江苏省盐城市建湖县第二中学2025届高三三模 数学试题（含解析）

这是一份江苏省盐城市建湖县第二中学2025届高三三模 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．“，使”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．或
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．的奇偶性是（ ）
A．偶函数B．奇函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
4．如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ）
A．B．
C．或D．或
7．在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（ ）项
A．2B．3C．4D．5
8．设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示：
针对上表数据，下列说法正确的有（ ）
A．销量的极差为3.6
B．销量的60%分位数是13.2
C．销量的平均数与中位数相等
D．若销量关于月份的回归方程为，则
10．在中，，则（ ）
A．B．的面积为8
C．D．的内切圆半径是
11．已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k不能取的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 .
13．若随机事件、满足：，，，则 .
14．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足，求数列的前n项的和.
16．已知函数，其中．
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围．
17．如图，在三棱柱中，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若侧面底面，底面是等边三角形，侧面是菱形，且，求直线与侧面所成角的正弦值.
18．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
19．在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.
(1)第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率.
(2)小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率.
参考答案
1．【答案】C
【详解】当时，有解；
当时，二次函数开口向上，所以有解；
当时，有解，则，解得；
综上可得；
因为真包含于，
所以“，使”的一个充分不必要条件是.
故选C.
2．【答案】C
【详解】,
,
故选: C.
3．【答案】A
【详解】令，，
又，
所以函数是偶函数.
故选A.
4．【答案】A
【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形，
由台体的体积公式可得，解得，
故容器的高为，容器的容积为，
故选A.
5．【答案】A
【详解】因为向量在向量方向上的投影向量是，则，
设非零向量的夹角为，
根据题意可得，
且，所以．
故选A.
6．【答案】C
【详解】由题意得，设直线，
联立得，
，
由韦达定理得，
故，
圆心O到直线的距离为，
所以，解得，
所以或
故选C.
7．【答案】C
【详解】根据二项式定理可知的展开式的通项为
.
由已知可得，，解得.
根据二项式定理的性质可知，该展开式中二项式系数最大的是第4项.
故选C.
8．【答案】A
【详解】由，可得，
所以曲线在处的切线方程是，
令得，所以
.
故选A．
9．【答案】ACD
【详解】对于A，因销量的最大值为15.3，最小值为11.7，故极差为，故A正确；
对于B，将销量按照从小到大排列为：，
由，可知销量的60%分位数是第四个数13.8，故B错误；
对于C，销量的平均数为，而中位数为，故C正确；
对于D，因，，样本中心点在回归直线上，
故有，解得，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】由，所以，
由余弦定理有：，
所以，故A正确；
由，所以，故B正确；
，故C错误；
设的内切圆半径为，则有，
即，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】AB
【详解】解：由题意得：
数列是递减数列
对于一切的恒成立
即对于一切的恒成立
故对于一切的恒成立，当时，有最大值
故，所以
故选AB.
12．【答案】
【详解】由，可得，
所以，所以，所以.
13．【答案】
【详解】因为，，
，所以，
由条件概率公式可得.
14．【答案】
【详解】由题可得，函数最多只有一个零点.
若零点存在，则，解得，
又由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
且当时，，
所以最多有两个零点.
因为有三个零点，所以有两个零点，
则，
解得，所以实数的取值范围为.
综上可得：实数的取值范围为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为成等比数列，则，
且，则，即，解得或（舍去），
所以.
（2）设数列的前n项的和为，
因为，则，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，定义域为，
所以，，，
所以的图象在处的切线方程为，
即，
化为一般式为．
（2）函数，定义域为，
所以，
因为函数在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
即在上必存在零点，
由于，由二次函数性质可知只需，
解得，即的取值范围是．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
如图，取的中点，连接.
因为为的中点，所以，且.
因为为的中点，所以.
又，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）如图，取的中点，连接.因为底面是等边三角形，
所以.
因为侧面是菱形，且，
所以.
又侧面底面，侧面底面侧面，
所以底面.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，不妨设三棱柱的各棱长为2，
则，，
故，.
设侧面的法向量为，
则即
令，得，所以侧面的一个法向量为.
设直线与侧面所成的角为，
则
，
故直线与侧面所成角的正弦值为.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定a,b,c的值，得出椭圆的标准方程.
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解.
【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以
．
所以椭圆C的方程为：．
（2）依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
由韦达定理得．
又，则

注意到，即：
.
【方法总结】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．【答案】(1)（ⅰ）；（ⅰⅰ）
(2)
【详解】（1）（i）已知，则.
在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率.
根据全概率公式，将上述概率值代入可得：
.
（ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率
根据贝叶斯公式.
由前面计算可知，，，代入可得：
.
（2）设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）.
已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为.
则；
；
.
因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况：
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、、题，其概率为.
因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为：
.
月份x
1
2
3
4
5
6
销量y（万辆）
11.7
12.4
13.8
13.2
14.6
15.3
题号
第1题
第2题
第3题
得分
2分
4分
6分