广东省汕头市濠江区2024年中考二模数学试卷（解析版）

这是一份广东省汕头市濠江区2024年中考二模数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A选项中，；B选项中，;
C选项正确；
D选项中，;
故选：C．
3. 如图，在ΔABC中，，将ΔABC绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设=x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB.
∴∠=∠B.
∵，∴∠C=∠CA=x°.
∴∠=∠C+∠CA=2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴的度数为24°.
故选：C.
4. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲乙经过多少日相逢?若设甲经过日相逢，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设甲经过x日与乙相逢，根据题意得：，
故选：C．
5. 若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵点在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选：C．
6. 如图，已知，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
，，
，
，
，
；
故选：B．
7. 半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】如图，
∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，
∴，∴，
∴的内接正多边形是六边形，
，
，∴是正三角形，
，∴正六边形的边长为2，
故选：B．
8. 甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度y（单位m）与气球上升的时间x（单位min）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 甲气球上升过程中y与x的函数关系为：y＝2x+5
B. 10min时，甲气球在乙气球上方
C. 两气球高度差为15m时，上升时间为50min
D. 上升60min时，乙气球距离地面高度为40m
【答案】C
【解析】设甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝kx+b，则把点（0，5）和点（20，25）代入解析式解得k=1，b=5，∴y＝x+5，故选项A不合题意；
由图象可知，10min时，甲气球在乙气球下方，故选项B不合题意；
由甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝x+5，可知甲气球上升速度为1m/min，乙气球上升速度为：（25﹣15）÷20＝0.5m/min，设两气球高度差为15m时，上升时间为 xmin，根据题意，得：5+x﹣（15+0.5x）＝15，解得 x＝50，所以两气球高度差为15m时，上升时间为50min，故选项C符合题意；
上升60min时，乙气球距离地面高度为：15+0.5×60＝45（m），故选项D不合题意．
故选：C．
9. 如图1，在菱形中，，点E是边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，当点P从B向点D运动时，y与x的函数关系图2所示，其中H（a，b）是图象上的最低点，则点H的坐标为( )
A. （，）B. （，）
C. （，）D. （，）
【答案】A
【解析】连接，作，垂足为，交于，
由菱形是关于对角线所在直线的对称可知：，，
，，
，，
由三角形三边关系和垂线段最短知，
，
即有最小值，
菱形中，，，
在中，，
解得，，
中，，
又，
，
是图象上的最低点，，
，，
故选：A．
10. 如图，在中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与分别交于点、点，连接，以下结论正确的有几个（ ）
（1）点是的外心；（2）平分；（3）；（4）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】由作图可知，是的角平分线，
，是的中线，
∴是的角平分线
∴点是的内心，故（1）错误；
，，
，
在和中，，
，
，，，
即平分，故（2）正确；
，
，
，
，故（3）正确；
，，
，
，即，整理得，
，
，
，故（4）错误；
故选：B．
二、填空题（本大题6题，每小题3分，共18分）．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 要使代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________________．
【答案】x≥﹣1且x≠
【解析】由题意可知：，
∴x≥﹣1且x≠，
故答案为：x≥﹣1且x≠．
12. 计算＋的结果是_____．
【答案】
【解析】＋
，
故答案为：．
13. 写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是___________．
【答案】“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”
【解析】由题意可得，
逆命题为：“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”.
14. 如图，矩形OABC面积为54，它的对角线OB与双曲线（k≠0）相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为________．
【答案】-24
【解析】如图所示，过点D作DE⊥OC于点E，
∵四边形OABC是矩形，
，，
，
，
，
∵，
，
∴，
∴，
又∵反比例函数图像在第二象限，
∴，∴．
15. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是______．

【答案】4
【解析】设扇形的半径是，则，
解得：，
扇形的半径是4．
故答案为：4．
16. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，点是的中点，连接，则长的最小值为_________．
【答案】
【解析】取的中点F，连接，则
∵矩形中，，，点是的中点，
∴，，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵Q是中点，F是中点，
∴，
∴点Q在上，
当时，最短，如图所示，
∵，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得：
，
∴，
∴=，
∴，
即长的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解不等式组并写出它的所有整数解．
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得：，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
则不等式组的解集为：．
整数解为0，1，2.
18. 计算：
解：
．
19. 2017年《人说山西好风光》第二季开播，吸引了更多游客来山西观光旅游，主办方在整个评选活动期间开通好风光旅游专线，不仅带游客游山西，还邀请游客参加节目录制．为此，甲、乙两家旅行社分别提出赴山西某地旅游的团队(至少人以上)优惠方案：甲旅行社的方案是买张全票，其余人按折优惠；乙旅行社的方案是一律按折优惠，且两家旅行社的原价均为每人元．若参加旅游的团队人数为～人，游客如何选择旅行社比较合算？
解：设参加旅游的人数为人，甲、乙旅行社的收费分别为元、元，依题意得，
，
，
由得：，解得：x=6，
由得：，解得：，
由得：，解得：，
综上所述，当人数x=6时，两家旅行社的收费一样多，
当人数时，乙旅行社的收费较优惠，
当人数时，甲旅行社的收费较优惠．
20. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转．
（1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离；
（2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度．
（参考数据：，，结果精确到）
解：（1）如图2，过点作于点，延长交于点，
，
，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
即压杆端点到底座的距离为；
（2）如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
即压杆端点到底座的高度为．
21. 第41届潍坊国际风筝会来临之际，某商铺打算购进甲，乙两种风筝的文创产品向游客销售．已知甲种的进价比乙种的进价每件多1元，用1600元采购甲种的件数是用720元采购乙种的件数的2倍，两种文创产品的售价均为每件15元．
（1）求甲、乙两种文创产品每件的进价分别为多少元？
（2）商铺计划采购这两种文创产品共800件，采购乙种的件数不低于490件，但不超过甲种件数的4倍．厂家给出的优惠方案是：若一次性采购甲种超过180件时，甲种超过的部分按原进价打6折．设这次购买甲种文创产品的件数为件，售出甲、乙两种产品所获的总利润为元，请写出与的函数关系式，并求出这次采购的文创产品的最大利润．
解：（1）设甲种文创产品每件的进价为元，则乙种文创产品每件的进价为元，
由题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，．
答：甲种文创产品每件的进价为10元，则乙种文创产品每件的进价为9元．
（2）设购进甲种饰品件，由题意得：，解得：，
所以购进甲种文创产品件数的取值范围为：，且为整数；
设采购甲种文创产品件时的总利润为元，
当时，，
因为，所以随的增大而减小，
所以当时，有最大值是：，
当时，，
因为，所以随的增大而增大，
所以当时，有最大值是：，
因为，所以的最大值是5010，此时，
即当采购甲种文创产品310件，乙种文创产品490件，商铺获利最大，最大利润为5010元．
22. 如图，为的直径，点C在上．
（1）尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切；
（3）连接，若，求的值．
（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：如图，记与的交点为，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（3）解：记交于点Q，连接，，，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵根据相切有，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴．
23. 如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：为的中点；
（3）若，求矩形的周长．
（1）解：在矩形中，，
是由旋转所得，
，
，
；
（2）证明：过点作于点，如图，
由（）知，
，
又∵，
∴，
在和中，，
，
，
即为的中点；
（3）解：，为的中点，
，
∴为等腰三角形，
又∵，
∴等腰三角形，
∵两个等腰三角形有公共底角，
，
由（）知，
，
设，则，，
，
解得，∴，，∴，
在中，，，，
∴，
矩形的周长为．
24. 【问题初探】
（1）如图1，中，，，点E在线段上，，垂足为点D，连接，，求证：；
丽丽和东东两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①如图2，丽丽从条件出发，发现，利用条件，结合“边角边”定理在边上截取，构造了一对全等三角形，将求证的问题转化为与的数量关系．
②如图3，东东受到丽丽的启发，也利用“边角边”定理，在的延长线上取点F，使，连接，得到了，发现，利用边角之间的关系证明了问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程，也可以用不同于上面两位同学的方法进行解答．
【迁移应用】
（2）如图4，在中，，，点E在线段上，过点B作，交的延长线于点D，线段绕点D逆时针旋转得到线段，当点F恰好在的延长线时，求证：．
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的面积．
（1）解：选丽丽、证明：由题意知，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
选东东、证明：如图3，延长到，使，连接，
由题意知，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
如图4，作的延长线于，
由旋转的性质可知，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
由题意知，，，
∵，，
∴得，，即，
解得，，
∴的面积为．
25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于，B两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值；
（3）如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线与x轴分别交于，B两点，与y轴交于点．
，，
，，
设抛物线的解析式为
（2）过点D作轴于点G，交于点F，过点A作轴交的延长线于点K，
，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，，，
设，则，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
（3）符合条件的点P的坐标，为， ，
理由如下：
，直线l的解析式为，
设，
当点P在直线右侧时，如图，过点P作轴于点N，过点Q作
于点M，
，，，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去），，，
当点P在直线左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为，
此时点P的坐标为，
综合所述，存在这样的点P，且坐标为为或 .