湖北省部分市州2024-2025年高一上学期期末质量监测数学试卷（解析版）

这是一份湖北省部分市州2024-2025年高一上学期期末质量监测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 设全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，因此.
故选：A．
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C．
3. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C．
4. 已知，则实数的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数单调递增，则，
由单调递增，则，
由单调递减，则，即，
所以.
故选：B.
5. 当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A. 5B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】，则，
因为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8.
故选：B．
6. 函数在单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】在单调递增，则，解得或，
因此其中只有C是充分不必要条件.
故选：C．
7. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知是R上的减函数，
，（因此是减函数），
（因为是上的增函数），
，则，
所以零点在上.
故选：B．
8. 已知函数，则（ ）
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】D
【解析】由题意，函数，
可得
，
所以
.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：，
因为，所以，不确定，
所以符号不确定，故C错误；
对于D：因为，所以，又，所以，故D正确.
故选：AD.
10. 在数学史上，为了三角计算的简便及计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作．下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 函数的最大值为
【答案】ABC
【解析】对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：由，
所以，故C正确；
对D：因为.
当时，取得最大值4，故D错误.
故选：ABC.
11. 对都有，且．则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 为偶函数
C.
D.
【答案】BC
【解析】对于A，因为，
令，，则，
又，所以，
令，则，
即，所以，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，
令，得，
所以，所以为偶函数，故B正确；
对于C，令，又，则，
则，则，两式相减得，
又为偶函数，即，所以，故C正确；
对于D，由C知，则周期为2，，又，
所以，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为__________．
【答案】
【解析】设扇形的圆心角为，半径为，，.
所以扇形的面积为.
13. 已知函数f(x)＝lg0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为________．
【答案】(－4，4]
【解析】令g(x)＝x2－ax＋3a，
因为f(x)＝lg0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，
所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，
所以a≤2且g（2）＞0，所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4.
14. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】时，，时，无实解，
因此时，，即且，
所以函数所有零点即为解，也即为函数的图象与直线的交点的横坐标，
作出函数的图象，及直线，如图，
由图可知时，的图象与直线有交点，
当或时，的图象与直线有两个交点，设交点横坐标分别为且，
则，所以，，满足题意，
当时，图象与直线有三个交点，设交点横坐标分别为且，
则，，此时，不合题意，
综上的范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知是第二象限角，且，计算；
（2）计算．
解：（1）因为是第二象限角，且，所以，
所以，原式.
（2）原式.
16. 已知关于实数的函数．
（1）若的解集为，求的值；
（2）解关于实数的不等式．
解：（1）若的解集为，
则，，
，，
∴.
（2）整理可得，配方得，
分以下情况讨论：
1．时，，解得或；
2．时，，解得；
3．时，，解得或.
综上所述：当时解集为；
当时解集为；
当时解集为.
17. 某工厂生产一批产品，在生产过程中会产生一些次品，其合格率与日产量（万件）之间满足如下函数关系：已知每生产1万件合格的产品该厂可以盈利15万元，但每生产1万件次品将亏损5万元．故厂方希望定出合适的日产量使得每天的利润最大（注：合格率）．
（1）将生产这批产品每天的利润（万元）表示为日产量（万件）的函数（利润盈利-亏损）；
（2）当日产量为多少万件时，该厂每天的利润达到最大？
解：（1）当时，；
当时，；
当时，.
综上所述.
（2）当时，；
当，令，
则，
此时取等条件为，即．
因为，所以当日产量为4万件时，该厂每天的利润最大．
18. 已知，其中为奇函数，为偶函数．
（1）求与的解析式；
（2）若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；
（3）若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为①，为奇函数，为偶函数，
则，即②，
①减②，得；①加②，得.
（2）因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
因为，所以，整理得，
又对于任意的不等式都成立，则，
令，则不等式右侧，
当且仅当，即时取等号，所以.
（3）由（1）知，，
则，
令，则原式，
则原题目转化为存在，使得成立，
当，成立，当时，，综上，.
19. 某小组为了加深奇函数的理解，讨论提出了“局部奇函数”和“广义奇函数”两个概念：
①若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”；
②函数的定义域为，如果存在实数使得对任意满足且的实数恒成立，则称为“广义奇函数”．
（1）若，判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；
（2）判断函数是否为“广义奇函数”，如果是，求出对应的实数，如果不是，请说明理由；
（3）已知实数，对于任意的实数，函数都是定义域为的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
解：（1）函数的定义域为，
由局部奇函数定义，得，即，
解得，而，所以为局部奇函数.
（2）假设函数是“广义奇函数”，
，令，解得，
此时，，
所以是“广义奇函数”，且．
（3）由，得在上恒成立，
由对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，
得对于任意的在上有解，
即在上有解，
整理得：在上有解，
因此的值域是的值域的子集，
由，得的值域是，令，则，
在上单调递减，
则当时，，当时，，
因此，解得：，
所以实数的取值范围.