辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知直线与，若，则的值是等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共58分）
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1. 已知直线的方向向量为，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设，则的倾斜角为.
故选：A.
2. 已知向量，则下列向量中与成的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A选项中的向量，，
则；
对于B选项中的向量，，
则；
对于C选项中的向量，，
则；
对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.
故选B.
3. 已知直线与，若，则的值是（ ）
A. 3B. 5C. 3或5D. 1或2
【答案】A
【解析】由题意得，解得或5，
当时，，，两直线平行；
当时，，，两直线重合，故舍去；
综上，若，则的值是3.
故选：A.
4. 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，
故选C．
5. 过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得，可得，
所以，曲线表示为圆的上半圆，且该半圆的半径为，

，
当且仅当时，等号成立，
此时，原点到直线的距离为，
由图可知，直线的斜率存在，且，
则直线的方程为，即，
由点到直线的距离公式可得，因为，解得，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
6. 若与相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则实数的值是（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】B
【解析】如图所示，由圆的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心，
在中，由已知条件知，，
所以，由于，则.
故选：B.
7. 已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易知点，双曲线的渐近线方程为，即，
所以，焦点到渐近线的距离为，
设，，由双曲线的定义可得，
由余弦定理可得，
即，所以，.
故选：D.
8. 在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，分别取的中点，连接，则直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作的中点，连接，
因为，所以或其补角为异面直线所成的角，
由已知得，则，所以，
所以，又，，
所以等腰三角形，所以，
因为，所以，
在中，由余弦定理可知.
故选：B.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分）
9. 已知点，过点直线交圆于两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为1
B. 满足的弦有且只有2条
C. 当最小时，圆上的点到直线的距离最小值为0
D. 当最小时，圆上的点到直线的距离最大值为
【答案】BCD
【解析】由圆，则圆心，半径为，
由于，所以点在圆内部.
当时，，故A错误，
此时圆上的点到直线的距离最小为0，
圆上的点到直线的距离最大为，故CD正确；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，则.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，
则圆心到直线的距离为，
所以，
当时，即，
整理得，由于，
则方程有两个不相等的实数根，
则满足的弦有且只有2条，故B正确.
故选：BCD.
10. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ）
A. 与的距离为
B. 当点为的中点时，
C. 当点在的中点时，点到平面的距离为
D. 点到直线的距离的最小值为
【答案】BC
【解析】对于A选项，连接，
因为平面，平面，则，
同理可得，所以，与的距离为，A错；
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
对于B选项，当点为线段的中点时，，
此时，，B对；
对于C选项，当点在的中点时，，，，设平面的法向量为m=x,y,z，则，
取，可得y=-1，，
所以为平面的一个法向量，
此时，点到平面的距离为，C对；
对于D选项，设，其中，
，
所以，点到直线的距离为
，
当且仅当时，等号成立，故点到直线的最短距离为，D错.
故选：BC.
11. 已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的直线方程是
C. 直线的斜率为
D. 的周长是8
【答案】ACD
【解析】由于，故A正确，
由于，故为等边三角形，故,
因此，F1-1,0,
因此直线的直线方程为，即，B错误,
,则，
故,,
故，故C正确，
对于D, 为等边三角形，且,故是的垂直平分线，
故，故D正确，
故选：ACD.

第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知平行直线，则.与的距离是__________.
【答案】
【解析】因为，则，解得，
此时，即，
所以.与的距离是.
13. 如图，二面角的大小是45°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是___________.
【答案】
【解析】如图
过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作的垂线，垂足为D，连接AD，
由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角，为
又由已知，
连接CB，则为AB与平面所成角，设，
则.，.
14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点（点在第一象限），为的中点，双曲线的离心率为，若点到四边形的四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】根据离心率为，故，
设Ax1,y1,Bx2,y2,则，
故,
故，故，
故的方程为，令，，故直线与轴的交点为34,0，
故,当且仅当三点共线时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，
故，为定值，当且仅当是和的交点，等号取到，故,
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知三点、、.
（1）求过、、三点的圆的一般方程；
（2）过点的直线与圆交于点，且，求直线的方程.
解：（1）设过、、三点的圆的一般方程为，
则有，解得，
因此，过、、三点的圆的一般方程为.
（2）由（1）可知，外接圆标准方程为，
圆心为，半径为，
因为，
则圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，则，
解得，此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
16. 在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是菱形，，为上一点，且平面.

（1）求证：为中点：
（2）求直线与平面成角的正弦值.
（1）证明：连接交于点，连接，
因为四边形为菱形，，则为的中点，
因为平面，平面，平面平面，
所以，，故为的中点.
（2）解：取的中点，连接、，
因为是等边三角形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因为四边形为菱形，则，
又因为，则为等边三角形，所以，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则A1,0,0、、、、
、，
所以，，，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，
取，可得，
所以，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与左支相交于、两点.
（1）若，，求双曲线的方程：
（2）若直线的斜率为，且，求双曲线的离心率.
解：（1）由双曲线的定义可得，，
所以，，
因为，则，由可知，，则，
所以，双曲线的方程为.
（2）因为直线的斜率为，则，，
设，由可得，

在中，由余弦定理可得，①
在中，由余弦定理可得，②
由①②整理可得，
代入①式可得，所以，，
因此，双曲线的离心率为.
18. 在如图所示的几何体中，平面平面，是棱上一点（不包括端点）.
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线的距离.
（1）证明：因为平面平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）解：过点作，则平面，
以点为原点，的正方向分别为，，轴的正方向建立平面直角坐标系，
由，得，
设，
则，解得，
设平面的法向量为，且，
由，取，
设平面的法向量为，且，
由取，
设二面角的平面角为，则，
，解得或.
则点位于线段中点，或者八分之一点，且靠近点.
（3）解：因为二面角的平面角为锐角，结合图形特征，取离较远的一点，即，
此时，连接，
所以，
设点到直线的距离为，则.
19. 设分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程：
（2）设分别为轨迹上的两个动点，且.
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的取值范围.
（1）解：设，，
则，即，
又，则，
所以，所以，即.
所以动点的轨迹方程为.
（2）（i）证明：当斜率都存在且不为0时，
因为，
设直线，直线，，
由，得，，
同理得，，
故；
当斜率一个为0，一个不存在时，得；
综上可得为定值.
（ii）解：当斜率都存在且不为0时，
由（i）知，，
，
又，当且仅当时取等，
所以，
当斜率一个为0，一个不存在时，，
所以面积的取值范围为.