广西南宁市2024-2025学年高一上学期期末教学质量调研数学试卷（解析版）

这是一份广西南宁市2024-2025学年高一上学期期末教学质量调研数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设有.
故选：B.
2. 设a，b，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A，当时不成立，
B，当，时不成立，
C，当，时，不成立，
D，在R上单调递增，又，则成立.
故选：D．
3. 已知扇形的面积为6，圆心角为3 rad，则此扇形的周长为（ ）
A. 2 cmB. 6 cmC. 10 cmD. 12 cm
【答案】C
【解析】设扇形半径为，弧长为，由题意：，解得：.
所以扇形的周长为：.
故选：C.
4. 已知函数，“，”是“最大值为2024”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“，”不一定有“最大值为2024”，
有可能不存在，使得，所以不满足充分性；
若“最大值为2024”，则“，”恒成立，所以必要性成立，
所以“，”是“最大值为2024”的必要不充分条件.
故选：B.
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由诱导公式得
，故A正确.
故选：A.
6. 标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，研究过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对取对数得
，故，
而与最接近，故C正确.
故选：C.
7. 已知定义在R上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以，
因为函数在上单调递增，则该函数在上也为增函数，
当时，，由可得，解得；
当时，，由可得，
可得，此时不存在；
当时，，由可得，解得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：A.
8. 设函数在区间恰有三个最值点和两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以，
令，，
则函数中大于的最值点与零点依次是：，
又函数在区间恰有三个最值点和两个零点，
所以只需，解得.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域是B. 的值域是R
C. 是奇函数D. 在，上单调递减
【答案】ACD
【解析】对于A项，分式中分母不等于0，所以，解得：，
所以的定义域是；故A项正确；
对于B项，的值域是，故B项错误；
对于C项，，令，定义域为，，
所以是奇函数，即是奇函数，故C项正确；
对于D项，的单调递减区间为，，将向右平移一个单位得到，
故在，上单调递减，故D项正确．
故选：ACD．
10. 下列计算或化简结果正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若为第二象限角，则
【答案】ABD
【解析】若，则，故A正确；
若，则，故B正确；
若，则，所以，故C错；
若为第二象限角，则，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数定义域为R，对称中心是，且满足，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于轴对称
C.
D. 若函数满足，则
【答案】AB
【解析】对于A，因为的对称中心是，且在x=1有定义，所以，
因为，所以令，得到，故A正确，
对于B，因为的对称中心是，所以是奇函数，
得到，即，
而，则，
得到，故，
即是偶函数，则函数的图象关于轴对称，故B正确，
对于C，因为，所以，
则，故C错误，
对于D，因为，所以，
故，即是周期为的周期函数，
因为，所以，
则，
故是周期为的周期函数，
而，，，，
故
，
因为，所以，
故，即，
故，故D错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是幂函数，且该函数是奇函数，则的值是__________．
【答案】1
【解析】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，由一次函数性质得该函数是奇函数，
当时，，，
故，得到该函数是偶函数，不符合题意，排除，
综上，的值是.
13. 已知，则__________．
【答案】
【解析】由二倍角公式得，
因为，所以.
14. 如图，平行于轴的直线分别与函数及的图像交于点和，点为函数图像上一点．若为正三角形，则__________．
【答案】
【解析】因为平行于轴的直线分别与两个函数的图像交于点和，
所以设，故，
若为正三角形，如图，作，
则到的距离，故，
因为点为函数图像上一点，所以，
因为在图像上，
所以，而，
即，，
故，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，且．
（1）求xy的最大值；
（2）求的最小值．
解：（1），，
，即，
当且仅当，即时，取得最大值.
（2），
当且仅当，即时，取得最小值．
16. 已知函数，．
（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
解：（1）由题意得对任意的恒成立，
当时，，而，
此时对任意的不成立，故排除，
故我们讨论的开口，当时，此时开口向下，不符合题意，故排除，
当时，此时开口向上，符合题意，令，
故，解得，得到实数的取值范围为.
（2）当时，，令，解得
当时，我们讨论如下，因为，
所以，令，
解得或，当时，解得，
此时，
故得到的解集为，
当时，我们做出如下讨论，令，解得，
此时，令，解得，
令，解得，此时令，解得，
当时，恒成立，令，解得，
综上，当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为.
17. 函数（，）的部分图象如图所示．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，，求的值．
解：（1）由图象可知：，解得：，
，；
，，解得：，
又，，，
令，解得：；
∴fx的最小正周期为，单调递增区间为.
（2），，
又，，
又
，
.
18. 为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择．
（1）分别求出两个函数模型的解析式；
（2）若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据：
解：（1）若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
（2）把代入，可得，
把代入，可得，可知与相差比较大，
故选择模型更合适．
令，可得，
两边取对数可得，
即，
所以，
至少到年月底蒲草覆盖面积能达到．
19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔．该理论中有如下定义：对于函数，若其定义域中存在一个，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称为该函数的一个“不动点”．现新定义：若满足，则称为的“次不动点”．
（1）判断函数是否是不动点函数，若是，求出其不动点，若不是，请说明理由；
（2）已知函数，若非零实数a是在内的次不动点，求a的值；
（3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围．
解：（1）若是不动点函数，则假设为该函数的一个“不动点”，
故，即，解得或，
所以是不动点函数，不动点为和.
（2）若非零实数是在内的次不动点，
则，故，即，
解得，即a的值为.
（3）设分别是在上的一个不动点和一个次不动点，
且唯一，故，得到，
两边同时取指数得，整理得，
令，故与在上有唯一交点，
由指数函数性质得在上单调递增，
而，由指数函数性质得在上单调递增，
故在上单调递增，而，得到，
故，由得，，
两边同时取指数得，整理得，
令，故与在上有唯一交点，
由指数函数性质得在上单调递增，
而，故，得到，
综上可得，，即实数b的取值范围为.