辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1. 设全集，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以，又，
所以.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】 “，”的否定是“，”
故选：C
3. 已知，则函数的最小值是（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 20
【答案】D
【解析】由于，所以，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以函数的最小值是.
故选：D
4. 函数的最大值是（ ）
A. B.
C. 4D.
【答案】B
【解析】设，则，
即，
因为，所以当时，的最大值为，
故选：B.
5. 设在二维平面上有两个点，，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立，
则恒成立，
所以恒成立，
情形一：当时，即x>1或时，
不等式恒成立，
情形二：当时，或恒成立，
故或恒成立，
（i）当时，或恒成立，
当且仅当或恒成立，
当且仅当或符合题意；
（ii）当时，或恒成立，
当且仅当或恒成立，
当且仅当或符合题意；
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
6. 关于x的方程有唯一解，则m的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由有唯一解可知有唯一解，
当时，方程为，有一解，满足题意；
当时，方程为，有一解，满足题意；
当时，由原方程可得有唯一解，
所以，解得，此时方程有一解，满足题意.
综上，m的取值集合为，
故选：D
7. 已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】C
【解析】对于函数，
，
当，即时，没有零点，不符合题意.
当，即或时，
当时，，零点为，
，符合题意.
当时，，零点为，
，不符合题意.
当，即或时，有两个不相等的零点，
至少有一个零点在区间内，
则需或，
解得，，
另外若，
则，零点为或，不符合题意.
若，
则，零点为或，
，符合题意.
综上所述，的取值范围是：.
故选：C
8. 已知函数定义域为的偶函数，且，当时，，则（ ）
A. B. 0C. 506D. 2024
【答案】B
【解析】因为函数定义域为的偶函数，所以恒成立，即，
这表明的一个对称中心是2,0，
又，这表明的一条对称轴是，
所以，这表明的周期为8，
当时，，
所以，
，
所以，
所以
.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 下列选项叙述中正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 若，则“”的充要条件是“”
D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
【答案】BD
【解析】对于A，取，满足，而，因此“”不是“”的充分条件，A错误；
对于B，，而当时，成立，显然不成立，
则“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对于C，，而，因此“” 不是“”的充要条件，C错误；
对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是，
所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，D正确.
故选：BD
10. 下列选项中正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的对称中心为
C. 已知函数，则
D. 函数，，其中表示不超过x最大整数，则函数的最大值为l
【答案】AC
【解析】对于A，要使得函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为，故A正确；
对于B，函数在处有定义，但在处无定义，所以B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，使得，从而恒成立，故D错误.
故选：AC.
11. 已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 当a，b，时，的最小值为8
【答案】ABD
【解析】对于A，
，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，，则，
当且仅当或时取等号，B正确；
对于C，由，得，
当且仅当时取等号，取，则，C错误；
对于D，，，则，当且仅当时取等号，
于是，当且仅当时取等号，
因此当时，，取得最小值8，D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为________.
【答案】
【解析】若函数定义域为，，
要使得有意义，则需，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13. 已知实数x、y满足，，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】通过观察可知，
由于，则，
而，所以.
故答案为：
14. 若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为________.
【答案】
【解析】不等式对一切正数x，y恒成立当且仅当不等式对一切正数x，y恒成立，
令，所以恒成立，
所以不妨让，
则
，等号成立当且仅当，
综上所述，当时，有最大值1，
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合，
（1）若，求实数a的取值范围
（2）若，求实数a的取值范围
解：（1）若，这意味着一元二次方程有实数解，
所以或，
所以实数a的取值范围为；
（2）；
若，则当且仅当，
情形一：若，显然满足题意，此时；
情形二：若，此时不是集合子集，不符合题意，
若，此时，符合题意；
情形三：若或，且，则只能，此时，无解；
综上所述，实数a的取值范围为.
16. 已知函数
（1）方程在上有两个不等实数根，求a的取值范围
（2）求解关于x不等式
解：（1）因为方程在上有两个不等实数根，
所以需满足，即，
解得，
即a的取值范围为.
（2）方程的判别式，
①当，即时，方程无实数根，
所以的解集为；
②当，即或时，方程有两相等实根，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
③当，即或时，方程有两不相等实根，
所以不等式的解集为或；
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当或时，不等式的解集为或.
17. 已知定义在上的函数满足，且当时，.
（1）求的值，并证明为奇函数
（2）求证：在上是增函数
（3）若，解关于x的不等式
（1）证明：定义在上的函数满足，
取，则，所以，
，取，则，
于是，
所以为奇函数.
（2）证明：，则，由当时，，
得，，
所以在上是增函数.
（3）解：由，得，
不等式，
则，由（2）知，，即，
解得或，所以原不等式的解集为.
18. 如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024年上半年新能源汽车销售469万辆，同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）.
（1）求函数的解析式；
（2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.
解：（1）依题意，，而，
所以函数的解析式为，
即.
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，；
当时，
，当且仅当，即时取等号，
而，则当时，，
所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.
19. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJ Bruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点.
（1）若定义在R上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式.
（2）若对任意的实数b，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件：
①图象上两个不同点M，N的横坐标是函数的不动点；
②M，N的中点C在函数的图象上，求b的最小值.
（注：两个点，的中点C的坐标公式为）
解：（1）设函数的唯一不动点为，即，由，
得，即，于，解得或，
当时，，由，得，解得或，有两个不动点，不符合题意；
当时，，由，得，解得，只有一个不动点，符合题意，所以函数的解析式是.
（2）由，得，由对任意的实数b，函数恒有两个不动点，得对任意实数b，恒成立，于是，
解得，
设函数的两个不动点为，则，又
于是线段的中点，即，
由点C在函数的图象上，得，
整理得，当且仅当时取等号，
所以b的最小值为.