江西省九师联盟2025届高三模拟考试数学数学试卷（解析版）

这是一份江西省九师联盟2025届高三模拟考试数学数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x∣x+2∈A}，则A∩B=（ ）
A．1B．1,2C．1,2,3D．1,2,3,4
【答案】C
【解析】因为集合A={1,2,3,4,5}，所以由x+2∈{1,2,3,4,5}，可得B={-1,0,1,2,3}，
所以A∩B=1,2,3.
故选：C.
2．已知向量a=1,2，b=2,x，若a//b，则b=（ ）
A．5B．25C．5D．20
【答案】B
【解析】向量a=1,2，b=2,x，由a//b，得x-4=0,x=4，则b=(2,4)，
所以|b|=4+16=25.
故选：B
3．已知z=21+i-i2025，则z=（ ）
A．1+2iB．1-2iC．iD．1
【答案】A
【解析】z=21+i-i2025=21-i1+i1-i-i=1-2i，所以z=1+2i，
故选：A
4．已知a∈R，若“∃x∈R，a=2x+1”为假命题，则a的取值范围是（ ）
A．-∞,1B．1,+∞C．-∞,1D．1,+∞
【答案】C
【解析】命题“∃x∈R，a=2x+1”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
其否定为：∀x∈R，a≠2x+1，而函数y=2x+1的值域为1,+∞，
由“∃x∈R，a=2x+1”为假命题，得“∀x∈R，a≠2x+1”为真命题，则a≤1，
所以a的取值范围是-∞,1.
故选：C
5．如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ）
A．76B．77C．78D．79
【答案】B
【解析】第一组频率为0.010×10=0.1，第二组的频率为0.020×10=0.2，
第三组的频率为0.030×10=0.3，前两组频率为0.3，前三组频率和为0.6，
故50%分位数在第三组[70,80)内，
70+0.5-0.30.3×10=70+23×10≈77，
故选：B.
6．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DnG0（D为常数），其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中G0=20，当n=10时，学习率为0.25；当n=30时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知lg2≈0.3）
A．31B．32C．33D．34
【答案】D
【解析】因为衰减学习率模型为L=L0DnG0，
所以根据已知条件可得：0.25=L0D1020=L0D12①
0.065=L0D3020=L0D32②
用②式除以①式可得：
L0D32L0D12=,化简可得：D=0.25.
将D=0.25代入①式中可得：L0=0.5.
所以衰减学习率模型为L=0.5·0.25n20.
当学习率衰减到0.05以下时，即L=0.5·0.25n200；②∀x,y∈R，fxfy-x=fy．若k是方程fln2x+xf2x2-xe1-x=f1的实根，则e1-k+2ln2k= ．
【答案】2
【解析】由②及题设条件，得fln2x+2x2+x-xe1-x=f1.
由①，知fx为增函数，得ln2x+2x2+x-xe1-x=1，即ln2x+lnx+2x2=1-x+lnx+xe1-x
即ln2x2+eln2x2=1-x+lnx+elnx+1-x.
令gx=x+ex，则gln2x2=g1-x+lnx.
又gx为增函数，所以ln2x2=1-x+lnx，即ln2x=1-x，所以e1-x=2x，
故e1-k+2ln2k=2k+21-k=2.
故答案为：2.
四、解答题
15．已知函数f(x)=ex-ex+1．
（1）求曲线y=f(x)在点(1,f（1）)处的切线方程；
（2）证明：∀x≥1，f(x)≥x-lnx．
（1）解：函数f(x)=ex-ex+1，求导得f'(x)=ex-e，则f'（1）=0，又f（1）=1，
所以曲线y=f(x)在点(1,f（1）)处的切线方程为y-1=0.
（2）证明：设g(x)=lnx+1-x,x≥1，求导得g'(x)=1x-1=1-xx≤0，
函数g(x)在[1,+∞)上单调递减，g(x)≤g（1）=0恒成立，即lnx+1-x≤0，因此1≤lnx+1≤x，
设h(x)=ex-x,x≥1，求导得h'(x)=ex-1>0，函数h(x)在[1,+∞)上单调递增，
则h(x)≥h(lnx+1)，则ex-x≥elnx+1-(lnx+1)，即ex-x≥ex-lnx-1，
所以ex-ex+1≥x-lnx，即f(x)≥x-lnx.
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+tanAtanB=2cb．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为1，a=2，求csBcsC的值．
解：（1）在△ABC中，由1+tanAtanB=2cb及正弦定理，得sinAcsBsinBcsA+1=2sinCsinB，
即sinBcsA+csBsinAsinBcsA=2sinCsinB，则sinCcsA=2sinC，
由00的两条渐近线分别为l1:y=3x，l2:y=-3x，若点A，B分别在l1，l2上（A，B不同于原点O），且直线AB是C的切线，则称△OAB是C的“渐切三角形”．已知C在点s,t处的切线方程为sx-tyb2=1．
（1）写出C的一个“渐切三角形”的顶点A，B的坐标及切线AB的方程，并求出其面积；
（2）已知点Ax1,y1，Bx2,y2x1x2>0分别在l1，l2上，△OAB的面积为3，试问△OAB是否是C的“渐切三角形”？并说明理由；
（3）若△OAB是C的“渐切三角形”，AB与C相切的切点M的横坐标大于0，F为C的左焦点，证明：∠AFB为定值．
（1）解：由题意可得，双曲线的渐近线方程为y=±bx,b>0，故b=3，
则C:x2-y23=1，且C在点s,t处的切线方程为sx-ty3=1，
不妨取切点为1,0，则切线方程为x=1，此时A1,3,B1,-3，
则S△OAB=12×1×23=3.
（2）解：若直线AB斜率不存在，不妨设AB:x=m，则Am,3m,Bm,-3m，
则S△OAB=12×m×23m=3m2=3，得m=±1，
此时直线AB:x=±1与曲线C相切，即△OAB是C的“渐切三角形”，
若直线AB斜率存在，设AB:y=kx+m，
联立y=kx+mx2-y23=0，得3-k2x2-2kmx-m2=0，
则k2≠3,x1+x2=2km3-k2,x1x2=-m23-k2>0，即k2>3，
则AB=1+k2x1-x2=1+k2⋅2km3-k22+4m23-k2=12m21+k23-k22，
又点O到直线AB的距离d=m1+k2，
则S△OAB=12ABd=12×12m21+k23-k22×m1+k2=3m2k2-3=3，
得k2-m2=3，
联立y=kx+mx2-y23=1，得3-k2x2-2kmx-m2-3=0，
则Δ=4k2m2+43-k2m2+3=12m2-k2+3=0，
则直线AB与曲线C相切，即△OAB是C的“渐切三角形”，
综上可得，若△OAB的面积为3，则△OAB是C的“渐切三角形”.
（3）证明：若切点为1,0时，直线AB的方程为x=1，此时A1,3,B1,-3，
因F-2,0，则tan∠AFO=33，即∠AFO=π6，
利用对称性可知∠AFB=π3；
若切点不为1,0，可设切点为s,t,s>0,t≠0，则直线lAB:sx-ty3=1，
联立sx-ty3=1x2-y23=1，得t2-3s2x2+6sx-3-t2=0，
则t2-3s2≠0,由Δ=6s2+4t2-3s23+t2=0，可得3s2-t2=3，
联立sx-ty3=1x2-y23=0，得t2-3s2x2+6sx-3=0，即x2-2sx+1=0，
设点Ax1,y1，Bx2,y2x1x2>0，则x1+x2=2s,x1x2=1，
则x1-x2=4s2-4=2t3，
y1y2=3sx1-3t⋅3sx2-3t=9s2x1x2-9sx1+x2+9t2=-9s2+9t2=-3，
则kAF-kBF=y1x1+2-y2x2+2=y1x2+2-y2x1+2x1x2+2x1+x2+4
=3t⋅sx1-1x2+2-sx2-1x1+2x1x2+2x1+x2+4=3t⋅2s+1x1-x2x1x2+2x1+x2+4
=3t⋅2s+1x1-x24s+5=32s+14s+5⋅x1-x2t=32s+14s+5×23=232s+14s+5，
（说明：由图知，x1-x2与t始终同号，故x1-x2t=|x1-x2t|成立）
kAFkBF=y1x1+2⋅y2x2+2=y1y2x1x2+2x1+x2+4=-34s+5，
则tan∠AFB=tan∠AFO+∠BFO=tan∠AFO+tan∠BFO1-tan∠AFO⋅tan∠BFO
=kAF-kBF1+kAFkBF=232s+14s+51+-34s+5=3，
因0