江苏省镇江市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省镇江市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，，所以.
故选：A.
2. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三角函数定义可知，所以.
故选：A.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】根据对数函数单调性由可知，不妨取，
此时，不满足，即充分性不成立；
若，不妨取，
此时，不满足，即必要性不成立；
所以“”是“”既不充分也不必要条件.
故选：D.
4. 已知函数的零点在区间内，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】因为，，
所以函数在区间内有零点，所以.
故选：C.
5. 求值：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易知
.
故选：A.
6. 《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是（ ）
A. 100B. 110C. 120D. 130
【答案】C
【解析】易知扇形所在圆的半径为8步，
因此这块扇形田的面积为平方步.
故选：C.
7. 已知函数则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为当x1.
故选：B.
8. 如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（ ）
A. 10minB. 12minC. 14minD. 16min
【答案】B
【解析】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，
设时点距离底面的高度为，
由题意得，，周期，所以，
所以，即，
可得，令，则，所以，
令，即，
所以，解得，
令，则，
所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为.
故选：.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列不等式成立的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】对于A，当，则，故A错误，
对于B，若，则，故B正确，
对于C，若，则，故，故C错误，
对于D，，由于，故，因此，故，D正确.
故选：BD.
10. 下列函数最小值为2的有（ ）
A. B.
C. ，且D.
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，，最小值不是2，故A错误；
对于B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D，，
且，
，
且，，，
.
当时，所以在单调递增，即，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数的两个零点为，则（ ）
A. 当时，的取值范围为
B.
C. 当且仅当时，恒成立
D.
【答案】ABD
【解析】对于A，的对称轴为，且，
故时，单调递减，则，即，A正确；
对于B，由于，则，
由于函数均为上的单调递增函数，故在上单调递增，
故，故，故B正确；
对于C，，由于函数均为上的单调递增函数，
故在单调递增，则，
即，故当时，恒成立；
又，故时，也有恒成立，
即当或，均恒成立，故C错误；
对于D，由于，故，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值：______________.
【答案】2
【解析】易知
.
13. 请写出一个同时满足以下性质①②的非常数函数______________.
①，②.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由可知，即为偶函数；
由可得，即的周期为，
因此可得是周期为的偶函数，所以.
14. 已知函数.甲：当时，函数单调递减；乙：函数的图象关于直线对称；丙：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙三人对函数的论述中有且只有一人正确，则______________.
【答案】
【解析】由于，故没有对称轴，因此乙的论述是错误的，
当时，，由于，
故函数不能在单调递减，故甲论述错误，
故丙的论述是正确的，即函数的图象关于对称，则，
故，结合，则.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是第三象限角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）易知，即，
又，可得，
因为是第三象限角，所以，
因此.
（2）显然，
代入计算可得，
因此.
16. （1）已知，且，求的最小值；
（2）已知，证明：.
解：（1）易知，即可得，
解得，当且仅当时，等号成立，
此时的最小值为4.
（2）因为，
所以
，
因此.
17. 如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为.
（1）设，试用表示AP，并求的取值范围；
（2）当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？
解：（1）依题意可得，
所以，即，可得；
因此，
又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即，
解得，即.
（2）易知，
所以，
由基本不等式可得
；
当且仅当时，即时，等号成立，
此时取得最小值1200；
因此m时，取得最小值，最小值为1200.
18. 给出以下三个条件：①函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为；②；③对任意的.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并解答该题.
已知函数，且满足_____________.
（1）求的值；并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将此时图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.
解：（1）若选择①，可知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即，
可得；
若选择②，由可得，
因此，解得，
又，所以满足题意；
若选择③，由对任意的可得取得最大值，
即，即，
解得；
又，可得满足题意，因此，列表取值如下：
描点连线得到图象如下：
（2）将函数的图象向右平移个单位可得；
再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
可得，
当时，，所以；
画出在上的图象，如下图：
若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，
即为函数与函数在上有且只有一个交点，
由图可得当或时，满足题意；
因此实数的取值范围为.
19. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.
（1）下列两个命题中至少有一个为真命题，并证明其中的一个真命题：
①②
（2）证明：函数在上有且仅有一个零点，
且.
解：（1）由题意，对于①，
.
对于②，
.
故①为假命题，②为真命题.
（2）函数在区间上连续不断，
当时，和在上都单调递增，
且，，
因为，
所以，即，
故存在唯一，使得，
即函数在上有且仅有一个零点.
当时，在单调递增，且，
而，故，
所以函数在上没有零点.
综上所述，函数在上有且仅有一个零点.
因为，所以，
所以，
因为在单调递减，所以.
所以.