湖南省2024年中考第二次适应性考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省2024年中考第二次适应性考试数学试卷（解析版），共50页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．请问的相反数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】的相反数是；
故选D．
2. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．
故选B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】不是同类项，故A不符合题意；
故B不符合题意；
，运算正确，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选：C．
4. 为了纪念著名的数学家苏步青及其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的 行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
5. 如图，将一副直角三角板重叠摆放，其中，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直角三角板中，，
，，
，
，
，
故选C．
6. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查
B. 一组数据，2，5，5，7，7，4的众数是7
C. 明天的降水概率为，则明天下雨是必然事件
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定
【答案】D
【解析】A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；
B、一组数据，2，5，5，7，7，4中，5和7出现的次数最多，都是2次，故这组数据的众数是5和7，故原说法错误，不符合题意；
C、明天的降水概率为，则明天下雨的概率更大些，是随机事件，不符合题意；
D、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定，符合题意；
故选：D．
7. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力F关于动力臂l的函数图象为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为和
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：，
即，是反比例函数，
又∵动力臂，故B选项符合题意．
故选：B．
8. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
因此该不等式组的解集为，
在数轴上表示为：

故选A．
9. 某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
则这15名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，共有15名学生，成绩按从小到大排列， 位置排在中间的是第8名，
所以中位数是95，
平均数为，
故选：B.
10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】且
【解析】由题意，得且，
解得且．
故答案为：且．
12. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则另一根为_________．
【答案】
【解析】∵，方程的另一个根为，
∴，∴．
故答案为：1．
13. 分解因式__________．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
14. 如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接、点D、E分别是、的中点，测得的长为12米，则的长为 _______米．
【答案】24
【解析】点D、E分别是、的中点，
是的中位线，的长为12米，
（米），
的长为24米．
故答案为：24．
15. 如图，若△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为_____．
【答案】6
【解析】过点O作OD⊥BC于点D，如图所示：
则BD=CD，
∵△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，CO=BO=6，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴ODOB=3，
∴BD，
∴BC=2BD=6，
故答案为：6．
16. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为________．
【答案】
【解析】，，
．
17. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为___．
【答案】8
【解析】设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m），
则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝4，
则k1﹣k2＝8．
18. 天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．请问2075年是___________年．（用天干地支纪年法表示）
【答案】乙未
【解析】2075年，尾数3为乙，2075除以12余数为11，11为卯，那么2075年就是癸卯年，
故答案为：乙未．
三、解答题（19、20题，每小题6分；21、22题每小题8分；23、24题，每小题9分；25、26题，每小题10分，共66分）
19. 计算：．
解：
．
20. 先化简，后求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
21. 如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．

（1）求的长；
（2）求的长（结果精确到0.1）．
（参考数据：）
解：（1）由题意得，，
，
．
（2），
．
22. 阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩．
（1）块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？
解：（1）设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
依题意得：，
解得：；
经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，
∴2x=2×600=1200．
答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
（2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，
依题意得：9600+600（）+1200y≥17700，
解得：．
答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻．
23. 为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：

（1）在表中： ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组；
（4）个小组每组推荐人,然后从人中随机抽取人参加颁奖典礼，恰好抽中、两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．
解：（1）∵本次调查的总人数为（人），
∴，
故答案为120，0.3；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，而第150、151个数据的平均数均落在C组，
∴据此推断他的成绩在C组，
故答案为C；
（4）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽中A﹑C两组同学的有2种结果，
∴抽中A﹑C两组同学的概率为．
24. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD且AB=CD,
∵CD=DF+FC,EF=CE+FC，
又∵CE=DF，
∴CD=EF=AB,
∴AB∥EF，AB=EF,
∴四边形AFEB是平行四边形，
又∵AF⊥CD，
∴是矩形；
（2）解：在中，
∵AC⊥BD，
∴是菱形，
∴AD=AB，BO=DO，
∵AB=5，CF=2,AB=CD,
∴DF=5-2=3=CE,
∴DE=DC+CE=5+3=8，
在中由勾股定理可得：，
∴BE=AF=4，
∴BD=，
∴．
25. 如图，已知是的直径，是上一点，，垂足为，连接，过点作的切线与的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的长．
（3）若，，求的半径．
（1）证明：，垂足为，
，
过点作的切线与的延长线相交于点，
，
，
，，
．
（2）解：连接，，
，，
，
，
，，
在中，，
，
，
，垂足为，，
，
，
是的直径，，
，
在中，，
在中，，
的长为．
（3）解：是的直径，，
，
，
，
，
设，则，由，得：，
，解得：，
，
，
，，，
，
，
的半径为．
26. 我们不妨约定：函数（a、b、c为常数）与x轴、y轴交点和原点构成图形是等腰直角三角形时的函数称“M函数”，等腰直角三角形中除掉原点外的两个顶点称“M点”，例如：函数与x轴交于点、，与y轴交于，是等腰直角三角形，则是“M函数”，其中B、C是“M点”．
（1）若一次函数是“M函数”，求k的值，并求出“M点”；
（2）若二次函数（a、b、c为常数，，）是过的“M函数”、与x轴交于点B，与y轴交于点C，B、C为“M点”，过点C作直线l平行于x轴，D是直线l上的动点，E是y轴上的动点，．
①当点D落在“M函数”上（不与点C重合），且时，求点D的坐标；
②取的中点F，当c为何值时，的最小值是？
解：（1）在中，令得，
令得，
∴直线与x轴交点为，与y轴交点为，
根据“M函数”的定义可得：，解得，
当时，，∴“M点”为，；
当时，，
∴“M点”为，；
（2）①设，则的两个实数根为m和1，∴，
∵，，∴，
∵B、C为“M点”，∴；
将，，代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
在中，令得：，
解得或，∴，
过点A作直线l于点H，如图：
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②连接、，如图：
由F是的中点，
∴，
∴点F在以点C为圆心，为半径的圆上，
∵，，
∴，，，
在中，，
当时，即时，满足条件的点F在线段上，
∴的最小值为，，
解得；∴；
当，即时，满足条件的点N落在线段的延长线上，
∴的最小值为，
解得；∴；
综上所述，的值为或．决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
2
8
2
3
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
组别
分数段（分）
频数
频率
A组
30
0.1
B组
90
n
C组
m
0.4
D组
60
0.2