中考数学一轮复习题型归纳专练(全国通用)专题17相似(题型归纳)(原卷版+解析)

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题型演练
题型一 比例的性质
1．若，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则把它改写成比例式后，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，则b的值为______．
5．已知，则______．
题型二 成比例线段
6．下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么（ ）
A．±3B．3C．4.5D．5
8．若四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段a的长为（ ）
A．B．C．D．
9．已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段的长为_____．
10．在比例尺为的某市地图上，规划出长厘米，宽厘米的矩形工业园区，则该园区的实际面积是______平方米．
题型三 黄金分割
11．已知点C是线段的黄金分割点，且，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为，则两地实际距离为35m
B．若cm，点是线段的黄金分割点，且，则cm
C．任意两个菱形都相似
D．有一个角相等的两个等腰三角形相似
13．若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
14．已知线段，是线段的黄金分割点，则________．
15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且身高为178cm，则其肚脐至足底的长度可能是______cm（保留根号）．
题型四 相似多边形及性质
16．下列叙述正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形相似B．任意两个平行四边形相似
C．任意两个矩形相似D．任意两个正方形相似
17．如图所示的两个五边形相似，则以下，，，的值错误的是（ ）
A．B．C．D．
18．一个面积为的四边形，它的位似图形为四边形，位似中心为，若，则四边形的面积为（ ）
A．B．
C．或D．以上都不对
19．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________．
20．如图，在矩形中，，．点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则的长为______．
题型五 平行线分线段成比例定理的应用
21．如图，已知，，，那么的长为（ ）
A．B．C．D．
22．如图，在中，D，E分别是上的点．且．若，，则的长是（ ）．
A．B．C．D．
23．如图，与相交于点O，，若，则的长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
24．如图，直线，若，，，则____________．
25．如图，D是的边延长线上一点，且，直线分别交于点E、F．若，则=______．
题型六 证明两三角形相似
26．如图，在中，，，，相交于点，则图中与相似的三角形有（ ）
A．个B．个C．个D．个
27．下列四组条件中，能识别与相似的是（ ）
A．，；，
B．，，，，，
C．，，，，，
D．，；，
28．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ）
A．B．
C． D．
29．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有_______对．
30．如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α=______时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．
31．如图，点C，P均在上，且分布在直径的两侧，于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
32．如图，已知点在△的外部，，点在边上，．
(1)求证：；
(2)在边取一点，如果，，求证：．
33．如图，在和中，，．
(1)和相似吗？为什么？
(2)如果，则成立，据此你能说明和相似吗？
题型七 利用相似三角形的性质求解
34．若两个相似三角形的对应高的比是，则它们的周长比是（ ）
A．B．C．D．
35．如图，分别是的边上的点，且，若：：，则：的值是（ ）
A．：B．：C．：D．：
36．已知中，，，，分别为直线，上的点，且，若以点，，为顶点的三角形与相似，则_____．
37．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，
横杆与的距离是3m，则P到的距离是___________m．
38．如图，，，．
(1)求的长．
(2)若平分，求的长．
39．如图所示，在平行四边形中，是的延长线上一点，，连接与，，分别交于点，．
(1)若的面积为3，求平行四边形的面积；
(2)求证．
题型八 利用相似三角形求坐标
40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
41．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
42．如图，在直角坐标系xOy中，，，连接AB并延长到点C，连接CO，若，则点C的坐标为______．
43．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______．
44．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点，
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标．
45．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与与y轴相切，且点C坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0），与⊙C相切于点D．
（1）求直线l的解析式．
（2）是否存在⊙P，使圆心P在x轴上，且与直线l相切，与⊙C外切？如果存在，请直接写出圆心P的坐标；如果不存在，请说明理由．
题型九 相似三角形性质与判定的综合应用
46．如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（ ）
A．34B．27C．30D．32
47．如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
48．如图，交于点C，，若，则_____．
49．如图，在矩形中，，，B为中点，连接．动点M从点O出发沿边向点A运动，动点N从点A出发沿边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，，，设运动时间为秒．则______时，为直角三角形．
50．如图，在矩形中，E，F分别是的中点，连接，若，
(1)求证：；
(2)若，求的长．
51．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
(1)求证：；
(2)连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
(3)若，求BF的最大值．
52．如图1，和都是等腰直角三角形，，且点A是上的点（点A不与点D，E重合），过点B作交的延长线于点H，的延长线交于点G．过点A作交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)如图2，若，求的值．
53．如图，已知，若三点共线，线段与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，的面积为，求的面积．
54．如图，在中，，，
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长；
(3)若，时，四边形的面积是______．
55．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．
(1)图1中阴影部分的面积与的面积比为______；
(2)若将固定不动，把绕点A逆时针旋转，此时线段，射线分别与射线交于点M，N．
①当旋转到如图2所示的位置时，求证：∽；
②如图2，若，求的长；
③在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含d的式子表示）．
56．如图，A，B两点的坐标分别为，，点P，Q同时出发作匀速运动，其中点P从A出发沿向终点O运动，速度为每秒3个单位；点Q从O出发沿向终点B运动，速度为每秒2个单位，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也随之停止运动．
(1)坐标平面内是否存在点C，使以O，A，C为顶点的三角形与全等？请直接写出点C的坐标；
(2)设从出发起，运动了t秒，以O，P，Q为顶点的三角形与相似，求出此时t的值；
(3)是否存在t，使 为等腰三角形？若存在，求出运动的时间t；若不存在，请说明理由．
题型十 位似图形
57．如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则点B的对应点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
58．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（ ）
A．4B．6C．9D．15
59．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
60．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点B的坐标是，则点C的坐标是_____
61．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点，分别为点，．若，则的长为______．
62．如图，的顶点都在网格点上，点M的坐标为．
(1)以点M为位似中心，位似比为3，将放大，在第二象限得到，画出；
(2)直接写出点的坐标．
63．如图，小明在学习《位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)在图中标出与的位似中心点M的位置，并直接写出点M的坐标；
(2)若以点O为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的相似比为2（只画出一个三角形即可）．
专题17 相似
题型分析
题型演练
题型一 比例的性质
1．若，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A、∵，∴，故A不符合题意；
B、∵，∴，故B符合题意；
C、∵，∴，故C不符合题意；
D、∵，∴，故D不符合题意；
故选：B
2．已知，则把它改写成比例式后，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，
，，
故选：B．
3．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：，
．
故选：A．
4．已知，且，则b的值为______．
【答案】4
【详解】∵，
∴设，，
∴
∴，
∴，
故答案为：4
5．已知，则______．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型二 成比例线段
6．下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意；
B、由于，所以不成比例，不符合题意；
C、由于，所以不成比例，不符合题意；
D、由于，所以成比例，符合题意．
故选：D．
7．已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么（ ）
A．±3B．3C．4.5D．5
【答案】B
【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：
比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则，
解得（线段是正数，负值舍去），
所以．
故选：B．
8．若四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段a的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：A．
9．已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段的长为_____．
【答案】
【详解】解：∵线段是线段，的比例中项，线段，线段，
∴，
∴，
故答案为：．
10．在比例尺为的某市地图上，规划出长厘米，宽厘米的矩形工业园区，则该园区的实际面积是______平方米．
【答案】
【详解】解：在比例尺为的某市地图上，规划出长厘米，宽厘米的矩形工业园区，
实际的工业园区长厘米，宽厘米，
该园区的实际面积是平方厘米，
1平方米平方厘米，
该园区的实际面积是平方米，
故答案为：．
题型三 黄金分割
11．已知点C是线段的黄金分割点，且，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：根据黄金分割的定义得；故选：D
12．下列说法正确的是（ ）
A．两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为，则两地实际距离为35m
B．若cm，点是线段的黄金分割点，且，则cm
C．任意两个菱形都相似
D．有一个角相等的两个等腰三角形相似
【答案】B
【详解】解：A. m，故A说法错误，不符合题意；
B. 点是线段的黄金分割点, 且，则，
设，则，解得或（舍去），故B说法正确，符合题意；
C.当两个菱形的角度不等时，不相似，故C说法错误，不符合题意；
D.若两个等腰三角形一个是顶角，一个是底角，则不是相似的，故D说法错误，不符合题意；
故选：B．
13．若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵线段，C是的黄金分割点，且，
∴根据黄金分割的概念得：，
∴．
故选B．
14．已知线段，是线段的黄金分割点，则________．
【答案】
【详解】解：∵是线段的黄金分割点，
∴．
故答案为：．
15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且身高为178cm，则其肚脐至足底的长度可能是______cm（保留根号）．
【答案】
【详解】设此人的肚脐到足底的长度为x cm，由题意，则有
解得：
经检验，是所列方程的解且符合题意，
故答案为：
题型四 相似多边形及性质
16．下列叙述正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形相似B．任意两个平行四边形相似
C．任意两个矩形相似D．任意两个正方形相似
【答案】D
【详解】解： A、任意两个等腰三角形不一定满足三边对应成比例，三个角分别对应相等，不一定相似，故选项不符合题意；
B、任意两个平行四边形不一定满足边对应成比例，四个角对应相等，不一定相似，故选项不符合题意；
C、任意两个矩形不一定满足边对应成比例，不一定相似，故选项不符合题意；
D、任意两个两个正方形满足相似图形的定义，故选项符合题意．
故选D．
17．如图所示的两个五边形相似，则以下，，，的值错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：两个五边形相似，
，
，，，．
故选：D．
18．一个面积为的四边形，它的位似图形为四边形，位似中心为，若，则四边形的面积为（ ）
A．B．
C．或D．以上都不对
【答案】C
【详解】解：由题可知四边形的相似比为或，
四边形的面积之比等于相似比的平方，且四边形的面积为，
四边形 的面积为或．
故选：C．
19．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________．
【答案】6
【详解】设另一个与它相似的六边形的最短边为，
由题意，得：，
整理得：，
解得：，
故答案为： 6．
20．如图，在矩形中，，．点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则的长为______．
【答案】
【详解】矩形矩形，
∴，即，
整理得，，
解得，（舍去），，
故答案为：．
题型五 平行线分线段成比例定理的应用
21．如图，已知，，，那么的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，
，
即，
，
故选：B．
22．如图，在中，D，E分别是上的点．且．若，，则的长是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
23．如图，与相交于点O，，若，则的长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【详解】解：∵与相交于点O，，
∴，
∵，＝8，
∴，
∴＝6，
∴．
故选：C．
24．如图，直线，若，，，则____________．
【答案】
【详解】解：∵直线，
∴，即：
解得：，
∴，
故答案为：．
25．如图，D是的边延长线上一点，且，直线分别交于点E、F．若，则=______．
【答案】
【详解】解：作交于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
题型六 证明两三角形相似
26．如图，在中，，，，相交于点，则图中与相似的三角形有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【详解】解：∵，
∽，∽，
∵，
∽，
∽，
故选：．
27．下列四组条件中，能识别与相似的是（ ）
A．，；，
B．，，，，，
C．，，，，，
D．，；，
【答案】C
【详解】解：A不正确：
∵，；，，
∴，，
∴不相似；
B不正确：
∵与不是边，与，的夹角，
∴不相似；
C相似：
∵，，，，，，
∴，，
∴相似；
D不相似：
∵不是，的夹角，是边与的夹角，
∴不相似．
故选：C．
28．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意．
B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意．
C选项相等的角不是对应角，不符合题意．
D选项相等的角不是对应角，不符合题意．
29．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有_______对．
【答案】3
【详解】图中三角形有：，，，
∵，
∴
共有3个组合分别为：∴，，
故答案为：3．
30．如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α=______时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．
【答案】50、70或160
【详解】解：如图1所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE交BC于点F，连接OC，
是的直径，
故当时， 直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．
如图2所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与BC交于点F，连接OC，
是的直径，
故当时， 直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．
如图3所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与AC交于点F，连接OC，
是的直径，
故当时， 直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．
故答案为：50、70或160．
31．如图，点C，P均在上，且分布在直径的两侧，于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【详解】（1）∵是的直径，，
，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
32．如图，已知点在△的外部，，点在边上，．
(1)求证：；
(2)在边取一点，如果，，求证：．
【详解】（1）∵，
∴
∵，
∴ ，
∴，
∴．
（2）由（1）得
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴，
33．如图，在和中，，．
(1)和相似吗？为什么？
(2)如果，则成立，据此你能说明和相似吗？
【详解】（1）解： ，
∴，
，
，
；
（2）解： ∵，
∴，
∴，
，，
．
题型七 利用相似三角形的性质求解
34．若两个相似三角形的对应高的比是，则它们的周长比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵两个相似三角形的对应高的比是，
∴它们的相似比为
∴它们的周长比为．
故选：B．
35．如图，分别是的边上的点，且，若：：，则：的值是（ ）
A．：B．：C．：D．：
【答案】B
【详解】解：：：，
：：，
，
∽，
．
故选：B．
36．已知中，，，，分别为直线，上的点，且，若以点，，为顶点的三角形与相似，则_____．
【答案】或
【详解】解：如图，
，，,
当时，
即
解得
当时，
即
解得
故答案为：或
37．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，
横杆与的距离是3m，则P到的距离是___________m．
【答案】1.5
【详解】作于E，交于F，如图，
∵，
设，则
得
即P点到的距离是1.5m.
故答案为：1.5
38．如图，，，．
(1)求的长．
(2)若平分，求的长．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，即，
∴．
（2）∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴．
39．如图所示，在平行四边形中，是的延长线上一点，，连接与，，分别交于点，．
(1)若的面积为3，求平行四边形的面积；
(2)求证．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形的面积为：；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
题型八 利用相似三角形求坐标
40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴，
∴，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选：C．
41．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】∵点P的纵坐标为，
∴点P在直线y＝上，
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)；
②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB•OA，
∴＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4，
∴P(1，2+)或(1，2﹣)，
综上所述，符合条件的点P有3个，
故选D．
42．如图，在直角坐标系xOy中，，，连接AB并延长到点C，连接CO，若，则点C的坐标为______．
【答案】
【详解】解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，
如图，过点作轴于点，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
所以点的坐标为，
故答案为：．
43．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______．
【答案】2或4
【详解】如图，
∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ，
∴ ，，，
；
∴是直角三角形
∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），
∽
∴
∴=1
∴
当时，CM=2；当时CM=4，
故答案为：2或4．
44．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点，
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数过点
∴且
将，带入直线
得：，
故一次函数为：．
（2）解：设点，则点，点
则，
当时
即：，解得：，（舍去）
∴点．
45．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与与y轴相切，且点C坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0），与⊙C相切于点D．
（1）求直线l的解析式．
（2）是否存在⊙P，使圆心P在x轴上，且与直线l相切，与⊙C外切？如果存在，请直接写出圆心P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【详解】解：（1）连接CD
∵点C坐标为（1，0），A（-1，0）
∴AC=1－（-1）=2，OA=OC=1
∵⊙C与y轴相切，直线l与⊙C相切于点D
∴CD=OC=1，∠CDA=90°
∴sin∠CAD=
∴∠CAD=30°
在Rt△AOB中，OB=OA·tan∠OAB=
∴点B的坐标为（0，）
设直线l的解析式为y=kx＋b
将点A、B的坐标代入，得
解得：
∴直线l的解析式为y=x＋；
（2）当⊙P在⊙C左侧时，则⊙P与⊙C外切于点O，与直线l相切于点E，连接PE，设⊙P的半径为r
∴∠AEP=∠ADC=90°，OP=PE=r，AP=OA－OP=1－r，
∵∠EAP=∠DAC
∴△AEP∽△ADC
∴
即
解得：r=
∴此时点P的坐标为（，0）；
当⊙P在⊙C右侧时，则⊙P与⊙C外切于F，与直线l相切于点E，连接PE，设⊙P的半径为r
∴∠AEP=∠ADC=90°，PF=PE=r，AP=OA＋OF＋PF=1＋2＋r=3＋r，
∵∠EAP=∠DAC
∴△AEP∽△ADC
∴
即
解得：r=3
∴OP=OF＋PF=5
∴此时点P的坐标为（5，0）
综上：存在，圆心P的坐标为（，0）或（5，0）．
题型九 相似三角形性质与判定的综合应用
46．如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（ ）
A．34B．27C．30D．32
【答案】C
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：C
47．如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
48．如图，交于点C，，若，则_____．
【答案】2
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：2
49．如图，在矩形中，，，B为中点，连接．动点M从点O出发沿边向点A运动，动点N从点A出发沿边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，，，设运动时间为秒．则______时，为直角三角形．
【答案】或8
【详解】解：过点作的垂线，交于点，交于点，如图，
点是的中点，
，
，
由勾股定理可求：，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，
由勾股定理可求：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当，
由题意知：此情况不存在，
综上所述，为直角三角形时，或8，
故答案为：或8．
50．如图，在矩形中，E，F分别是的中点，连接，若，
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，，E，F分别是的中点，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
51．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
(1)求证：；
(2)连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
(3)若，求BF的最大值．
【详解】（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
设，则，
∵，
∴，即
∴，
在中，，
∴要使最大，则要使最大，
∵，
∴，
∴．
52．如图1，和都是等腰直角三角形，，且点A是上的点（点A不与点D，E重合），过点B作交的延长线于点H，的延长线交于点G．过点A作交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)如图2，若，求的值．
【详解】（1）
，
，
，
（2）
，
，
，
∴=，
，
∵，
∴；
（3）如图2，
作于P，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
，
，
，
，
设，
，
，
=
=
=﹣1．
53．如图，已知，若三点共线，线段与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，的面积为，求的面积．
【详解】（1）证明：，
，
，即，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
54．如图，在中，，，
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长；
(3)若，时，四边形的面积是______．
【详解】（1）解：证明：∵在中，，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴
∴；
（3）∵，，
∴相似比为
∴，
∵，
∴，
∵，相似比为，
∴面积之比为，
∴，
∴．
55．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．
(1)图1中阴影部分的面积与的面积比为______；
(2)若将固定不动，把绕点A逆时针旋转，此时线段，射线分别与射线交于点M，N．
①当旋转到如图2所示的位置时，求证：∽；
②如图2，若，求的长；
③在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含d的式子表示）．
【详解】（1）解：∵、都是等腰直角三角形，
∴，，
∴∽，
∴，
∴阴影部分的面积与的面积比为，
故答案为：．
（2）解：①证明：∵，，
∴∽；
②解：在中，，，
则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴∽，
∴，即,
解得：；
③解：如图2，当点N在线段上时，
由②可知：∽，
∴，即
解得：，
∴，
如图3，当点N在线段的延长线上时，
综上所述：的长为或．
56．如图，A，B两点的坐标分别为，，点P，Q同时出发作匀速运动，其中点P从A出发沿向终点O运动，速度为每秒3个单位；点Q从O出发沿向终点B运动，速度为每秒2个单位，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也随之停止运动．
(1)坐标平面内是否存在点C，使以O，A，C为顶点的三角形与全等？请直接写出点C的坐标；
(2)设从出发起，运动了t秒，以O，P，Q为顶点的三角形与相似，求出此时t的值；
(3)是否存在t，使 为等腰三角形？若存在，求出运动的时间t；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）如图所示，
当时，，
∴根据对称的性质可得，点C的坐标为；
当时，，，
∴根据对称的性质可得，点C的坐标为；
当时，，，
∴根据对称的性质可得，点C的坐标为；
∴综上所述，当点C的坐标为，或时，以O，A，C为顶点的三角形与全等；
（2）∵
∴，
，，
分两种情况讨论：
①如果∽，则，
，解得
②如果∽，则 ，
，解得
故当或时，以O，P，Q为顶点的三角形与相似；
（3）当为等腰三角形时，分三种情况：
①如果，那么，解得：
②如果，如图，过点P作于F，
则
在中，，
，
，
解得：
③如果，如图，过点Q作于F，
则
在中，，
，
，解得：
综上所述：当或或时，为等腰三角形．
题型十 位似图形
57．如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则点B的对应点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，
∴点B的坐标为，即，
故选：A．
58．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（ ）
A．4B．6C．9D．15
【答案】C
【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3，
∴，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
59．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【详解】解：点，相似比为，
∴点的对应点的坐标是，即，或者，即，
故选：．
60．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点B的坐标是，则点C的坐标是_____
【答案】
【详解】∵点B的坐标是，
∴
∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
作交于点E，
∵，
∴
∴
∴．
∴点C的坐标是．
故答案为：．
61．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点，分别为点，．若，则的长为______．
【答案】10
【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为，
∴，即，
解得：．
故答案为：10．
62．如图，的顶点都在网格点上，点M的坐标为．
(1)以点M为位似中心，位似比为3，将放大，在第二象限得到，画出；
(2)直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．
（2）解：如图，，．
63．如图，小明在学习《位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)在图中标出与的位似中心点M的位置，并直接写出点M的坐标；
(2)若以点O为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的相似比为2（只画出一个三角形即可）．
【详解】（1）解：如图，点M为所作，M点的坐标为；
（2）解：如图，为所作．