黑龙江省哈尔滨九中2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨九中2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，a3+a4=12，则S6=( )
A. 36B. 24C. 17D. 16
2.函数y=lnx+1x的单调增区间为( )
A. (−∞,1)B. (0,1)C. (1,e)D. (1,+∞)
3.用1、2、3、4这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数是( )
A. 48B. 24C. 12D. 6
4.若数列{an}的前n项和为Sn，且an+1+an=2n，则S8=( )
A. 84B. 86C. 170D. 172
5.若4名学生报名参加数学，计算机、航模兴趣小组．每人选报1项．则不同的报名方式有( )
A. 34种B. 43种C. 3×2×1种D. 4×3×2种
6.函数f(x)=(x2−2x)ex的图像大致是( )
A. B. C. D.
7.已知f(x)定义域为R，f′(x)是f(x)的导函数，f(1)=0，对任意的x那有f′(x)−2f(x)>0，则不等式f(x)e2x>0的解集为( )
A. (1,+∞)B. (−∞,1)C. (−∞,0)D. (0,+∞)
8.已知a>0，不等式xex−ax≥alnx恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. [1,e]B. (0,1e]C. (0,e]D. (1e,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式成立的是( )
A. 1−1x≤lnx(x>0)B. x−1≥lnx(x>0)
C. ex0，即g(x)>g(1)时，x>1．
故答案为：A．
令g(x)=f(x)e2x，先利用导数判断g(x)的单调性，再将f(x)e2x>0转化为g(x)>g(1)，利用g(x)的单调性即可求解．
本题考查导数在解不等式中的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立求参数范围问题，属于中档题．
设f(x)=xex−a(x+lnx)，x>0，由题可知f(x)min≥0，利用导数研知存在x0使得f′(x0)=0，此时a=x0ex0，而f(x)min=f(x0)≥0，即1−x0−lnx0≥0，即x0+lnx0≤1，构造g(x)=x+lnx，由g(x)的单调性可知，x0∈(0,1]，构造h(x)=xex，x∈(0,1]，利用导函数研究h(x)的单调性，进而求得h(x)的值域，得出a的取值范围．
【解答】
解：不等式xex−ax≥alnx恒成立，即xex−a(x+lnx)≥0恒成立．
设f(x)=xex−a(x+lnx)，x>0，
则f′(x)=(x+1)ex−a(1+1x)=(1+x)(ex−ax)，x>0，
令f′(x0)=0，则a=x0ex0，
当x∈(0,x0)时，f′(x)0，
f(x)单调递增，
故只需f(x)min=f(x0)=x0ex0−a(x0+lnx0)=x0ex0(1−x0−lnx0)≥0，
因为x0>0，ex0>0，
所以只需1−x0−lnx0≥0，即x0+lnx0≤1，
设g(x)=x+lnx，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(1)=1，
所以需要x0∈(0,1]，设h(x)=xex，x∈(0,1]，则h′(x)=(1+x)ex>0，
所以h(x)在(0,1]上单调递增，所以h(x)的值域为(0,e]，
即a的取值范围为(0,e]．
故选：C．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，设函数f(x)=1−1x−lnx(x>0)，因此导函数f′(x)=1x2−1x=1−xx2，
当01时，f′(x)0)，因此导函数F′(x)=1−1x=x−1x，
当0