2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练16 利用导数研究函数的极值、最值（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练16 利用导数研究函数的极值、最值（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n等于( )
A.0B.2
C.-4D.-2
答案:B
解析:f'(x)=3x2-6x+1,因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,
所以x1=m,x2=n为3x2-6x+1=0的两根.
由根与系数的关系,可知m+n=-(-6)3=2.
2.若x=1是函数f(x)=ax+ln x 的极值点,则( )
A.f(x)有极大值-1
B.f(x)有极小值-1
C.f(x)有极大值0
D.f(x)有极小值0
答案:A
解析:f'(x)=a+1x(x>0).
∵x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,
∴f'(1)=0,∴a+11=0,∴a=-1.
当x>1时,f'(x)0,解得a>1.
因此“a>3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)内有极值”的充分不必要条件.
5.已知函数f(x)=13x3-4x+a在区间[0,3]上的最大值为2,则a的值为( )
A.-103B.2C.5D.223
答案:B
解析:f'(x)=x2-4.令f'(x)>0,解得x>2或x0,x1+x2=ba>0,x1x2=-2ca>0,
所以b2+8ac>0,且ab>0,acb-1B.ln a0),则g'(a)=1a-3=1-3aa,
即g(a)在区间0,13内单调递增,在区间(13,+∞)内单调递减,
故g(a)max=g13=1-ln 30,可得x6;由f'(x)=3(x2-8x+12)0在区间(1,+∞)内恒成立,
此时,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,与题意不符.
当b>1时,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
由函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,得b≥2.
当2≤b0).
f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1).
令f'(x)=0,
解得x=0或x=1a.
分以下三种情况讨论:
①若1a>1,即00,
所以f(x)min=f(-1)=12-a.
③当a=1时,f(x)=x3-32x2+2,则f'(x)=3x2-3x=3x(x-1).
由f(x)在区间[-1,1]上的单调性,知求此区间的最小值只比较f(1),f(-1)的大小即可,f(1)=32,f(-1)=-12,
所以f(x)min=f(-1)=-12.
综上所述,f(x)min=f(-1)=12-a.
三、探究创新
15.已知函数f(x)=x2-1x+aln x(a∈R).
(1)当a=-3时,讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围.
解:(1)当a=-3时,f(x)=x2-1x-3ln x(x>0),
f'(x)=2x+1x2-3x=2x3-3x+1x2=2x2(x-1)x-3-12x+3+12,
当3-120.
故f(x)在区间3-12,1内单调递减,在区间(0,3-12)和(1,+∞)内单调递增.
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,
则需f'(x)=2x+1x2+ax=2x3+ax+1x2(x>0)有两个不相等的正零点.
令g(x)=2x3+ax+1(x>0),故需g(x)有两个不相等的正零点,而g'(x)=6x2+a.
①当a≥0时,g'(x)>0,此时g(x)不可能有两个不相等的正零点,故f(x)不可能有两个极值点.
②当a