湖北省部分市州2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题（解析版）

这是一份湖北省部分市州2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了9B等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题，直线的斜率为，
又，.
故选：B.
2. 已知公差为正数的等差数列，若，则等于（ ）
A. 11B. 9C. 7D. 11或1
【答案】A
【解析】在公差为正数的等差数列中，
因为，所以，
又，所以或，
又因为公差为正数，所以，所以，
所以，则.
故选：A.
3. 已知向量，向量，向量，若三个向量共面，则实数等于（ ）
A. 17B. 19C. 21D. 23
【答案】D
【解析】因为向量，向量，向量，且，，三向量共面，
可知存在，使得，即，
则，解得，所以.
故选：D.
4. 某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数；
根据随机数估计甲获胜的概率为（ ）
A. 0.9B. 0.95C. 0.8D. 0.85
【答案】A
【解析】设事件为 “甲获胜”，20组随机数，其中事件发生了18次，
.
故选：A.
5. 已知圆与圆，则圆与圆的公切线的条数有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】C
【解析】可化为，
所以圆心，半径，
可化为，
所以圆心，半径，
圆心距，
所以两圆外切，
所以两圆的公切线有3条.
故选：C.
6. 已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设该直线为，
联立，化简整理得，
由直线与双曲线的左，右两支均相交，
所以，解得，
所以该直线斜率的取值范围为.
故选：B.
7. 已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】D
【解析】连接，交于点，
连接，，
因正四棱锥与正四棱锥，
所以平面，平面，
因为，，
所以，，，
以为原点，分别为轴的正向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
所以，，
所以.
故选：D.
8. 已知点是椭圆上的一点，设是直线上任意两个不同的点，若时，则使得是等腰直角三角形的点有（ ）
A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个
【答案】C
【解析】椭圆方程为，椭圆与直线均关于原点对称，
设点，，设点到直线的距离为，
则，
①若为直角顶点，如下图：
则由，得顶点到边的高为，
即，此时满足为等腰直角三角形的点有四个；
②若不是直角顶点，如下图：
则由，得顶点到边的高为，
即，此时满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个，
综上，使得是等腰直角三角形的点有6个.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知事件与事件相互独立，且，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，因为事件与相互独立，所以，故B正确；对于C，因为事件与相互独立，所以事件与相互独立，
，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：AB.
10. 如图，已知直三棱柱中，为的中点，在线段上.则下列结论正确的是（ ）
A. 若为中点时，则
B.
C.
D. 若直线与平面所成的角为，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由题可得，，，，，，，
对于A，若为中点时，则，
所以，故A正确；
对于B，，，
则，故B错误；
对于C，，，，
所以，故C正确；
对于D，设点，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
则，
所以，，
令，则，
令，，
则，，
当时，取得最小值，此时取得最大值1；
当时，取得最大值，此时取得最小值；
综上，的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
11. 在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（ ）
A.
B. 到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4
C.
D.
【答案】ACD
【解析】对于A，，，则，A正确；
对于B，，即，
当且时，有，即；
当目时，有，即；
当且时，有，即；
当目时，有，即；
因此点P轨迹围成的图形是以为顶点的正方形，
边长为，面积为，B错误；

对于C，令M为直线上的动点，设，
则与点的“新距
离”，
当时，，
当时，，
当时，，
因此点 D到直线的“新距离”，C正确；
对于D，由绝对值的几何意义得，，
则，，
将两式相加得：，
即，D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线，若，则与之间的距离为__________.
【答案】
【解析】由，可得，
解得，
所以直线，
即，
所以与间的距离为.
13. 已知圆的直径为是圆内一个定点，且是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，若点在圆上运动时，则点的轨迹的离心率等于__________.
【答案】
【解析】由已知，圆的直径为，
则，
又线段的垂直平分线和半径相交于点，
，
因为，
所以与两个定点的距离的和等于常数（大于），
由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，焦距为，长轴长等于的椭圆，所以点的轨迹的离心率为.
14. 已知个圆两两相交，每两个圆都有两个交点且所有交点均不重合，设个圆的交点总数为，记，则__________.
【答案】
【解析】由题意，，，，，，
，
当时，上式成立，
则，，
，，
所以，.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球和2个绿色球，从袋中随机摸出2个球.
（1）求“摸到两个球颜色不同”的概率；
（2）求“至少摸到一个红球”的概率.
解：（1）用1、2、3表示3个红色球，4、5表示2个绿色球，用数组表示可能的结果，则样本空间所包含的样本点为：
10种，
其中两个球颜色不同的事件有：共6种，
设摸到两个球颜色不同为事件A,
故事件A的概率为.
（2）其中至少摸到一个红球事件有：共9种，
设至少摸到一个红球为事件B,
故事件B的概率为.
16. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，且，侧面为边长等于2的正三角形，平面平面，为的中点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）取中点，连接，
因为为正三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为的边长为2，所以，
又为菱形，，，
所以，，
所以，所以，
所以菱形的面积为，
所以四棱锥的体积为：.
（2）由（1），以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由题意，，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则即，令，则，，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则即，令，则，，
所以平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知圆圆心在轴上，且过点两点.
（1）求圆的方程；
（2）设点，以线段为直径的圆与圆交于两点，求线段长度的最小值.
解：（1）依题意，设圆的方程为，
由圆过点，得 ，解得，
所以圆的方程为：.
（2）由（1）知，圆：的圆心，半径，而点，
以PD为直径的圆的方程为：，整理得，
于是直线EF的方程为：，
点D到直线EF的距离为，，
，
函数，
则当，即时，，
即当时，，
所以线段EF长度的最小值为
18. 已知直线与抛物线交于两点.
（1）若，直线的斜率为1，且过抛物线的焦点，求线段的长；
（2）如图，若（为坐标原点），点为线段的中点，点为直线与轴的交点，设线段的中垂线与轴，轴分别交于两点.记的面积为的面积为，求的取值范围.
解：（1）若，则，焦点为，
所以直线的方程为，
设，联立，整理得，
，，
所以，
所以线段的长为16.
（2）由题意，，设直线的方程为，，
当时，不能构成三角形，不合题意；
当时，联立，整理得，
，，
因为，所以，即，
，即，
，解得，满足上面方程，
则，，即点的坐标为，
因为，所以直线的方程为：，
令，得，令，得，
由，可得
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的取值范围为.
19. 已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得数列第1项，第2项，第项成等差数列？若存在，求满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由；
（3）类比教材等比数列前项和公式推导方法，探求数列前项和.
解：（1），令，得，
当时，，
满足上式，故，.
又，且满足，，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，
，.
（2）假设存在，使得成等差数列，
则，即，
化简得，
又，，
即，
当时，与矛盾，不符合舍去；
当时，，，
当时，，，
所以存在满足要求的，或.
（3），
令，
令①，
②，
①②得：③，
④，
④③得：
，
，
所以数列的前项和为：
.603
099
316
696
851
916
062
107
493
977
329
906
355
860
375
107
347
467
822
166