可知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示
因为正方体的棱长为，
所以，，，，,
由，得，设，则
所以，
所以，所以，解得，
所以，
所以，
所以，故B正确；
对于C，由B选项建立的空间直角坐标系知，，，，
设，则，，
所以，所以，解得，所以，
所以，
设平面的法向量为，则
,即，令则，
所以，
所以点到平面的距离为，
由于无法确定，所以点到平面的距离无法确定，故C错误；
对于D,由B选项建立的空间直角坐标系知，，，,，，,
设，则，，
所以，所以，解得，所以，
所以，
因为异面直线与所成的角的余弦值为，则
，即，解得或（舍），故D错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数为奇函数，则__________
【答案】##
【解析】
【分析】先根据函数是奇函数关于原点对称得出,再应用奇函数的定义计算求出,计算即可求值.
【详解】由于函数的定义域满足 ，故定义域为 ，
根据奇函数的定义域关于原点对称可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
故 ，
故答案为： ．
13. 已知等差数列的前项和为，若，则______.
【答案】44
【解析】
【分析】利用通项公式，进行基本量代换求出，再利用前n项和公式和性质求出.
【详解】设公差为，有，可得，
有，.
故答案为：44
【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．
14. 设，求的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由配方化简可得d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值.
【详解】解：
，
即d可看作点和到直线上的点的距离之和，
作关于直线对称的点，
由题意得，解得
故，
则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
（1）请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式(计算结果四舍五入精确到；
（2）在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟)．
参考数据：，，是自然对数底数，
【答案】（1），；
（2）要等待约分钟
【解析】
【分析】（1）将给定数据代入函数模型，求出常数及对应的函数关系.
（2）由（1）中关系式，求出时的值.
【小问1详解】
依题意，，且当，时，，
则，，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，当时，，即，
整理得，解得，
王大爷要等待约分钟.
16. 已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用公式，即可求数列的通项公式；
（2）根据（1）的结果可知，再利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
因为，
所以当时，，
两式相减得：，即，
所以，
且符合，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，
所以
.
17. 三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．

（1）证明：平面；
（2）求异面直线与DE的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征可得，进而证得，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得、，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解.
【小问1详解】
三棱台中，，则，
有，得，所以，
又，所以在平面内，，有，
平面平面，所以平面．
【小问2详解】
已知平面平面ABC，平面平面，，
平面，所以平面，由平面，得，
又平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，由平面ABC，得.
以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．
则有，
，
因为，所以，
设向量，且满足：，
则有，令，
在的投影数量为，
异面直线与DE的距离.

18. 已知直线，，，记，，．
（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；
（2）求证：不论m为何值，总有一个顶点为定点；
（3）求面积的取值范围可直接利用对勾函数的单调性
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】当时，直线的方程为：，设原点关于直线的对称点为，利用 斜率与中点坐标公式列方程求解即可；
由题意可知，恒过点，即可证明．
由题可得与垂直，得到角C为直角，故，然后利用点到直线的距离公式得到，，再结合对勾函数的性质求解即可．
【详解】解：当时，直线 的方程为：，且斜率，
设原点关于直线 的对称点为 ，
则由 斜率与中点坐标公式列方程得：，
解得：，
故所求点的坐标为；
直线，
即恒过点，
，
即恒过点，
故，
故总有一个顶点为定点；
由条件可得与垂直，
故角C为直角，
，
等于点B到的距离，
由的方程联立可得，
，
等于点到直线距离，
，
三角形面积，
当时，有 有最大值；
当时，有最小值，
时，S取最大值，时S取最小值，
故面积的取值范围．
19. 已知函数是偶函数，是自然对数的底数，
（1）求的最小值
（2）当时，
（i）令，，求的值域
（ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由函数是偶函数，得到，再代入所求式子，表示为的二次函数求最值；
（2）（ⅰ）由条件可知，，求函数d的解析式，并判断函数的单调性，即可求解函数的值域；
（ⅱ）利用反证法进行证明.
【小问1详解】
函数的定义域为，根据偶函数的定义：
，f-x=fx，即，
即：上式对任意恒成立，这等价于．
，等号成立当且仅当，．
所以的最小值为．
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）可得：，由于，为偶函数，故只需考虑时，的值域，
，
，
令，，，
∴，单调递增，∴在上单调递增，
的值域为，，．
故的值域为．
（ⅱ）对于常数，令，为偶函数．
下面先证明一个结论：在上单调递增．
证明：
．
由(2)可得：为偶函数，在上单调递增，∴在上单调递增，
证毕．
对于，，且，
先证明：当取最大值时，，，，中最多只有一个，其余的数要么等于，要么等于．
用反证法，假如当取最大值时，，，，中存在两个数，，不妨设，
记，则，且，．
记，则，根据的单调性可知
，
在中，将，分别替换成，，
其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与取最大值相矛盾
∴：，，，中最多只有一个．
，，，中没有数字在区间时，，，，中的每一个数，要么等于，要么等于，
记，，，中等于的元素个数为，，，这与为整数矛盾
，，，中只有一个数字在区间时，不妨记为，记等于的数字个数为，
则等于的数字个数为，则．
即：，由于，，
又∵，∴，，
∴这1000个数为，其中有333个，个2．
．
【点睛】关键点点睛：关键1是根据偶函数的条件，得到，关键2是判断函数的单调性，关键3的利用反证法证明，，，中最多只有一个.