辽宁省营口市部分学校2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试卷（解析版）

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一、选择题
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、，不是最简二次根式，故此选项错误；
C、，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、是最简二次根式，故此选项正确．
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C正确，符合题意；
D、，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
3. 如图，边长为1的正方形网格图中，点都在格点上，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴．
故选：C．
4. 如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，中为上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
，
，
∴，
故选：D．
5. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈
（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（ ）
A. 10尺B. 11尺C. 12尺D. 13尺
【答案】D
【解析】丈尺，
设水深尺，则芦苇长尺，
根据勾股定理得：，
解得，
芦苇的长度为，
故选D．
6. 如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，，D是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点C落在上的点F处，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故选：A．
7. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为32，则的周长为（ ）
A. 7B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】∵的周长为32，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即点O是的中点，
∵点是的中点．
∴，
，
∴的周长，
故选：C．
8. 如图，分别为的边的中点，为与的交点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图．
下列关于以为顶点的四边形的说法正确的是（ ）
A. 聪聪作的四边形是菱形B. 明明作的四边形是菱形
C. 聪聪作的四边形是矩形D. 明明作的四边形是矩形
【答案】C
【解析】∵，
∴，，
∴，，
∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由聪聪作图可知：，
∴，
∴四边形是矩形，故A选项不符合题意，C选项不符合题意；
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
故B、D选项不符合题意；
故选：C．
9. 甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示．若点C的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图象分析可知，C点时，甲刚好到达目的地，点C的坐标为，
∴甲的速度为，
设乙的速度为，
由C的坐标为，得，
解得，
点时，甲、乙两人刚好第一次相遇，
∴，
解得，
则点B的坐标为．
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点…依次进行下去，则点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当时，，
∴点的坐标为，即；
当时；
∴点的坐标为，即；
同理可得：…
观察可得到规律为，
的坐标为，，
的坐标为，，
的坐标为，，
的坐标为
…
以此类推，可以发现以4个点为一周期．
则，可以发现与的符号相同，
（第一圈），的坐标为，，
（第二圈），，
…
（第圈），得得出，
故选：C．
二、填空题
11. 化简__________．
【答案】
【解析】由题意可知，
∴，则，
，
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数是________．
【答案】
【解析】如图，∵矩形，
∴，
由作图痕迹可知平分，
∴，
由作图痕迹可知垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在四边形中，已知，则的度数为__________．
【答案】
【解析】如图，连接，
，，
为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
在中，，
是直角三角形，且，
，
故答案：．
14. 观察下列等式：
第1个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
按上述规律，计算___________．
【答案】
【解析】第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
第个等式：，
，
故答案为：．
15. 已知菱形的边长为2，，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接，，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】如图，连接，
∵四边形是菱形，点为对角线上一个动点，
∴垂直平分，
，
，
当三点共线时，则有最小值，
，，
是等边三角形，
又是的中点，菱形的边长为，
，，，
∴，
中，，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式．
（2）原式
．
17. 已知正比例函数．
（1）若点在它的图象上，求正比例函数的表达式；
（2）若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围．
解：（1）点在的图象上，
，
解得，
正比例函数的表达式为．
（2）的图象经过第二、四象限，
，
．
18. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积．
解：如图，连接，
在中，，
，
，，
，
是直角三角形，，
，
，
，
答：这片绿地的面积是．
19. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
，
．
，
即，
，
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______．
（2）若，求的值．
解：（1），
故答案为：；
（2）∵，
∴.
20. 新能源电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护．如图是某型号新能源电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）与已行驶路程（千米）之间关系的图象．
（1）图中点表示的实际意义是什么？
（2）当时，行驶1千米的平均耗电量是_____千瓦时；当时，行驶1千米的平均耗电量是_____千瓦时；
（3）行驶_____千米时，剩余电量降至20千瓦时．
解：（1）由图象可知，点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；
（2）当时，行驶1千米的平均耗电量是千瓦时；
当时，行驶1千米的平均耗电量是千瓦时；
故答案为：；；
（3）（千米).
故答案为：．
21. 在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若．
（1）求证：；
（2）求的长．
（1）证明：，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，点是的中点，
，，
，
，
，
在中，，
，
解得：．
22. 在中，，D是的中点，过C点作，交的延长线于G，过A作的平行线交于H点．
求证：
（1）；
（2）四边形是菱形；
（3）点H是的中点．
证明：（1）∵，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∴；
（2）∵，，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，
∴四边形是菱形；
（3）由（1）（2）可知，，
∴，
∴点H是的中点．
23. 已知，在正方形中，点是对角线的中点，点是上一动点（不与点，，重合），作交直线于点．
（1）如图，当点在线段上时．
①证明：；
②用等式表示线段，，的数量关系并证明；
（2）直接写出线段，，的数量关系．
（1）①证明：如图，过点E作于点M，点E作于点N，
∵正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②解：线段，，的数量关系，理由如下：
如图，连接，
∵正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
（2）解：关系如下．理由如下：
如图，过点E作于点G，
根据前面的证明，得到四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
聪聪：
以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．
明明：
分别过点作于点，于点．