2024-2025学年上海市上海大学附属嘉定高级中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市上海大学附属嘉定高级中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分(不全相同)相比，一定不改变的是( )
A. 中位数B. 平均数C. 极差D. 方差
2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//n
B. 若m⊂α，n⊂β,m//n，则α/\!/β
C. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
D. 若m⊂α，n⊂α，m//β,n//β，则α/\!/β
3.圆C1:x2+y2−4y−5=0与圆C2:x2+y2+2ax+a2=1的位置关系不可能为( )
A. 相切B. 相交C. 内含D. 外离
4.若曲线y2=|x|−1与直线y=kx+2没有公共点，则实数k的取值范围为( )
A. −∞,−2− 52∪−2+ 52,+∞
B. −∞,−2− 52∪2+ 52,+∞
C. −∞,2− 52∪2+ 52,+∞
D. −2− 52,2+ 52
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.i=1+∞25i= ．
6.直线 3x+y+1=0的倾斜角为 ．
7.准线为直线y=4,且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 ．
8.已知事件A与事件B独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.2，则P(A∩B)= ．
9.有一组数据如下：26,23,25,16,34,32,34,40，这组数据的第75百分位数为 ．
10.已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn，若S4=3S2，则公比q= ．
11.若二项式(x+1 x)n展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为 ．
12.有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有 种．
13.若圆心为(3,0)的圆与双曲线x24−y2=1的渐近线相切，则该圆的标准方程为 ．
14.已知直线l经过点C(4,2)，且与x轴、y轴分别交于点A、点B，当|AC|⋅|BC|取最小值时，直线l的方程为 ．
15.如图，圆锥型容器内盛有水，水深2cm，水面直径3cm放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为 cm．
16.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是棱上一点，且|PA|−PC1=2，则符合要求的点P的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知直线l1:x+my+6=0，l2:(m−2)x+3y+2m=0．
(1)若l1⊥l2，求m的值；
(2)若l1//l2，求l1与l2间的距离．
18.(本小题14分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，E、F分别是SC、BD的中点．
(1)求证：EF//平面SAB；
(2)若SA⊥平面ABCD，且SA=2，求点A到平面SDB的距离．
19.(本小题14分)
已知等差数列an满足a2=−10,a10−4=2a7．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设数列an的前n项和为Sn，求Sn的最小值及取最小值时的n值.
20.(本小题14分)
某公司的业务部有100人，技术部有50人，后勤部有150人，采用分层抽样的方式，对这三个部门进行公司福利满意度问卷调查，其中业务部的问卷数据如下：
(满分10分)
(1)请根据上述数据绘制茎叶图并计算其极差、标准差、平均值(结果保留两位有效数字)
(2)若技术部抽样数据的均值为6.5，方差为0.32，后勤部抽样数据的均值为9.1，方差为1.25，求整体抽样数据的均值x和方差s2(结果保留两位有效数字)
(3)结合调查情况，分析公司福利情况并提出一些建议．
21.(本小题14分)
已知焦点在x轴上的椭圆，上顶点为P(0,1)，离心率为 32，点A,B,C是椭圆上不同的三个点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且k1+k2=t(t≠0)，求证：直线AB过定点．
(3)若OA+OB+λOC=0(00)，
由题可知，b=1，又离心率为 32，
所以 1−b2a2= 32⇒a2=4，
所以椭圆方程为x24+y2=1．
(2)设Ax1,y1,Bx2y2，
当直线AB斜率不存在时，设直线AB方程为x=n∈(−2,2)，
由x24+y2=1x=n得，y=± 4−n22，
k1+k2=− 4−n22−1n+ 4−n22−1n=−2n=t⇒n=−2t；
当AB斜率存在时，设AB方程为y=kx+m，
由x24+y2=1y=kx+m得，1+4k2x2+8kmx+4m2−4=0，
则x1+x2=−8km1+4k2,x1x2=4m2−41+4k2，
则k1+k2=y1−1x1+y2−1x2=x2y1−1+x1y2−1x1x2=2kx1x2+(m−1)x1+x2x1x2
=2k−8km4(m+1)=t⇒k=m+12t，
所以直线AB方程为y=kx+m=m+12tx+(m+1)−1=(m+1)t2x+1−1，
所以直线过点−2t,−1，
综上所述，直线AB过定点−2t,−1．
(3)设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，
①当直线AB斜率不存在，此时点A,B关于x轴对称，
又点A,B,C是椭圆上不同的三个点，所以点C必在长轴顶点处，
不妨设Ap,y1,Bp,y2,C(2,0)，且y1+y2=0，
由OA+OB+λOC=0得，2p+2λ=0，即p=−λ，
将x=−λ代入x24+y2=1，得y=± 4−λ22，则|AB|= 4−λ2，
点C到AB的距离为2−p=2+λ，则S▵ABC=12× 4−λ2×(2+λ)=2+λ2 4−λ2；
②当直线AB斜率存在，如图：
由(2)知，，x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2，
进而y1+y2=2m1+4k2，y1y2=m2−4k21+4k2．
由OA+OB+λOC=0(0