内蒙古乌海六中高一（下）期中数学试卷

这是一份内蒙古乌海六中高一（下）期中数学试卷，共41页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）（2+2i）（3﹣2i）＝（ ）
A．﹣10+2iB．﹣10﹣2iC．10+2iD．10﹣2i
2．（5分）向量a→=（2，1），b→=（1，x），若a→⊥b→，则（ ）
A．x=12B．x=−12C．x＝2D．x＝﹣2
3．（5分）若实数a，b满足a+bi＝i（1﹣i），则a+b＝（ ）
A．2B．﹣2C．1
4．（5分）一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（ ）
A．163πB．323πC．16πD．24π
5．（5分）已知△ABC中，BC＝4，AC=43，∠A＝30°，则∠B＝（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
6．（5分）灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格．杰斯决定更换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为10cm，下底半径为18cm，母线长为17cm，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（ ）
A．969πcm2B．952πcm2C．864πcm2D．476πcm2
7．（5分）如图，在△ABC中，设AB→=a→，AC→=b→，BD→=2DC→，AE→=4ED→，则BE→=（ ）
A．1115a→−815b→B．23a→−815b→
C．−1115a→+815b→D．−23a→+815b→
8．（5分）已知复数z满足|z+i|＝|z﹣i|，则|z+1+2i|的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
二、多选题（每小题5分：全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.共4题，共20分）
（多选）9．（5分）下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．正四棱柱都是长方体
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
（多选）10．（5分）下列说法中错误的是（ ）
A．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
B．若a→，b→为单位向量，则a→=b→
C．AB→+BA→=0→
D．对于两个非零向量a→，b→，若|a→+b→|=|a→−b→|，则a→⊥b→
（多选）11．（5分）若复数z满足（﹣1+i）•z＝1+5i（i是虚数单位），则下列说法错误的是（ ）
A．z的虚部为﹣3i
B．z的模为13
C．z的共轭复数为3﹣2i
D．z在复平面内对应的点位于第四象
（多选）12．（5分）如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC的周长是4+42
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若z＝1+i3+i5+i7，则z= ．
14．（5分）已知向量a→，b→不共线，且向量a→+λb→与(λ−1)a→+2b→共线，则实数λ的值为 ．
15．（5分）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm，24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 ．
16．（5分）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则AD→⋅BE→= ．
四､解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）实数m分别取什么数值时，复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i：
（1）是纯虚数；
（2）对应的点在实轴上方．
18．（12分）已知|a→|＝4，|b→|＝2，且a→与b→夹角为120°，求：
（1）|a→+b→|；
（2）a→与a→+b→的夹角．
19．（12分）如图，在△ABC中，B=π6，D是BC边上一点，AD＝42，CD＝7，AC＝5．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的长．
20．（12分）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知圆锥部分的高为2.5米，圆柱部分的高为10米，底面圆的半径为5米．
（1）求该粮仓体积；
（2）已知修建该粮仓的顶部每平米需要200元，侧面每平米150元，求修建该粮仓的费用．
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2A+sin2C＝sin2B+sinAsinC．
（1）求角B；
（2）若a＝2，△ABC的面积为3+32，求c．
22．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m→=(csA，csB)，n→=(a，2c−b)，且m→∥n→．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，求周长的最大值．
内蒙古乌海六中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共4小题）
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1．（5分）（2+2i）（3﹣2i）＝（ ）
A．﹣10+2iB．﹣10﹣2iC．10+2iD．10﹣2i
【考点】复数的乘法及乘方运算．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简求解即可．
【解答】解：（2+2i）（3﹣2i）＝6﹣4i+6i﹣4i2＝10+2i．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2．（5分）向量a→=（2，1），b→=（1，x），若a→⊥b→，则（ ）
A．x=12B．x=−12C．x＝2D．x＝﹣2
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
【解答】解：由于向量a→=（2，1），b→=（1，x），且a→⊥b→，则2+x＝0，解得x＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3．（5分）若实数a，b满足a+bi＝i（1﹣i），则a+b＝（ ）
A．2B．﹣2C．1
【考点】复数的乘法及乘方运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】利用复数相等求出a，b即可．
【解答】解：因为a+bi＝i（1﹣i）＝1+i，
所以a＝1，b＝1，
所以a+b＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．
4．（5分）一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（ ）
A．163πB．323πC．16πD．24π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；直观想象；运算求解．
【答案】B
【分析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积．
【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2；那么这个球的体积为：4π3× 23=323π
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查球的表面积、体积的计算，考查计算能力，公式的应用，送分题．
5．（5分）已知△ABC中，BC＝4，AC=43，∠A＝30°，则∠B＝（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【考点】利用正弦定理解三角形．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：由于△ABC中，BC＝4，AC=43，∠A＝30°，
利用正弦定理：asinA=bsinB，
整理得sinB=32，
由于AC＞BC，
所以B＝60°或120°．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6．（5分）灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格．杰斯决定更换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为10cm，下底半径为18cm，母线长为17cm，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（ ）
A．969πcm2B．952πcm2C．864πcm2D．476πcm2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．
【专题】对应思想；定义法；立体几何；运算求解．
【答案】B
【分析】运用圆台的侧面积公式计算即可．
【解答】解：由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积S＝2π（10+18）×17＝952πcm2．
故选：B．
【点评】本题考查圆台的侧面积公式，属于中档题．
7．（5分）如图，在△ABC中，设AB→=a→，AC→=b→，BD→=2DC→，AE→=4ED→，则BE→=（ ）
A．1115a→−815b→B．23a→−815b→
C．−1115a→+815b→D．−23a→+815b→
【考点】平面向量的基本定理；平面向量的加减混合运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系，注意运算的准确性和向量倍数关系的正确转化．
【解答】解：因为BC→=AC→−AB→=b→−a→，BD→=2DC→，
所以BD→=23BC→=23(b→−a→)，AD→=AB→+BD→=23b→+13a→，
又因为AE→=4ED→，
所以DE→=15DA→=−15(23b→+13a→)=−215b→−115a→，
所以BE→=BD→+DE→=23(b→−a→)−215b→−115a→=−1115a→+815b→．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
8．（5分）已知复数z满足|z+i|＝|z﹣i|，则|z+1+2i|的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：设复数z在复平面内对应的点为Z，
∵复数z满足|z+i|＝|z﹣i|，
∴由复数的几何意义可知，点Z到点（0，﹣1）和（0，1）的距离相等，
∴在复平面内点Z的轨迹为x轴，
∵|z+1+2i|表示点Z到点（﹣1，﹣2）的距离，
∴|z+1+2i|的最小值为x轴上的动点Z到定点（﹣1，﹣2）距离的最小值，
∴|z+1+2i|的最小值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．
二、多选题（每小题5分：全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.共4题，共20分）
（多选）9．（5分）下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．正四棱柱都是长方体
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征．
【专题】对应思想；定义法；立体几何；直观想象．
【答案】CD
【分析】由正棱锥的定义判断选项A，由棱台的定义判断选项B，由正四棱柱的定义判断选项C，由圆锥的定义即可判断选项D．
【解答】解：正棱锥的结构特征是：底面是正多边形，顶点在底面的射影为底面的中心，故A错误；
由棱台的定义：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台，故B错误；
因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱是长方体，故C正确；
直角三角形以其直角边所在直线为轴，旋转一周形成的几何体是圆锥，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了正四棱柱、正棱锥、棱台以及圆锥的定义，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列说法中错误的是（ ）
A．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
B．若a→，b→为单位向量，则a→=b→
C．AB→+BA→=0→
D．对于两个非零向量a→，b→，若|a→+b→|=|a→−b→|，则a→⊥b→
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】利用共线向量、单位向量的意义判断AB；利用向量加法运算判断C；利用数量积的运算律判断D．
【解答】解：对于A，当b→=0→时，a→，c→不共线，也满足a→∥b→，b→∥c→，
A错误；
对于B，单位向量的方向是任意的，
即两个单位向量不一定相等，
B错误；
对于C，AB→+BA→=0→，
C正确；
对于D，由|a→+b→|=|a→−b→|两边平方，
得a→⋅b→=0，
而a→，b→均为非零向量，
则a→⊥b→，
D正确．
故选：AB．
【点评】本题考查了共线向量、单位向量的定义；重点考查了向量加法运算及数量积的运算律，属基础题．
（多选）11．（5分）若复数z满足（﹣1+i）•z＝1+5i（i是虚数单位），则下列说法错误的是（ ）
A．z的虚部为﹣3i
B．z的模为13
C．z的共轭复数为3﹣2i
D．z在复平面内对应的点位于第四象
【考点】复数的除法运算；复数对应复平面中的点；共轭复数．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】AC
【分析】先根据复数的除法运算求出复数z，再根据虚部的定义，复数的模的计算公式，共轭复数的定义及复数的几何意义逐一判断即可．
【解答】解：对于A，由（﹣1+i）•z＝1+5i，得z=1+5i−1+i=(1+5i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=4−6i2=2−3i，则z的虚部为﹣3，故A错误；
对于B，z的模为22+(−3)2=13，故B正确；
对于C，z的共轭复数为2+3i，故C错误；
对于D，z在复平面内对应的点为（2，﹣3），位于第四象限，故D正确．
故选：AC．
【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
（多选）12．（5分）如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC的周长是4+42
【考点】平面图形的直观图；斜二测法画直观图．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据已知，结合图形，利用斜二测画法的方法进行求解判断．
【解答】解：根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB，
因为O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，
则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：
所以△ABC的周长是4+42，面积是4，故A错误，C，D正确．
由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A'B'C'的面积的22倍，故B错误．
故选：CD．
【点评】本题主要考查平面的直观图，斜二测画法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若z＝1+i3+i5+i7，则z= 1+i ．
【考点】共轭复数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】1+i．
【分析】根据虚数单位的性质可得z＝1﹣i，结合共轭复数的定义分析求解．
【解答】解：＝1+i3+i5+i7＝1﹣i+i﹣i＝1﹣i，
所以z=1+i．
故答案为：1+i．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
14．（5分）已知向量a→，b→不共线，且向量a→+λb→与(λ−1)a→+2b→共线，则实数λ的值为 ﹣1或2 ．
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】﹣1或2．
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理及平面向量基本定理列式计算即得．
【解答】解：由向量a→，b→不共线，得a→+λb→不是零向量，
由向量a→+λb→与(λ−1)a→+2b→共线，得(λ−1)a→+2b→=t(a→+λb→)，t∈R，
即(λ−1)a→+2b→=ta→+λtb→，而向量a→，b→不共线，则λ−1=tλt=2，解得λ＝﹣1或λ＝2，
所以实数λ的值为﹣1或2．
故答案为：﹣1或2．
【点评】本题考查了共线向量和平面向量基本定理，是基础题．
15．（5分）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm，24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 148cm3 ．
【考点】棱台的体积．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】148cm3．
【分析】利用台体的体积公式直接计算即得．
【解答】解：依题意，该四棱台的上、下底面边长分别为8cm，6cm，而棱台的高为3cm，
所以该香料收纳罐的容积为13×3×(82+8×6+62)=148cm3．
故答案为：148cm3．
【点评】本题考查四棱台的体积的求解，属基础题．
16．（5分）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则AD→⋅BE→= −32 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】−32．
【分析】以BC→，BA→为基底，求出AD→，BE→，运用数量积定义和运算律解决问题．
【解答】解：已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，
则AD→=BD→−BA→=12BC→−BA→=12(BC→−2BA→)，BE→=12(BC→+BA→)，
且|BC→|=|BA→|=2，BC→⋅BA→=2×2×12=2，
所以AD→⋅BE→=12(BC→−2BA→)⋅[12(BC→+BA→)]=14(BC→2−BC→⋅BA→−2BA→2)=14(4−2−2×4)=−32．
故答案为：−32．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
四､解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）实数m分别取什么数值时，复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i：
（1）是纯虚数；
（2）对应的点在实轴上方．
【考点】纯虚数；复数的代数表示法及其几何意义；虚数单位i、复数．
【专题】转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0，求解即可得答案；
（2）根据复数z对应点在实轴上方可得m2﹣2m﹣15＞0，求解即可得答案．
【解答】解：（1）∵复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i是纯虚数，
∴m2+5m+6=0m2−2m−15≠0，解得m＝﹣2．
∴m＝﹣2时，复数z是纯虚数；
（2）由z的对应点在实轴上方，
得m2﹣2m﹣15＞0，解得m＜﹣3或m＞5．
∴m＜﹣3或m＞5时，复数z对应的点在实轴上方．
【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，是基础题．
18．（12分）已知|a→|＝4，|b→|＝2，且a→与b→夹角为120°，求：
（1）|a→+b→|；
（2）a→与a→+b→的夹角．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；平面向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，由数量积的计算公式可得|a→+b→|2=a→2+b→2+2a→•b→，代入数据计算可得答案；
（2）根据题意，设a→与a→+b→的夹角为θ，由数量积的计算公式可得csθ=a→⋅(a→+b→)|a→||a→+b→|=a→2+a→⋅b→|a→||a→+b→|，计算可得csθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，|a→|＝4，|b→|＝2，且a→与b→夹角为120°，则有a→•b→=2×4×cs120°＝﹣4，
则|a→+b→|2=a→2+b→2+2a→•b→=16+4+2×4×2×cs120°＝12，
则|a→+b→|＝23，
（2）根据题意，设a→与a→+b→的夹角为θ，
则csθ=a→⋅(a→+b→)|a→||a→+b→|=a→2+a→⋅b→|a→||a→+b→|=32，
又由0°≤θ≤180°，则θ＝30°；
故a→与a→+b→的夹角30°．
【点评】本题考查向量数量积的计算以及利用数量积求向量的夹角，关键是掌握向量数量积的计算公式，属于基础题．
19．（12分）如图，在△ABC中，B=π6，D是BC边上一点，AD＝42，CD＝7，AC＝5．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的长．
【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．
【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）π4．
（2）8．
【分析】（1）由已知利用余弦定理可得cs∠ADC=22，结合范围∠ADC∈（0，π），可求∠ADC的值．
（2）利用三角形的内角和定理可求∠ADB=3π4，在△ABD中，由正弦定理即可解得AB的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD＝42，CD＝7，AC＝5，
∴在△ACD中，由余弦定理可得：cs∠ADC=AD2+DC2−AC22AD×DC=32+49−252×7×42=22，
∵∠ADC∈（0，π），
∴∠ADC=π4．
（2）∵∠ADC=π4，
∴∠ADB=3π4，
∴在△ABD中，由正弦定理ABsin∠ADB=ADsin∠ABD，即ABsin3π4=42sinπ6，
解得AB＝8．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，属基础题．
20．（12分）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知圆锥部分的高为2.5米，圆柱部分的高为10米，底面圆的半径为5米．
（1）求该粮仓体积；
（2）已知修建该粮仓的顶部每平米需要200元，侧面每平米150元，求修建该粮仓的费用．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）1625π6立方米．
（2）（25005π+15000π）元．
【分析】（1）分别计算圆锥和圆柱的体积，再求和即可．
（2）计算圆锥和圆柱的侧面，再求修建粮仓的总费用．
【解答】解：（1）由题意知，底面圆的半径r＝5，圆柱高h1＝10，圆锥高h2＝2.5，
圆柱体积为V1＝πr2h1＝π×25×10＝250π，
圆锥的体积V2=13πr2h2=13π×25×2.5=125π6，
所以该粮仓的体积为V＝V1+V2＝250π+125π6=1625π6（立方米）．
（2）该粮仓的顶部是圆锥，圆锥侧面积为S圆锥侧＝πrl＝π×5×52+2.52=5π×552=255π2，
圆柱的侧面为S圆柱侧＝2πrl′＝2π×5×10＝100π，
所以修建该粮仓的费用为255π2×200+100π×150＝（25005π+15000π）（元）．
【点评】本题考查了圆柱与圆锥的表面积与体积计算问题，是基础题．
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2A+sin2C＝sin2B+sinAsinC．
（1）求角B；
（2）若a＝2，△ABC的面积为3+32，求c．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）B=π3；（2）c=1+3．
【分析】（1）根据正弦定理将角化边，结合余弦定理计算即可；
（2）结合（1）的结论及条件，利用S=12acsinB，列方程计算即可．
【解答】解：（1）由sin2A+sin2C＝sin2B+sinAsinC，
根据正弦定理化简可得a2+c2＝b2+ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=b2+ac−b22ac=12．
又0＜B＜π，得B=π3．
（2）由于△ABC面积为3+32，且a＝2，B=π3，
所以12×2×c×sinπ3=3+32，
解得c=1+3．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
22．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m→=(csA，csB)，n→=(a，2c−b)，且m→∥n→．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，求周长的最大值．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；解三角形；运算求解．
【答案】（1）A=π3；
（2）6．
【分析】（1）由共线向量的坐标表示表示，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式化简求得csA，由此可得A．
（2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得b+c=4sin(B+π6)，再利用正弦函数的性质求出最大值．．
【解答】解：（1）由m→∥n→，得（2c﹣b）csA＝acsB，由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）csA＝sinAcsB，
即2sinCcsA＝sinAcsB+csAsinB＝sin（A+B）＝sinC，
因为sinC≠0，则csA=12，
又A∈(0，π2)，A=π3．
（2）由正弦定理得：bsinB=csinC=232=433，则b=433sinB，c=433sinC，
b+c=433(sinB+sinC)=433[sinB+sin(π3+B)]=433(32sinB+32csB)=4sin(B+π6)，
由锐角△ABC，得0＜B＜π20＜2π3−B＜π2，即B∈(π6，π2)，B+π6∈(π3，2π3)，
因此sin(B+π6)∈(32，1]，当B=π3时，（b+c）max＝4，
所以△ABC周长的最大值为6．
【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式，辅助角公式，正弦函数性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
考点卡片
1．平面向量的平行向量（共线向量）
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE→平行的向量有（ ）
解：平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，
所以图中与AE→平行的向量有EB→，DF→，FC→，共3个．
2．平面向量的加减混合运算
【知识点的认识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量 叫做a→与b→的和，记作a→+b→，即a→+b→=AB→+BC→=AC→
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD→=AB→+BC→=AC→，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是AB→与AD→的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①a→+0→=0→+a→=a→；a→+（−a→）=0→；
②a→+b→=b→+a→；
③（a→+b→）+c→=a→+（b→+c→）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为a→与b→的差，即a→−b→=a→+（−b→）．
设a→=OA→，b→=OB→，则．即=OA→−OB→=OA→+(−OB→)=OA→+BO→=BO→+OA=BA→．即OA→−OB→=BA→
特征；有共同起点的两个向量a→、b→，其差a→−b→仍然是一个向量，叫做a→与b→的差向量，其起点是减向量b→的终点，终点是被减向量a→的终点．（减终指向被减终）
3．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→与b→和夹角为θ，则：
（1）a→⋅e→=e→⋅a→=|a→|csθ；
（2）a→⊥b→⇔a→⋅b→=0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→，b→方向相反时，a→⋅b→=−|a→||b→|；
特别地：a→⋅a→=|a→|2或|a→|=a→⋅a→（用于计算向量的模）
（4）csθ=a→⋅b→|a→||b→|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）|a→⋅b→|≤|a→||b→|
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a→⋅b→=b→⋅a→；
（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b→）=a→•（λb→）；
（3）分配律：（a→⋅b→）•c→≠a→•（b→⋅c→）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→−b→）（a→+b→）=a→2−b→2．③a→•（b→•c→）≠（a→•b→）•c→，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；
⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”，
即③错误；
∵|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；向量的数量积不满足消元律，故acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
4．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a→=λ1e1→+λ2e2→．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
5．数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：zz=3+i3−i=(3+i)2(3−i)(3+i)=2+23i4=12+32i=cs60°+isin60°．
∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
6．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→与b→垂直，有a→•b→=1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量( −35，45)垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵( −35，45)•（3，﹣4）=−95−165=−5，∴A不成立；
对于B：∵( −35，45)•（﹣4，3）=125+125=245，∴B不成立；
对于C：∵( −35，45)•（4，3）=−125+125=0，∴C成立；
对于D：∵( −35，45)•（4，﹣3）=−125−125=−245，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量( −35，45)和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
7．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
3．S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
8．利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
﹣
【解题方法点拨】
﹣应用正弦定理：用正弦定理解决三角形中的边长和角度问题，特别是在已知部分角和边的情况下．
﹣三角形的解法：在已知两个角和一个边，或两个边和一个角的情况下，利用正弦定理求解其他边和角．
【命题方向】
﹣正弦定理的应用：考查如何应用正弦定理解决涉及三角形的几何问题．
﹣三角形解的存在性：如何使用正弦定理判断三角形的解的存在性和唯一性．
△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，则b＝_____．
解：∵△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，
∴由正弦定理得，asinA=bsinB，
∴3sin30°=bsin60°，
解得b＝33．
9．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
10．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
②S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
③S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
11．虚数单位i、复数
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
12．纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．
【命题方向】
纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．
13．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z−z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且z≠0．
14．复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
【命题方向】
﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．
﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．
15．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
|Z|=|Z|；|Z1+Z2|=Z1+Z2；|Z1−Z2|=Z1−Z2；ZZ=|Z|2
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
16．复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
【解题方法点拨】
﹣直接计算：使用复数的分量进行乘法运算．
﹣极坐标形式：利用极坐标形式进行复数乘方运算，简化计算过程．
【命题方向】
﹣复数乘法运算：考查复数乘法及其性质．
﹣复数的乘方：如何使用复数的乘方运算解决问题，如幂运算和多项式根．
（3i﹣2）（i+4）﹣i＝_____．
解：依题意，（3i﹣2）（i+4）﹣i＝3i2+12i﹣2i﹣8﹣i＝﹣11+9i．
17．复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1z2=(a1+b1i)(a2−b2i)a22+b22．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
【命题方向】
﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．
﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．
i是虚数单位，2i1+i=_____．
解：2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i．
18．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
棱柱1．两个底面互相平行2．侧面都是四边形3．侧棱互相平行
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
19．棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
棱锥1．底面是多边形2．侧面是三角形
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥=13Sh．
20．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
棱台1．底面是多边形2．侧面是梯形3．两底面互相平行4．平行于底面的截面与底面相似
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台=13×(S+S′+S×S′)×ℎ．
21．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
22．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥=13Sh．
23．棱台的体积
【知识点的认识】
棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=13ℎ(B1+B2+B1B2)．
﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．
【命题方向】
﹣棱台的体积计算：考查如何根据两个底面面积和高度计算棱台的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱台体积计算．
24．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱1．有两个底面互相平行，且形状、大小一样的圆2．侧面为曲面，展开为矩形
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
V圆柱=πr2ℎS圆柱=2×πr2+2πrℎ=2πr(r+ℎ)
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
圆锥1．只有一个顶点，只有一个底面为圆2．侧面为曲面，展开为扇形
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
V圆锥=13πr2ℎS圆锥表面积=πr2+πrl=πr(r+l)
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
圆台1．上下底面平行，为半径不等的圆2．侧面展开图为一个扇环
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
V圆台=13πℎ(r2+R2+Rr)S圆台表面积=πr2+πR2+πrl+πRl=π(r2+R2+rl+Rl)．
25．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体=43πR3
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
26．平面图形的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．
2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
27．斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
B
D
B
C
B
题号
9
10
11
12
答案
CD
AB
AC
CD
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA=b2+c2−a22bc，
csB=a2+c2−b22ac，
csC=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A=b2+c2−a22bc，
cs B=a2+c2−b22ac，
cs C=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角